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单元测试(六)范围:圆限时:45分钟满分:100分一、选择题(每题5分,共35分)1.若正三角形的外接圆半径为3,则这个正三角形的边长是()A.2B.3C.4D.52.如图D6-1,O的直径AB=6,若BAC=50,则劣弧AC的长为()图D6-1A.2B.83C.34D.433.如图D6-2,AB是O的直径,C是O上的点,过点C作O的切线交AB的延长线于点E,若A=30,则sinE的值为()图D6-2A.12B.22C.32D.334.如图D6-3,AB是圆锥的母线,BC为底面直径,已知BC=6 cm,圆锥的侧面积为15 cm2,则sinABC的值为()图D6-3A.34B.35C.45D.535.xx重庆A卷 如图D6-4,已知AB是O的直径,点P在BA的延长线上,PD与O相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若O的半径为4,BC=6,则PA的长为()图D6-4A.4B.23C.3D.2.56.如图D6-5,已知圆内接正三角形的面积为3,则该圆的内接正六边形的边心距是()图D6-5A.2B.1C.3D.327.将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒,水平放置在桌面上,水杯的底面如图D6-6所示,已知水杯内径(图中小圆的直径)是8 cm,水的最大深度是2 cm,则杯底有水部分的面积是()图D6-6A.(163-43) cm2B.(163-83) cm2C.(83-43) cm2D.(43-23) cm2二、填空题(每题5分,共30分)8.如图D6-7,四边形ABCD内接于O,E为BC延长线上一点,若A=n,则DCE=.图D6-79.一圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120的扇形,若该圆锥的底面圆的半径为4 cm,则圆锥的母线长为.10.如图D6-8,O是ABC的外接圆,A=45,BC=4,则O的直径为.图D6-811.如图D6-9,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(20,0),点B的坐标是(16,0),点C,D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形,则点C的坐标为.图D6-912.已知ABC的三边a,b,c满足a+b2+|c-6|+28=4a-1+10b,则ABC的外接圆半径=.13.如图D6-10,在扇形AOB中,AOB=90,正方形CDEF的顶点C是AB的中点,点D在OB上,点E在OB的延长线上,当正方形CDEF的边长为22时,阴影部分的面积为.图D6-10三、解答题(共35分)14.(11分)在一次数学活动课中,某数学小组探究求环形花坛(如图D6-12所示)面积的方法.现有以下工具:卷尺;直棒EF;T型尺(CD所在的直线垂直平分线段AB).(1)在图D6-12中,请你画出用T型尺找大圆圆心的示意图(保留画图痕迹,不写画法);(2)如图D6-11,小华说:“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积,具体做法如下:将直棒放置到与小圆相切,用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M,N之间的距离,就可求出环形花坛的面积.”如果测得MN=10 cm,请你求出这个环形花坛的面积.图D6-11图D6-1215.(12分)如图D6-13,在RtABC中,C=90,BE平分ABC交AC于点E,作EDEB交AB于点D,O是BED的外接圆.(1)求证:AC是O的切线;(2)已知O的半径为2.5,BE=4,求BC,AD的长.图D6-1316.(12分)如图D6-14,在四边形ABCD中,B=60,D=30,AB=BC.(1)求A+C的度数;(2)连结BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由;(3)若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足AE2=BE2+CE2,求点E运动路径的长度.图D6-14参考答案1.B2.D解析 连结OC,BAC=50,AOC=80,lAC=803180=43,故选D.3.A解析 连结OC,CE是O的切线,OCCE.A=30,BOC=2A=60,E=90-BOC=30,sinE=sin30=12.故选A.4.C解析 圆锥侧面积为15,则母线长L=2156=5,利用勾股定理可得OA=4,故sinABC=45.5.A解析 如图,连结OD.PC切O于点D,ODPC.O的半径为4,PO=PA+4,PB=PA+8.ODPC,BCPD,ODBC,PODPBC,ODBC=POPB,即46=PA+4PA+8,解得PA=4.故选A.6.B解析 如图,设ABC的边长为a,则SABC=34a2,34a2=3,解得a=2或a=-2(舍),BC=2.BAC=60,BO=CO,BOC=120,则BCO=30.OHBC,BH=12BC=1,在RtBOH中,BO=BHcos30=233,圆的半径r=233.如图,正六边形内接于圆O,且半径为233,可知EOF=60,OF=233.在EOF中,OE=OF,ODEF,FOD=30.