资源描述
第3讲空间角考情考向分析以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，热点为异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的求解，向量法作为传统几何法的补充，为考生答题提供新的工具热点一异面直线所成的角(1)几何法：按定义作出异面直线所成的角(即找平行线)，解三角形(2)向量法：设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)设l，m的夹角为，则cos .例1(1)(2018全国)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案C解析方法一如图，在长方体ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体ABBAA1B1B1A1.连接B1B，由长方体性质可知，B1BAD1，所以DB1B为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角连接DB，由题意，得DB，BB12，DB1.在DBB1中，由余弦定理，得DB2BBDB2BB1DB1cosDB1B，即54522cosDB1B，cosDB1B.故选C.方法二如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.由题意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，(1,0，)，(1,1，)，1101()22，|2，|，cos，.故选C.(2)(2018浙江省杭州二中月考)已知异面直线a，b所成的角为50，过空间一定点P最多可作n条直线与直线a，b均成角，则下列判断不正确的是()A当65时，n3 B当n1时，只能为25C当30时，n2 D当75时，n4答案B解析将空间直线平移，异面直线的夹角不变，则可将异面直线a，b平移到同一平面内，使得点P为平移后的直线a，b的交点，则当025时，n0；当25时，n1，此时该直线为直线a，b所成锐角的角平分线所在的直线；当2565时，n2，此时这两条直线在平面内的投影为直线a，b所成锐角的角平分线所在的直线；当65时，n3，此时其中两条直线在平面内的投影为直线a，b所成锐角的角平分线所在的直线，另一条直线为直线a，b所成钝角的角平分线所在的直线；当65 B D|，所以cos ，故选A.热点二直线与平面所成的角(1)几何法：按定义作出直线与平面所成的角(即找到斜线在平面内的投影)，解三角形(2)向量法：设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面的法向量为(a2，b2，c2)，设直线l与平面的夹角为，则sin |cosa，|.例2(2018浙江省名校协作体联考)在如图所示的几何体中，平面DAE平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，四边形DCFE为菱形已知ABCD，ABC60，CDAB1.(1)线段AC上是否存在一点N，使得AE平面FDN？证明你的结论；(2)若线段FC在平面ABCD上的投影长度为，求直线AC与平面ADF所成角的正弦值解(1)在线段AC上存在点N，使得AE平面FDN，且N是AC的中点如图，取AC的中点N，连接NF，DN，连接EC交DF于点O，连接ON.四边形CDEF为菱形，O为EC的中点在ACE中，由中位线定理可得ONAE.ON平面FDN，AE平面FDN，AE平面FDN，在线段AC上存在点N，使得AE平面FDN，且N是AC的中点(2)方法一DECF，DE在平面ABCD上的投影长度为，过点E作EOAD于点O，平面DAE平面ABCD，且平面DAE平面ABCDAD，EO平面DAE，EO平面ABCD，则OD，在等腰梯形ABCD中，由已知易得ADBC1，点O为线段AD的中点设点C到平面FDA的距离为h，VCFDAVFADC，hSFDAEOSADC，易知SADC，EO，取AB的中点M，连接CM，取CM的中点P，连接AP，DP，FP，OP.O，P分别为AD，MC的中点，AMDCEF，且AMDCEF，OPEF且OPEF，四边形OPFE为平行四边形，OEFP，OEFP，FP平面ABCD.易求得AP，DPFP，AF，DF，DF2AD2AF2，ADF为直角三角形，SFDA.h.设直线AC与平面FDA所成的角为，在ADC中，易得AC，则sin .方法二DECF，DE在平面ABCD上的投影长度为，过点E作EOAD于点O，平面DAE平面ABCD，且平面DAE平面ABCDAD，EO平面DAE.EO平面ABCD，则OD，在等腰梯形ABCD中，由已知易得ADBC1.点O为线段AD的中点以O为原点，OE所在直线为z轴，过O且平行于DC的直线为y轴，过O且垂直于yOz平面的直线为x轴建立空间直角坐标系，易得x轴在平面ABCD内可得A，C，D，E，(0,1,0).设平面ADF的法向量为n(x，y，z)，则得令x1，得平面ADF的一个法向量为n(1，2)若直线AC与平面ADF所成的角为，则sin |cosn，|.