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二、几个初等函数的麦克劳林公式,第三节,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用,应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,泰勒(Taylor)公式,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式:,需要解决的问题,如何提高精度?,如何估计误差?,x的一次多项式,1.求n次近似多项式,要求:,故,令,则,2.余项估计,令,(称为余项),则有,公式称为的n阶泰勒公式.,公式称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项.,泰勒中值定理:,阶的导数,时,有,其中,则当,公式称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.,在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为,注意到,*可以证明:,式成立,特例:,(1)当n=0时,泰勒公式变为,(2)当n=1时,泰勒公式变为,给出拉格朗日中值定理,可见,误差,称为麦克劳林（Maclaurin）公式.,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,由此得近似公式,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,其中,类似可得,其中,其中,已知,其中,类似可得,三、泰勒公式的应用,1.在近似计算中的应用,误差,M为,在包含0,x的某区间上的上界.,需解问题的类型:,1)已知x和误差限,要求确定项数n;,2)已知项数n和x,计算近似值并估计误差;,3)已知项数n和误差限,确定公式中x的适用范围.,已知,例1.计算无理数e的近似值,使误差不超过,解:,令x=1,得,由于,欲使,由计算可知当n=9时上式成立,因此,的麦克劳林公式为,说明:注意舍入误差对计算结果的影响.,本例,若每项四舍五入到小数点后6位,则,各项舍入误差之和不超过,总误差为,这时得到的近似值不能保证误差不超过,因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.,例2.用近似公式,计算cosx的近似值,使其精确到0.005,试确定x的适用范围.,解:,近似公式的误差,令,解得,即当,时,由给定的近似公式计算的结果,能准确到0.005.,2.利用泰勒公式求极限,例3.求,解:,由于,用洛必塔法则不方便!,3.利用泰勒公式证明不等式,例4.证明,证:,内容小结,1.泰勒公式,其中余项,当,时为麦克劳林公式.,2.常用函数的麦克劳林公式,3.泰勒公式的应用,(1)近似计算,(3)其他应用,求极限,证明不等式等.,(2)利用多项式逼近函数,泰勒多项式逼近,泰勒多项式逼近,思考与练习,计算,解:,原式,泰勒(16851731),英国数学家,他早期是牛顿学派最,优秀的代表人物之一,重要著作有:,正的和反的增量方法(1715),线性透视论(1719),他在1712年就得到了现代形式的泰勒公式.,他是有限差分理论的奠基人.,麦克劳林(16981746),英国数学家,著作有:,流数论(1742),有机几何学(1720),代数论(1742),在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的,麦克劳林级数.,两边同乘n!,=整数+,假设e为有理数,(p,q为正整数),则当时,等式左边为整数;,矛盾!,2.证明e为无理数.,证:,故e为无理数.,等式右边不可能为整数.,
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