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第1讲空间几何体考情考向分析1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题热点一三视图与直观图1一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等”2由三视图还原几何体的步骤一般先依据俯视图确定底面再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体例1(1)(2018全国)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案A解析由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为_答案2解析如图，在直观图中，过点A作AEBC，垂足为点E，则在RtABE中，AB1，ABE45，BE.而四边形AECD为矩形，AD1，ECAD1，BCBEEC1.由此可还原原图形如图所示在原图形中，AD1，AB2，BC1，且ADBC，ABBC，这块菜地的面积为S(ADBC)AB22.思维升华空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果在还原空间几何体实际形状时，一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑跟踪演练1(1)(2018衡水模拟)已知一几何体的正(主)视图、侧(左)视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()答案D解析由选项图可知，选项D对应的几何体为长方体与三棱柱的组合，其侧(左)视图中间的线不可视，应为虚线，故该几何体的俯视图不可能是D.(2)(2018合肥质检)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，用过点A，C，E的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为()答案A解析如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，AC，AE，CF，则EFAC，平面ACFE，即为平面ACE截正方体所得的截面，据此可得位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图如选项A所示热点二几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧例2(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A34 B44 C64 D84答案B解析由三视图可得该几何体由上下两部分组成，上部分是半径为1的四分之一球，下部分是底面圆半径为1，高为2的半圆柱故该几何体的表面积为S表22244.(2)(2018内蒙古鄂伦春自治旗模拟)甲、乙两个几何体的三视图如图所示(单位相同)，记甲、乙两个几何体的体积分别为V1，V2，则()AV12V2 BV12V2CV1V2163 DV1V2173答案D解析由甲的三视图可知，该几何体为一个正方体中间挖掉一个长方体，正方体的棱长为8，长方体的长为4，宽为4，高为6，则该几何体的体积为V183446416；由乙的三视图可知，该几何体是一个底面为正方形，边长为9，高为9的四棱锥，则该几何体的体积为V2999243.V1V2416243173.思维升华(1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和(2)求简单几何体的体积时，若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时，若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，常用转换法、分割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解跟踪演练2(1)(2018黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学模拟)已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A202 B182C18 D20答案B解析由三视图可知，正方体棱长为2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示，故该几何体的表面积为32232182，故选B.(2)(2018孝义模拟)某几何体的三视图如图所示(实线部分)，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是()A. B.C. D.答案A解析由三视图可知，该几何体是由半个圆柱与半个圆锥组合而成，其中圆柱的底面半径为2，高为4，圆锥的底面半径和高均为2，其体积为V4442，故选A.热点三多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图例3(1)(2018百校联盟联考)在三棱锥PABC中，ABC和PBC均为边长为3的等边三角形，且PA，则三棱锥PABC外接球的体积为()A. B.C. D.答案C解析取BC的中点D，连接PD，AD，因为ABC和PBC均为等边三角形，所以ADBC，PDBC，ADPDD，AD，PD平面PAD，所以BC平面PAD，因为ABC和PBC均为边长为3的等边三角形，所以ADPD，又因为PA，PA2PD2AD2，所以PDAD，过ABC的外心O1作平面ABC的垂线，过PBC的外心O2作平面PBC的垂线，设两条垂线交于点O，则O为三棱锥PABC外接球的球心O1OO2D，AO1PO2，所以OA2OOAO，所以外接球的半径ROA，所以三棱锥PABC外接球的体积VR3.(2)(2018衡水金卷信息卷)如图是某三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为()A. B.C. D.答案D解析把此三棱锥嵌入长、宽、高分别为20,24,16的长方体ABCDA1B1C1D1中，三棱锥BKLJ即为所求的三棱锥，其中KC19，C1LLB112，B1B16，则KC1LLB1B，KLB90，故可求得三棱锥各面面积分别为SBKL150，SJKL150，SJKB250，SJLB250，故表面积为S表800.三棱锥体积VSBKLJK1 000，设内切球半径为r，则r，故三棱锥内切球体积V球r3.