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第二章平面解析几何初步检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若直线2x+by-4=0经过点12,-3,则其斜率等于()A.-2B.2C.D.-解析：由已知得2+b(-3)-4=0,则b=-1,故直线方程为2x-y-4=0,斜率等于2.答案：B2已知直线ax+y+5=0与直线y=2x平行,则它们之间的距离等于()A.2B.55C.255D.5解析：因为两直线平行,所以a=-2,两直线即为:2x-y-5=0与2x-y=0,它们之间的距离为d=55=5.答案：D3已知点A(1,2,2),B(1,-3,1),点C在yOz平面上,且点C到点A,B的距离相等,则点C的坐标可以为()A.(0,1,-1)B.(0,-1,6)C.(0,1,-6)D.(0,1,6)解析：由题意设点C的坐标为(0,y,z),则1+(y-2)2+(z-2)2=1+(y+3)2+(z-1)2,即(y-2)2+(z-2)2=(y+3)2+(z-1)2,亦即5y+z+1=0,经检验知,只有选项C满足.答案：C4已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=()A.-B.1C.2D.解析：由题意知点P(2,2)在圆(x-1)2+y2=5上,设切线的斜率为k,则k2-02-1=-1,解得k=-,直线ax-y+1=0的斜率为a,其与切线垂直,所以-a=-1,解得a=2,故选C.答案：C5一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的主视图时,以zOx平面为投影面,则得到的主视图可以为()解析：如图,该四面体在空间直角坐标系Oxyz的图象为下图:则它在平面zOx上的投影即主视图为,故选A.答案：A6设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为()A.6B.4C.3D.2解析：由圆(x-3)2+(y+1)2=4知,圆心的坐标为(3,-1),半径r=2,圆心到直线x=-3的距离d=|3-(-3)|=6.|PQ|min=d-r=6-2=4,故选B.答案：B7直线x+2y-5+5=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为()A.1B.2C.4D.46解析：由圆的一般方程可化为圆的标准方程:(x-1)2+(y-2)2=5,可知圆心坐标为(1,2),半径为5,圆心到直线的距离为|1+4-5+5|12+22=1,由勾股定理可得弦长一半为(5)2-12=2.故弦长为4.答案：C8已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1内,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定解析：点M(a,b)在圆x2+y2=1内,点M(a,b)到圆心(0,0)的距离要小于半径,即a2+b21,直线与圆相离.答案：C9垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是()A.x+y-2=0B.x+y+1=0C.x+y-1=0D.x+y+2=0解析：由于所求切线垂直于直线y=x+1,可设所求切线方程为x+y+m=0.由圆心到切线的距离等于半径得|m|2=1,解得m=2.由于与圆相切于第一象限,则m=-2.答案：A10直线l:mx+(m-1)y-1=0(m为常数),圆C:(x-1)2+y2=4,则下列说法正确的是()A.当m变化时,直线l恒过定点(-1,1)B.直线l与圆C有可能无公共点C.对任意实数m,圆C上都不存在关于直线l对称的两点D.若直线l与圆C有两个不同交点M,N,则线段MN的长的最小值为23解析：直线l可化为m(x+y)-(y+1)=0,令x+y=0,y+1=0,得x=1,y=-1,则l过定点(1,-1),故A错;因为(1-1)2+(-1)2=10),则圆的半径为m,所以m2=4+322=254,得m=,故所求圆的方程为x-522+(y-2)2=254;(2)证明由(1)可得M(1,0),则可设AB:x=1+ty,代入x2+y2-4=0,并整理,得(t2+1)y2+2ty-3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),其中x14,x24,则y1+y2=-2tt2+1,y1y2=-3t2+1.因为N(4,0),所以kAN+kBN=y1x1-4+y2x2-4=y1ty1-3+y2ty2-3=2ty1y2-3(y1+y2)(ty1-3)(ty2-3)=0.20(本小题满分10分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l1过定点A(1,0).(1)若l1与圆相切,求l1的方程;(2)若l1与圆相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证:AMAN为定值.(1)解若直线l1的斜率不存在,即直线方程为x=1,符合题意.若直线l1斜率存在,设直线l1为y=k(x-1),即kx-y-k=0.由题意知,圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2,即|3k-4-k|k2+1=2,解得k=34.此时l1的方程为y=34(x-1),即3x-4y-3=0.综上直线l1的方程是x=1或3x-4y-3=0.(2)证明直线l1与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线l1的方程为kx-y-k=0k-12.由x+2y+2=0kx-y-k=0,得N2k-22k+1,-3k2k+1.因为直线CM与l1垂直,由y=kx-k,y-4=-1k(x-3),得Mk2+4k+31+k2,4k2+2k1+k2.所以AMAN=|yM-0|1+1k2|yN-0|1+1k2=|yMyN|k2+1k2=4k2+2k1+k2-3k2k+1k2+1k2=6,为定值.
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