思维升华(1)运用几何法求直线与平面所成的角一般是按找证求的步骤进行(2)直线和平面所成角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，注意所求角和两向量夹角间的关系跟踪演练2(2018杭州质检)如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，A120，M为线段BC的中点，D为线段BC上一点，且BDBA，沿直线AD将ADC翻折至ADC，使ACBD.(1)证明：平面AMC平面ABD；(2)求直线CD与平面ABD所成的角的正弦值(1)证明因为ABC为等腰三角形，M为BC的中点，所以AMBD，又因为ACBD，AMACA，AM，AC平面AMC，所以BD平面AMC，因为BD平面ABD，所以平面AMC平面ABD.(2)解在平面ACM中，过C作CFAM交直线AM于点F，连接FD.由(1)知，平面AMC平面ABD，又平面AMC平面ABDAM，CF平面AMC，所以CF平面ABD.所以CDF为直线CD与平面ABD所成的角设AM1，则ABACAC2，BC2，MD2，DCDC22，AD.在RtCMD中，MC2DC2MD2(22)2(2)294.设AFx，在RtCFA和RtCFM中，AC2AF2MC2MF2，即4x294(x1)2，解得x22，即AF22.所以CF2.故直线CD与平面ABD所成的角的正弦值等于.热点三二面角二面角有两种求法：几何法：利用定义作出二面角的平面角，然后计算向量法：利用两平面的法向量设平面，的法向量分别为(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)，设二面角a的平面角为(0)，则|cos |cos，v|.例3如图，在矩形ABCD中，AB2，AD4，点E在线段AD上且AE3，现分别沿BE，CE所在的直线将ABE，DCE翻折，使得点D落在线段AE上，则此时二面角DECB的余弦值为()A. B. C. D.答案D解析如图1所示，连接BD，设其与CE的交点为H，由题意易知BDCE.翻折后如图2所示，连接BD， 图1图2则在图2中，BHD即为二面角DECB的平面角，易求得BD2，DH，BH，所以cosDHB，故选D.思维升华(1)构造二面角的平面角的方法(几何法)：根据定义；利用二面角的棱的垂面；利用两同底等腰三角形底边上的两条中线等(2)向量法：根据两平面的法向量跟踪演练3(2018绍兴质检)已知四面体SABC中，二面角BSAC，ASBC，ASCB的平面角的大小分别为，则()A.B.2C3D23答案C解析设三棱锥的顶点S距离底面ABC无穷远，则三棱锥SABC近似为以ABC为底面的三棱柱，此时二面角的平面角，等于三角形ABC的三个内角；若顶点S与底面ABC的距离趋向于0，则三棱锥SABC近似压缩为四顶点共面，则当S为ABC内一点时，二面角的平面角，的大小都为，因此(，3)，故选C.真题体验1(2017全国)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确的是_(填写所有正确结论的编号)答案解析依题意建立如图所示的空间直角坐标系，设等腰直角三角形ABC的直角边长为1.由题意知，点B在平面xOy中形成的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆设直线a的方向向量为a(0,1,0)，直线b的方向向量为b(1,0,0)，以Ox轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为，则B(cos ，sin ，0)，(cos ，sin ，1)，|.设直线AB与a所成的角为，则cos |sin |，4590，正确，错误；设直线AB与b所成的角为，则cos |cos |.当直线AB与a的夹角为60，即60时，|sin |cos cos 60，|cos |，cos |cos |.4590，60，即直线AB与b的夹角为60.正确，错误2(2017浙江改编)如图，已知正四面体DABC(所有棱长均相等的三棱锥)，P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，APPB，2，分别记二面角DPRQ，DPQR，DQRP的平面角为，则，的大小关系为_答案解析如图，作出点D在底面ABC上的射影O，过点O分别作PR，PQ，QR的垂线OE，OF，OG，连接DE，DF，DG，则DEO，DFO，DGO.由图可知，它们的对边都是DO，只需比较EO，FO，GO的大小即可如图，在AB边上取点P，使AP2PB，连接OQ，OR，则O为QRP的中心设点O到QRP三边的距离为a，则OGa，OFOQsinOQFORsinORPa，OFOGOE，2，综上所述，12，又由最小角定理得32，故选D.3如图，正四棱锥PABCD.记异面直线PA与CD所成的角为，直线PA与平面ABCD所成的角为，二面角PBCA的平面角为，则()A BC DPAO.又OEBC，POBC，OE与PO相交于点O，BC平面POE，PEBC，因此PEO为二面角PBCA的平面角OEtanPAO，PEOPAO.