思维升华三棱锥PABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形(1)点P可作为长方体上底面的一个顶点，点A，B，C可作为下底面的三个顶点(2)PABC为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线跟踪演练3(1)(2018咸阳模拟)在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBC，若AB2，BC3，PA4，则该三棱锥的外接球的表面积为()A13 B20 C25 D29答案D解析把三棱锥PABC放到长方体中，如图所示，所以长方体的体对角线长为，所以三棱锥外接球的半径为，所以外接球的表面积为4229.(2)(2018四川成都名校联考)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S1，外接球的表面积为S2，则等于()A12 B13 C14 D18答案C解析如图，由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r，l为底面圆周长，R为母线长，则lR2r2，即2rR2r2，解得R2r，故ADC30，则DEF为等边三角形，设B为DEF的重心，过B作BCDF，则DB为圆锥的外接球半径，BC为圆锥的内切球半径，则，故.真题体验1(2018全国改编)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示圆柱表面上的点M在正(主)视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧(左)视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为_答案2解析先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点M，N的位置如图所示圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径ON164，OM2，MN2.2(2017北京改编)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_答案2解析在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD为该四棱锥的最长棱由三视图可知，正方体的棱长为2，故SD2.3(2017天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_答案解析设正方体的棱长为a，则6a218，a.设球的半径为R，则由题意知2R3，R.故球的体积VR33.4(2017全国)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_答案36解析如图，连接OA，OB.由SAAC，SBBC，SC为球O的直径知，OASC，OBSC.由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，OA平面SCB.设球O的半径为r，则OAOBr，SC2r，三棱锥SABC的体积VSCOBOA，即9，r3，球O的表面积S4r236.押题预测1一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为()A16 B88C228 D448押题依据求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热点此类题常以三视图为载体，给出几何体的结构特征，求几何体的表面积或体积答案D解析由三视图知，该几何体是底面边长为2的正方形，高PD2的四棱锥PABCD，因为PD平面ABCD，且四边形ABCD是正方形，易得BCPC，BAPA，又PC2，所以SPCDSPAD222，SPABSPBC222.所以几何体的表面积为448.2在正三棱锥SABC中，点M是SC的中点，且AMSB，底面边长AB2，则正三棱锥SABC的外接球的表面积为()A6 B12C32 D36押题依据灵活运用正三棱锥中线与棱之间的位置关系来解决外接球的相关问题，是高考的热点答案B解析因为三棱锥SABC为正三棱锥，所以SBAC，又AMSB，ACAMA，AC，AM平面SAC，所以SB平面SAC，所以SBSA，SBSC，同理SASC，即SA，SB，SC三线两两垂直，且AB2，所以SASBSC2，所以(2R)232212，所以球的表面积S4R212，故选B.3已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为_押题依据求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，命题角度新颖，值得关注答案解析如图所示，设圆柱的底面半径为r，则圆柱的侧面积为S2r24r42.所以当r时，.A组专题通关1(2018上海金山区模拟)如图几何体是由五个相同正方体叠成的，其三视图中的侧(左)视图序号是()答案A解析根据几何体的直观图，可以得到它的侧(左)视图，应该是下面两个正方形，上面一个正方形且靠近左侧，故选A.2(2018咸阳模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是()A168 B648C644 D164答案C解析由三视图知，该几何体是正方体中间挖去一个圆柱，所以V43124644.3(2018佛山质检)如图是一种螺栓的简易三视图，其螺帽俯视图是一个正六边形，则由三视图尺寸可知，该螺栓的表面积为()A1512 B91212C121212 D121211答案C解析螺栓由一个正六棱柱与一个圆柱组合而成，其中正六棱柱的高为1，底边正六边形边长为2，圆柱高为6，底面圆半径为1.因此螺栓的表面积为正六棱柱表面积与圆柱侧面积之和，正六棱柱的一个底面积为6226，正六棱柱的侧面积为61212，圆柱侧面积为21612，因此螺栓的表面积为261212121212，故选C.4某几何体的正(主)视图和侧(左)视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是ABC，如图(2)所示，其中OAOB2，OC，则该几何体的表面积为()A3612 B248C2412 D368答案C解析由图(2)可知，该几何体的俯视图是一个底面边长为4，高为2的等腰三角形，即该三角形为等边三角形，在如图所示的长方体中，长、宽、高分别为4,2，6，三视图还原为几何体是图中的三棱锥PABC，且SPABSPBC4612，SABC424，PAC是腰长为，底面边长为4的等腰三角形，SPAC8.综上可知，该几何体的表面积为212482412.