资源描述
操作探究一.选择题1（xx临安3 分.）z 如图，正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4，点 E.F 分别是 AB.BC 的中 点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A2B4C8D10【分析】本题考查空间想象能力【解答】解：阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成， 由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一， 正方形的面积=44=16，图中阴影部分的面积是 164=4 故选：B【点评】解决本题的关键是得到阴影部分的组成与原正方形面积之间的关系%z#step.co&2. （xx嘉兴3 分）将一张正方形纸片按如图步骤,沿虚线对折两次,然后沿中平 行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）【答案】A【解析】【分析】根据两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠, 展开后所得图形的顶点一定 在正方形的对角线上, 根据的剪法，中间应该是一个正方形.【解答】根据题意，两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠的，根据的剪法，展开后所得 图形的顶点一定在正方形的对角线上,而且中间应该是一个正方形.故选 A【点评】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，如本题得到展开后的图形的顶点在正方形的对角线上是解题的关键3. （xx广西南宁3 分）如图，矩形纸片 ABCD，AB=4，BC=3，点 P 在 BC 边上，将CDP 沿 DP 折叠，点 C 落在点 E 处，PE.DE 分别交 AB 于点 O、F，且 OP=OF，则 cosADF 的值为（）A B C D【分析】根据折叠的性质可得出 DC=DE.CP=EP，由EOF=BOP、B=E.OP=OF 可得出OEFOBP（AAS），根据全等三角形的性质可得出 OE=OB.EF=BP，设 EF=x，则 BP=x、DF=4x、BF=PC=3x，进而可得出 AF=1+x，在 RtDAF 中，利用勾股定理可求出 x 的值，再利 用余弦的定义即可求出 cosADF 的值【解答】解：根据折叠，可知：DCPDEP，DC=DE=4，CP=EP在OEF 和OBP 中， OEFOBP（AAS），OE=OB，EF=BP设 EF=x，则 BP=x，DF=DEEF=4x， 又BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BCBP=3x，AF=ABBF=1+x在 RtDAF 中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4x）2，解得：x=，DF=4x=，cosADF= 故选：C【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合 AF=1+x，求出 AF 的长度是解题的关键4.（xx海南3 分）如图 1，分别沿长方形纸片 ABCD 和正方形纸片 EFGH 的对角线 AC，EG 剪开，拼成如图 2 所示的KLMN，若中间空白部分四边形 OPQR 恰好是正方形，且KLMN 的面 积为 50，则正方形 EFGH 的面积为（ ）A24 B25 C26 D27【分析】如图，设 PM=PL=NR=AR=a，正方形 ORQP 的边长为 b，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，设 PM=PL=NR=AR=a，正方形 ORQP 的边长为 b由题意：a2+b2+（a+b）（ab）=50，a2=25，正方形 EFGH 的面积=a2=25， 故选：B【点评】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用 参数构建方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题二.填空题1. （xx杭州4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：把ADE 翻折，点 A 落在 DC 边上的点 F 处，折痕为 DE，点 E 在 AB 边上；把纸片展开并铺平；把CDG 翻折，点 C 落在直线 AE 上的点 H 处，折痕为 DG，点 G 在 BC 边上， 若 AB=AD+2，EH=1，则 AD= 。【答案】或 3【考点】勾股定理，矩形的性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】当点 H 在线段 AE 上时把ADE 翻折，点 A 落在 DC 边上的点 F 处，折痕 为 DE，点 E 在 AB 边上四边形 ADFE 是正方形AD=AEAH=AE-EH=AD-1把CDG 翻折，点 C 落在直线 AE 上的点 H 处，折痕为 DG，点 G 在 BC 边上DC=DH=AB=AD+2在RtADH 中，AD2+AH2=DH2AD2+（AD-1）2=（AD+2）2解之：AD=，AD=（舍去）AD=当点 H 在线段 BE 上时 则 AH=AE-EH=AD+1在RtADH中，AD2+AH2=DH2AD2+（AD+1）2=（AD+2）2解之：AD=3，AD=-1（舍去） 故答案为： 或 3【分析】分两种情况：当点 H 在线段 AE 上；当点 H 在线段 BE 上。根据的折叠，可得出四边形 ADFE 是正方形，根据正方形的性质可得出 AD=AE，从而可得出 AH=AD-1（或 AH=AD+1）， 再根据的折叠可得出 DH=AD+2，然后根据勾股定理求出 AD 的长。2.（xx临安3 分.）