又PABPBE，cosPBE，cosPEO，OEBE，PEPB，cosPBEPEO，又PBEPAB，故选C.4已知四边形ABCD，ABBDDA2，BCCD，现将ABD沿BD折起，使二面角ABDC的大小在内，则直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析设BD的中点为E，连接AE，CE，因为ABBDDA2，BCCD，所以AE，CE1，且AEBD，CEBD，则AEC为二面角ABDC的平面角，在平面ABD内，过点A作AFBD，使AFBD，构造平行四边形ABDF，连接FD，CF，则CDF或其补角即为异面直线AB与CD的夹角，则在AEC中，由余弦定理得AC2AE2CE22AECEcosAEC42cosAEC，又因为AEC，所以AC242cosAEC1,7因为AEBD，CEBD，且AECEE，AE，CE平面AEC，所以BD平面AEC，则BDAC，所以AFAC，则在RtCAF中，CF2AC2AF25,11，则在CDF中，由余弦定理易得直线AB与CD的夹角的余弦值为|cosCDF|，故选A.5长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为，则cos2cos2cos2_.答案2解析设长方形的长、宽、高分别为a，b，c，则对角线长d，所以cos2cos2cos22222.6.如图所示，在正方体AC1中， AB2, A1C1B1D1E，直线AC与直线DE所成的角为，直线DE与平面BCC1B1所成的角为，则cos_.答案解析由题意可知，则cossin ，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则D，E，平面BCC1B1的法向量，由此可得cossin .7.(2018浙江省名校新高考研究联盟联考)如图，平行四边形PDCE垂直于梯形ABCD所在的平面，ADCBAD90，PDC120，F为PA的中点，PD1，ABADCD1.(1)求证：AC平面DEF；(2)求直线BC与平面PAD所成角的余弦值(1)证明连接PC.设PC与DE的交点为M，连接FM，因为F，M分别为PA，PC的中点，则FMAC.因为FM平面DEF，AC平面DEF，所以AC平面DEF.(2)解方法一(几何法)取CD的中点G，连接AG，则AGBC，所以直线AG与平面PAD所成的角即为直线BC与平面PAD所成的角过点G作GHPD，交PD于点H，又平面PDCE平面ABCD，平面PDCE平面ABCDCD，ADCD，AD平面ABCD，所以AD平面PDCE，又GH平面PDCE，所以ADGH，因为PDADD，PD，AD平面PAD，所以GH平面PAD，则GAH即为所求的线面角，易得GH，AGBC，则sinGAH，所以直线BC与平面PAD所成角的余弦值为.方法二(向量法)过点D在平面PDCE中作DQPE，交PE于点Q，由已知可得PQ，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DQ所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示由题意可得D(0,0,0)，P，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，则(1,0,0)，设平面PAD的法向量n(x，y，z)，则即令y，得平面PAD一个法向量n(0，1)，(1,1,0)设直线BC与平面PAD所成的角为，则sin |cosn，|，所以直线BC与平面PAD所成角的余弦值为.8(2018浙江省杭州二中月考)如图，等腰梯形ABCD中，ABCDBC2，AD5，M，N是AD上的点，且AMDN2，现将ABM，CDN分别沿BM，CN折起，使得A，D重合记作S.(1)求证：BC平面SMN；(2)求直线SN与底面BCNM所成角的余弦值(1)证明BCMN，且MN平面SMN，BC平面SMN，BC平面SMN.(2)解过S向底面作垂线，垂足为O，连接BC的中点Q与MN的中点P，根据对称性可知O在PQ上，分别连接SQ，SP，ON，则SNO是所求的线面角在SPQ中，SP，SQ，PQ，则SO，则sinSNO，cosSNO.9(2018湖州、衢州、丽水质检)已知矩形ABCD满足AB2，BC，PAB是正三角形，平面PAB平面ABCD.(1)求证：PCBD；(2)设直线l过点C且l平面ABCD，点F是直线l上的一个动点，且与点P位于平面ABCD的同侧记直线PF与平面PAB所成的角为，若0CF1，求tan 的取值范围(1)证明取AB的中点E，连接PE，EC.因为点E是正三角形PAB的边AB的中点，所以PEAB.又平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，PE平面PAB，所以PE平面ABCD，因为BD平面ABCD，则PEBD.因为，EBCBCD90，所以EBCBCD.故ECBBDC，所以ECBDBCBDCDBC90，所以CEBD，又CEPEE，CE，PE平面PEC，故BD平面PEC，又PC平面PEC，因此PCBD.(2)解方法一在平面PAB内过点B作直线mFC，过F作FGm，交m于点G，连接PG，则四边形BGFC为矩形，BCFG，BCFG.又由(1)及题意得，BC平面PAB，所以FG平面PAB，所以GPF是直线PF与平面PAB所成的角，所以点F到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离，即为BC，因为0CF1，所以1GP2，故tan .方法二如图，以E为坐标原点，EB，EP所在直线为x轴，z轴，过点E平行于BC的直线为y轴，建立空间直角坐标系设CFa(0a1)，则P(0,0，)，F(1，a)，所以(1，a)，取平面PAB的一个法向量为n(0,1,0)，则sin ，由00，得0x，所以函数f(x)在上单调递增；令f(x)0，得x1，所以函数f(x)在上单调递减，所以f(x)maxf，所以sin 的最大值为.
展开阅读全文