故选C.5已知三棱柱ABCABC的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB2，AC1，BAC60，则此球的表面积是()A2 B4C8 D10答案C解析根据余弦定理可知，BC，则ACB90，点E，F分别是斜边AB，AB的中点，点O为EF的中点，点O为三棱柱外接球的球心，设三棱柱的高为h，V1h，解得h2，R2OA222，代入可得R2112，所以此球的表面积为S4R28，故选C.6(2018衡水金卷信息卷)已知正四棱锥PABCD的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为()A. B. C. D.答案C解析如图所示，设底面正方形ABCD的中心为O，正四棱锥PABCD的外接球的球心为O，底面正方形的边长为，OD1，正四棱锥的体积为2，VPABCD()2PO2，解得PO3，OO|POPO|3R|，在RtOOD中，由勾股定理可得OO2OD2OD2，即(3R)212R2，解得R，V球R33.7在三棱锥SABC中，侧棱SA底面ABC，AB5，BC8，ABC60，SA2，则该三棱锥的外接球的表面积为()A. B.C. D.答案B解析由题意知，AB5，BC8，ABC60，则根据余弦定理可得AC2AB2BC22ABBCcosABC，解得AC7，设ABC的外接圆半径为r，则ABC的外接圆直径2r，r，又侧棱SA底面ABC，三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离dSA，则外接球的半径R ，则该三棱锥的外接球的表面积为S4R2.8(2018北京海淀区模拟)某几何体的正(主)视图和俯视图如图所示，在下列图形中，可能是该几何体侧(左)视图的图形是_(写出所有可能的序号)答案解析如图a三棱锥CABD，正(主)视图与俯视图符合题意，侧(左)视图为；如图b四棱锥PABCD，正(主)视图与俯视图符合题意，侧(左)视图为；如图c三棱锥PBCD，正(主)视图与俯视图符合题意，侧(左)视图为.9(2018安徽省“皖南八校”联考)如图1所示是一种生活中常见的容器，其结构如图2，其中ABCD是矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形，且AD平面CDEF，现测得AB20 cm，AD15 cm，EF30 cm，AB与EF间的距离为25 cm，则几何体EFABCD的体积为_cm3.答案3 500解析在EF上，取两点M，N(图略)，分别满足EMNF5，连接DM，AM，BN，CN，则该几何体就被分割成两个棱锥和一个棱柱，根据柱、锥体的体积公式以及题中所给的相关量，可以求得V2015202201553 500.10(2018全国改编)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为_答案18解析由等边ABC的面积为9，可得AB29，所以AB6，所以等边ABC的外接圆的半径为rAB2.设球的半径为R，球心到等边ABC的外接圆圆心的距离为d，则d2.所以三棱锥DABC高的最大值为246，所以三棱锥DABC体积的最大值为9618.11(2018全国)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30.若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_答案8解析在RtSAB中，SASB，SSABSA28，解得SA4.设圆锥的底面圆心为O，底面半径为r，高为h，在RtSAO中，SAO30，所以r2，h2，所以圆锥的体积Vr2h(2)228.12已知三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，且AB，BC，AC2，则此三棱锥外接球的表面积是_答案8解析如图PA，PB，PC两两垂直，设PCh，则PB，PA，由PCPA，PCPB，PAPBP，PA，PB平面PAB，得PC平面PAB，PCAB，即PA2PB2AB2，4h27h25，解得h，在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA1，PB2，PC，以PA，PB，PC为棱构造一个长方体,则这个长方体的外接球就是三棱锥PABC的外接球，由题意可知，这个长方体的中心是三棱锥的外接球的球心，三棱锥的外接球的半径为R，外接球的表面积为S4R24()28.B组能力提高13若四棱锥PABCD的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.答案C解析根据三视图还原几何体为一个四棱锥PABCD，如图所示，平面PAD平面ABCD，由于PAD为等腰三角形，PAPD3，AD4，四边形ABCD为矩形，CD2，过PAD的外心F作平面PAD的垂线，过矩形ABCD的中心H作平面ABCD的垂线，两条垂线交于一点O，则O为四棱锥外接球的球心，在PAD中，cosAPD，则sinAPD，2PF，PF，PE，OHEF，BH，OB ，所以S4.14(2018龙岩质检)如图所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥侧面积的取值范围为()A(1,2) B(1,2C(0,2 D(0,2)答案D解析设四棱锥一个侧面为APQ，APQx，过点A作AHPQ，则AHPQtan xPQ，PQ，AH，S4PQAH2PQAH2，x，S2，而tan x0，故S0，S2时，APQ是等腰直角三角形，顶角PAQ90，阴影部分不存在，折叠后A与O重合，构不成棱锥，S的取值范围为(0,2)，故选D.15在棱长为2的正四面体PABC中，M，N分别为PA，BC的中点，点D是线段PN上一点，且PD2DN，则三棱锥DMBC的体积为_答案解析由题意得VDBMCVMBDC，AN，DN.所以AD .所以三棱锥MBDC的高为.因为SBCD.所以VDBMCVMBDC.16(2018衡水金卷信息卷)在正三棱锥ABCD中，M，N分别是AB，BC上的点，且MNAC，AM5MB，MDMN，若侧棱AB1，则正三棱锥ABCD的外接球的表面积为_答案3解析设底面边长为a，则在BCD中，BNBCa，DBN，由余弦定理，得DN2BD2BN22BDBNcosDBNa2，DNa.同理，在ABD中，cosBAD，在AMD中，AM，DM ，MDMN，MNAC，DM2MN2DN2，即a2a2，a22，a.设A在底面BCD 上的射影为E，则BEBCsin 60，AE.设外接球的半径为R，则R22BE2，R，正三棱锥ABCD的外接球的表面积为S4R23.
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