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用 5 个大小一样的正 方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接 图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示） 【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题【解答】解：， 故答案为：【点评】本题通过考查正方体的侧面展开图，展示了这样一个教学导向，教学中要让学生确实经历活动过程，而不要将活动层次停留于记忆水平我们有些老师在教学“展开与折叠” 时，不是去引导学生动手操作，而是给出几种结论，这样教出的学生肯定遇到动手操作题型 时就束手无策了3. （xx金华、丽水4 分）如图 2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形 ABCD 内， 装饰图中的三角形顶点 E，F 分别在边 AB，BC 上，三角形的边 GD 在边 AD 上，则 的值是 【解析】【解答】解：如图，过 G 作 GHBC 交 BC 于 H，交三角形斜边于点 I，则 AB=GH=GI+HI，BC=AD=AG+GD=EI+GD。设原来七巧板的边长为 4，则三角形斜边的长度=4，GI= ，三角形斜边长 IH= ， 则 AB=GI+IH= +2， 而 AG=EI=4，GD=4，则 BC=8， 故答案为： 。【分析】可设原来七巧板的边长为 4（或一个字母），在图 2 中，可分别求出 AB 与 BC 的长。过 G 作 BC 的垂线段，垂足为 H，则 AB=GH，而 GH 恰好是三角形斜边上高的长度与三角形斜边长度的和；同样的可求出 BC 的，求比值即可。4. （xx湖北省恩施3 分）在 RtABC 中，AB=1，A=60，ABC=90，如图所示 将 RtABC 沿直线 l 无滑动地滚动至 RtDEF，则点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积为 （结果不取近似值）【分析】先得到ACB=30，BC=，利用旋转的性质可得到点 B 路径分部分：第一部分为 以直角三角形 30的直角顶点为圆心，为半径，圆心角为 150的弧长；第二部分为以 直角三角形 60的直角顶点为圆心，1 为半径，圆心角为 120的弧长，然后根据扇形的面 积公式计算点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积【解答】解：RtABC 中，A=60，ABC=90，ACB=30，BC=，将 RtABC 沿直线 l 无滑动地滚动至 RtDEF，点 B 路径分部分：第一部分为以直角三角形30的直角顶点为圆心 为半径，圆心角为 150的弧长；第二部分为以直角三角形 60的直角顶点为圆心，1 为半径，圆心角为 120的弧长； 点 B 所 经 过 的 路 径 与 直 线 l 所 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积= 故答案为【点评】本题考查了轨迹：利用特殊几何图形描述点运动的轨迹，然后利用几何性质计算相应的几何量5.（xx贵州贵阳8 分）如图，在 RtABC 中，以下是小亮探究与之间关系的方法：sinA=，sinB=c=，c=根据你掌握的三角函数知识在图的锐角ABC 中，探究、之间的关 系，并写出探究过程【分析】三式相等，理由为：过 A 作 ADBC，BEAC，在直角三角形 ABD 中，利用锐角三 角函数定义表示出 AD，在直角三角形 ADC 中，利用锐角三角函数定义表示出 AD，两者相等 即可得证【解答】解：=，理由为： 过 A 作 ADBC，BEAC，在 RtABD 中，sinB=，即 AD=csinB， 在 RtADC 中，sinC=，即 AD=bsinC，csinB=bsinC，即= ，同理可得=则= =【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键 三.解答题1.（xx江苏无锡10 分）如图，平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标为（6，4）（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线 AC，它与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于点 A 和点 C，且使ABC=90，ABC 与AOC 的面积相等（作图不必写作法，但要保留作图痕 迹）（2）问：（1）中这样的直线 AC 是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出 所有这样的直线 AC，并写出与之对应的函数表达式【分析】（1）作线段 OB 的垂直平分线 AC，满足条件，作矩形 OABC，直线 AC， 满足条件；（2）分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】（1）解：如图ABC 即为所求；（2）解：这样的直线不唯一作线段 OB 的垂直平分线 AC，满足条件，此时直线的解析式为 y=x+作矩形 OABC，直线 AC，满足条件，此时直线 AC的解析式为 y=x+4【点评】本题考查作图复杂作图，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识， 属于中考常考题型2.（xx江苏徐州7 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在 建立平面直角坐标系后，ABC 的顶点均在格点上，点 B 的坐标为（1，0）画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1；画出将ABC 绕原点 O 按逆时针旋转 90所得的A2B2C2；A1B1C1 与A2B2C2 成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；A1B1C1 与A2B2C2 成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标【分析】（1）将三角形的各顶点，向 x 轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点，顺次连 接；（2）将三角形的各顶点，绕原点 O 按逆时针旋转 90得到三点的对应点顺次连接各对应 点得A2B2C2；（3）从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线 段，做它的垂直平分线；（4）成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心【解答】解：如下图所示：（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，或连接 A1C1，A2C2 的中点的连线为对称轴（4）成中心对称，对称中心为线段 BB2 的中点 P，坐标是（，）【点评】本题综合考查了图形的变换，在图形的变换中，关键是找到图形的对应点3.