在RtDOF中,OD=OFcos30=23332=1,边心距为1.7.A解析 连结OA,OB,作ODAB于C,交O于点D,则CD=2,AC=BC,OA=OD=4,CD=2,OC=2,在RtAOC中,sinOAC=OCOA=12,OAC=30,AOB=120,AC=OA2-OC2=23,AB=43,杯底有水部分的面积=S扇形AOB-SAOB=12042360-12432=163-43(cm2).故选A.8.n解析 圆内接四边形的对角互补,所以BCD=180-A,而B,C,E三点在一条直线上,则DCE=180-BCD,所以DCE=A=n.9.12 cm解析 设母线长为R,由“圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长”得,120R180=24,解得R=12,即圆锥的母线长为12 cm.10.42解析 解法一:如图,过点B作直径BD,连结DC,则BCD=90.A=45,D=45,BDC是等腰直角三角形.BC=4,根据勾股定理得直径BD=42.解法二:如图,连结OB,OC.A=45,O=90,OBC是等腰直角三角形.BC=4,根据勾股定理得半径OB=22,O的直径为42.11.(2,6)解析 过点M作MNCD,垂足为点N,连结CM,过点C作CEOA,垂足为点E,因为点A的坐标是(20,0),所以CM=OM=10.因为点B的坐标是(16,0),所以CD=OB=16.由垂径定理可知,CN=12CD=8,在RtCMN中,CM=10,CN=8,由勾股定理可知MN=6,所以CE=MN=6,OE=OM-EM=10-8=2,所以点C的坐标为(2,6).12.258解析 原式整理得:b2-10b+25+a-1-4a-1+4+|c-6|=0,(b-5)2+(a-1)2-4a-1+4+|c-6|=0,(b-5)2+(a-1-2)2+|c-6|=0.(b-5)20,(a-1-2)20,|c-6|0,b=5,c=6,a=5,ABC为等腰三角形.如图所示,作CDAB,设O为外接圆的圆心,则OA=OC=R.AC=BC=5,AB=6,AD=BD=3,CD=AC2-AD2=4,OD=CD-OC=4-R,在RtAOD中,R2=32+(4-R)2,解得R=258.13.2-4解析 连结OC,在扇形AOB中,AOB=90,正方形CDEF的顶点C是AB的中点,COD=45,OC=(22)2+(22)2=4,阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积,即S阴影=4536042-12(22)2=2-4.14.解:(1)如图,点O即为所求.(2)如图,设切点为C,连结OM,OC.MN是切线,OCMN,CM=CN=5,OM2-OC2=CM2=25,S圆环=OM2-OC2=25.这个环形花坛的面积是25 cm2.15.解析 (1)连结OE,利用圆的半径相等得到OEB=OBE,利用BE平分ABC交AC于点E得到CBE=OBE,进而得到OEB=CBE,最后利用OEBC得到OEA=90,从而得到AC是O的切线;(2)由(1)知CBE=OBE,可以证明BCEBED,利用相似三角形的对应边成比例可以得到BC的长,再由OEBC得到AOEABC,利用相似三角形的对应边成比例可以得到AD的长.解:(1)证明:如图所示,连结OE,OE=OB,OEB=OBE.BE平分ABC交AC于点E,CBE=OBE,OEB=CBE,OEBC,OEA=C=90,OEAC,AC是O的切线.(2)EDEB,C=90,BED=C=90,由(1)知CBE=OBE,BCEBED,BCBE=BEBD.O的半径为2.5,BE=4,BC4=422.5,BC=165.OEBC,AOEABC,OEBC=AOAB,OE=2.5,BC=165,AO=AD+OD=AD+2.5,AB=AD+BD=AD+5,2.5165=AD+2.5AD+5,AD=457.16.解析 (1)根据四边形内角和为360,结合已知条件即可求出答案;(2)将BCD绕点B逆时针旋转60,得到BAD,连结DD(如图),由旋转的性质和等边三角形的判定得BDD是等边三角形,由旋转的性质根据角的计算可得DAD是直角三角形,根据勾股定理得AD2+AD2=DD2,即AD2+CD2=BD2;(3)将BCE绕点B逆时针旋转60,得到BAE,连结EE(如图),由等边三角形的判定得BEE是等边三角形,结合已知条件和等边三角形的性质可得AE2=EE2+AE2,即AEE=90,从而得出BEA=BEC=150,从而得出点E是在以O为圆心,OB为半径的圆周上运动,运动轨迹为BC,根据弧长公式即可得出答案.解:(1)在四边形ABCD中,B=60,D=30,A+C=360-B-D=270.(2)AD2+CD2=BD2.理由:如图,将BCD绕点B逆时针旋转60,得BAD,连结DD.BD=BD,CD=AD,DBD=60,BAD=C,BDD是等边三角形,DD=BD.又BAD+C=270,BAD+BAD=270,DAD=90.AD2+AD2=DD2,即AD2+CD2=BD2.(3)如图,将BEC绕点B逆时针旋转60得BEA,连结EE.BE=BE,EBE=60,BEC=BEA,BEE是等边三角形.BEE=60,BE=EE.AE2=BE2+CE2,CE=AE,AE2=EE2+AE2.AEE=90.BEA=150.BEC=150.点E在以BC为弦,优弧BC所对的圆心角为300的圆弧上.以BC为边在BC下方作等边三角形BCO,则O为圆心,半径BO=1.点E的运动路径为BC,BC的长=601180=3.
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