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专题08 立体几何一、选择题1. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评】某几何体的三视图如图所示，其中点分别是几何体上下底面的一组对应顶点，打点器从P点开始到点结束绕侧面打一条轨迹线，则留下的所有轨迹中最短轨迹长度为ABCD【答案】B2. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评】在长方体与平面所成的角为，则的取值区间为A B C D【答案】B3. 【河北省衡水市武邑中学2018年高三高考三模】一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为A B C2 D4【答案】B【解析】几何体如图，所以最大面的面积为，选4. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知,该几何体是由正三棱柱截取一部分所得,故体积为. 7. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试】如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A6 B9 C12 D18【答案】C8. 【衡水金卷】2018届四省名校高三第三次大联考】某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，若该几何体的体积为144，则（ ）A14 B13 C12 D11【答案】C9. 【河北省衡水中学2019届高三上学期四调】九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥为鳖臑，平面，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意得为球的直径,而,即球的半径;所以球的表面积.本题选择C选项. 12. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积不可能是A B2 C4 D6【答案】C13. 【河北省衡水中学2018年高考押题(一)】已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D【答案】C14. 【河北省衡水中学2018年高考押题(一)】已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球， ， ，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】如图，设 的中心为 ，球 的半径为 ，连接，易求得，则.在中，由勾股定理， ，解得 ，由 ，知，所以，当过点 的截距与 垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径，此时截面圆的面积为 ；当过点 的截面过球心时，截面圆的面积最大，此时截面圆的面积为 ，故选B. 17. 【河北省衡水中学2018届高三十五模试题】如图是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积是A B C D 【答案】B18. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试】已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A B C D【答案】A19. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)】已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D【答案】C20. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)】已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球， ， ，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】如图，设 的中心为 ，球 的半径为 ，连接，易求得，则.在中，由勾股定理， ，解得 ，由 ，知，所以，当过点 的截距与 垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径，此时截面圆的面积为 ；当过点 的截面过球心时，截面圆的面积最大，此时截面圆的面积为 ，故选B. 3. 【河北省衡水中学2019届高三上学期四调】如图为某几何体的三视图，正视图与侧视图是两个全等的直角三角形，直角边长分别为与1，俯视图为边长为1的正方形，则该几何体最长边长为_.【答案】4. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知正方体的棱的中点为与交于点，平面过点，且与直线垂直，若，则平面截该正方体所得截面图形的面积为_【答案】【解析】5. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】如图所示，在棱长为2的正方体中，分别是，的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于_【答案】.【解析】以AD,DC,DD1建立空间直角坐标系，则：得直线和所成角的余弦值等于 又，所以平面，所以平面.因为BC=2，.所以又，所以，因为，所以。所以.所以几何体QR-ABC的体积为，则.又.则2. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试】如图，在底面为梯形的四棱锥中，已知，.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）在中，为的中点，且，在中，为直角三角形，且又，且平面3. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调】已知多面体中，平面， .（1）求点在平面上投影的位置，请说明具体位置并说明理由；（2）求多面体的体积.【答案】（1）点在平面的投影在线段中点上；（2）.平面，、 平面 ，又、 平面，平面平面，即点在平面的投影在线段中点上（2）设到平面的距离为由，可知为梯形则 4. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试】如图，在直三棱柱中，分别是棱，的中点，点在棱上，且，.（1）求证：平面；（2）当时，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）（法二）取的中点，连接由是棱的中点，为的中点， 为的中位线，即平面 又为棱的中点，为的中点由，由，且为直三棱柱 ，进而得 ，即平面 又 平面平面 又平面 平面 (2)取上一点使 且直三棱柱，为中点,平面 而,点到平面的距离等于三棱锥的体积为 5. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试】四棱锥中，面，底面是菱形，且，过点作直线，为直线上一动点.（1）求证：；（2）当面面时，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.（2）由题意得和都是以为底的等腰三角形，设和的交点为，连接、，则，又,平面又平面面，平面 面，面，.在菱形中，.在中，在中，设，则在中，又在直角梯形中，故， 解得，即. ，.6. 【衡水金卷】2018届四省名校高三第三次大联考】在如图所示的几何体中，平面，四边形为等腰梯形，.（1）证明：；（2）若多面体的体积为，求线段的长.【答案】(1)证明见解析；(2).（2）设，作于点，则平面，且，又，得连接，则，.7. 【河北省衡水中学2019届高三上学期四调】如图所示，四棱锥中，平面平面，.（1）证明：在线段上存在一点，使得平面；（2）若，在（1）的条件下，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析;(2) .依题意得， ，则有 ，四边形是平行四边形，平面，平面，平面8. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】在如图所示的多面体中，平面,求证：平面；若，求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）.三棱锥的体积：9. 【河北省衡水中学2018年高考押题(一)】如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心.（1）求证：平面平面；（2）若，点在线段上，且，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析.(2) .（2）解：由（1）知平面，所以就是点到平面的距离.由已知可得，所以为正三角形，所以.又点为的重心，所以.故点到平面的距离为.所以 .10. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】如下图：将直角三角形，绕直角边旋转构成圆锥，四边形是圆的内接矩形，是母线的中点，。（I）求证：面；（II）当时，求点到平面的距离。【答案】（）证明见解析；（）。（）设点到平面的距离为d，由题设，PAC是边长为4的等边三角形CM=又AD=CDMAMD又由得=d=点到平面的距离为。11. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】如图所示的几何体中，四边形为菱形，平面平面，为的中点，为平面内任一点.（1）在平面内，过点是否存在直线使？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；（2）过，三点的平面将几何体截去三棱锥，求剩余几何体的体积.【答案】(1)见解析；（2）【解析】（1）过点存在直线使，理由如下：由题可知为的中点，又为的中点，所以在中，有.若点在直线上，则直线即为所求作直线，所以有；若点不在直线上，在平面内，过点作直线，使，又，所以，即过点存在直线使.所以，所以几何体的体积.12. 【河北省衡水中学2018届高三十五模试题】如图，在直三棱柱中， 平面，其垂足落在直线上.（1）求证： ；（2）若是线段上一点， ，三棱锥的体积为，求的值.【答案】(1)证明见解析；(2) .（2）设，过点作于点，由（1）知平面，.， ，.平面，其垂足落在直线上， ， ，在中，又，在中，.又三棱锥的体积为，解得.，.13. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试】如图，在三棱柱中，已知，点在底面上的投影是线段的中点.（1）证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；（2）求三棱柱的侧面积.【答案】(1)证明见解析.(2) .又，得5分（2）由已知可得的高，的高12分14. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)】如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心.（1）求证：平面平面；（2）若，点在线段上，且，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析.(2) .所以平面，即平面.又平面，所以平面平面.
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