（xx山东东营市10 分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图 1，在ABC 中，点 O 在线段 BC 上，BAO=30，OAC=75，AO=，BO：CO=1：3，求 AB 的长经过社团成员讨论发现，过点 B 作 BDAC，交 AO 的延长线于点 D，通过构造ABD 就可以 解决问题（如图 2）请回答：ADB= 75 ，AB=4（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图 3，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，ACAD，AO=，ABC=ACB=75，BO：OD=1：3，求 DC 的长【分析】（1）根据平行线的性质可得出ADB=OAC=75，结合BOD=COA 可得出BODCOA，利用相似三角形的性质可求出 OD 的值，进而可得出 AD 的值，由三角形内角 和定理可得出ABD=75=ADB，由等角对等边可得出 AB=AD=4，此题得解；（2）过点 B 作 BEAD 交 AC 于点 E，同（1）可得出 AE=4，在 RtAEB 中，利用勾股定理可求出 BE 的长度，再在 RtCAD 中，利用勾股定理可求出 DC 的长，此题得解【解答】解：（1）BDAC，ADB=OAC=75BOD=COA，BODCOA，= 又AO=，OD=AO=，AD=AO+OD=4BAD=30，ADB=75，ABD=180BADADB=75=ADB，AB=AD=4 故答案为：75；4（2）过点 B 作 BEAD 交 AC 于点 E，如图所示ACAD，BEAD，DAC=BEA=90AOD=EOB，AODEOB，=BO：OD=1：3，=AO=3，EO=，AE=4ABC=ACB=75，BAC=30，AB=AC，AB=2BE在 RtAEB 中，BE2+AE2=AB2，即（4）2+BE2=（2BE2， 解得：BE=4，AB=AC=8，AD=12在 RtCAD 中，AC2+AD2=CD2，即 82+122=CD2，解得：CD=4【点评】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的 性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出 OD 的值；（2）利用勾股定理求出 BE.CD 的长度4.（xx山东济宁市7 分）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所 示） 面积的方法，现有以下工具；卷尺；直棒 EF；T 型尺（CD 所在的直线垂 直 平分线段 AB）（1）在图 1 中，请你画出用 T 形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写 画法）；（2）如图 2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积， 具体做 法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点 M，N 之间的距离， 就可 求出环形花坛的面积”如果测得 MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积【解答】解：（1）如图点 O 即为所求；（2）设切点为C，连接OM，OCMN 是切线，OCMN，CM=CN=5，OM2OC2=CM2=25，S 圆环= OM2 OC2=25 5.一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图 1，点 P 是正方形 ABCD 内一点，PA=1，PB=2，PC=3你能求出APB 的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到BPA，连接 PP，求出APB 的度数； 思路二：将APB 绕点 B 顺时针旋转 90，得到CPB，连接 PP，求出APB 的度数 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程【类比探究】如图 2，若点 P 是正方形 ABCD 外一点，PA=3，PB=1，PC=，求APB 的度数【分析】（1）思路一、先利用旋转求出PBP=90，BP=BP=2，AP=CP=3，利用勾股定理 求出 PP，进而判断出APP是直角三角形，得出APP=90，即可得出结论； 思路二、同思路一的方法即可得出结论；（2）同（1）的思路一的方法即可得出结论【解答】解：（1）思路一、如图 1，将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到BPA，连接 PP，ABPCBP，PBP=90，BP=BP=2，AP=CP=3， 在 RtPBP中，BP=BP=2，BPP=45，根据勾股定理得，PP=BP=2，AP=1，AP2+PP2=1+8=9，AP2=32=9，AP2+PP2=AP2，APP是直角三角形，且APP=90，APB=APP+BPP=90+45=135； 思路二、同思路一的方法；（2）如图 2，将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到BPA，连接 PP，ABPCBP，PBP=90，BP=BP=1，AP=CP=， 在 RtPBP中，BP=BP=1，BPP=45，根据勾股定理得，PP=BP=，AP=3，AP2+PP2=9+2=11，AP2=（）2=11，AP2+PP2=AP2，APP是直角三角形，且APP=90，APB=APPBPP=9045=45 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键6. （xx金华、丽水8 分）如图，在 66 的网格中，每个小正方形的边长为 1，点 A 在 格点（小正方形的顶点）上试在各网格中画出顶点在格点上，面积为 6，且符合相应条件 的图形
展开阅读全文