2019-2020年高中数学 第三章 直线与方程学案 新人教A版必修2.doc

2019-2020年高中数学 第三章 直线与方程学案 新人教A版必修2直线的倾斜角提出问题在平面直角坐标系中，直线l经过点P.问题1：直线l的位置能够确定吗？提示：不能问题2：过点P可以作与l相交的直线多少条？提示：无数条问题3：上述问题中的所有直线有什么区别？提示：倾斜程度不同导入新知1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角如图所示，直线l的倾斜角是APx，直线l的倾斜角是BPx.2倾斜角的范围：直线的倾斜角的取值范围是0180，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.3倾斜角与直线形状的关系倾斜角00909090180直线化解疑难对直线的倾斜角的理解(1)倾斜角定义中含有三个条件：x轴正向；直线向上的方向；小于180的非负角(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.直线的斜率提出问题日常生活中，常用坡度(坡度)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度.问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？提示：可以问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？提示：可以问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？提示：与倾斜角的正切值相等导入新知1斜率的定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率常用小写字母k表示，即ktan_.2斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.当x1x2时，直线P1P2没有斜率3斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度化解疑难1倾斜角与斜率k的关系(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率当倾斜角是90时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度当090时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90180时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大2斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说， 如果分子是y2y1，分母必须是x2x1；反过来，如果分子是y1y2，分母必须是x1x2，即k.(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论直线的倾斜角例1(1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30角，则直线l的倾斜角为()A30B60C30或150 D60或120(2)下列说法中，正确的是()A直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan B直线的斜率为tan ，则此直线的倾斜角为C若直线的倾斜角为，则sin 0D任意直线都有倾斜角，且90时，斜率为tan 解析(1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60或120.(2)对于A，当90时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan ，但只有0180时，才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，0，sin 0，故C不正确，故选D.答案(1)D(2)D类题通法求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角(2)两点注意：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90.注意直线倾斜角的取值范围是0180.活学活用1直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是()A0，90)B90，180)C(90，180) D(0，180)解析：选C直线倾斜角的取值范围是0，180)，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是(90，180)2设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()A45B135C135D当0135时为45，当135180时为135解析：选D当0135时，l1的倾斜角是45.当135180时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜角为135，故应选D.直线的斜率例2(1)已知过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为135，则y_；(2)过点P(2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为_；(3)已知过A(3,1)，B(m，2)的直线的斜率为1，则m的值为_解析(1)直线AB的斜率ktan 1351，又k，由1，得y5.(2)由斜率公式k1，得m1.(3)当m3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在当m3时，k1，解得m0.答案(1)5(2)1(3)0类题通法利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x1x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置活学活用3(xx河南平顶山高一调研)若直线过点 (1,2)，(4，2)，则此直线的倾斜角是()A30 B45C60 D90解析：选A设直线的倾斜角为，直线斜率k，tan .又0180，30.直线的斜率的应用例3已知实数x，y满足y2x8，且2x3，求的最大值和最小值解如图所示，由于点(x，y)满足关系式2xy8，且2x3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA2，kOB，所以可求得的最大值为2，最小值为.类题通法根据题目中代数式的特征，看是否可以写成的形式，若能，则联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题活学活用4点M(x，y)在函数y2x8的图象上，当x2,5时，求的取值范围解：的几何意义是过M(x，y)，N(1，1)两点的直线的斜率点M在函数y2x8的图象上，且x2,5，设该线段为AB且A(2,4)，B(5，2)kNA，kNB，.的取值范围为，典例已知两点A(3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，则l的倾斜角的取值范围_；直线l的斜率k的取值范围_解析如图，由题意可知kPA1，kPB1，则直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45，PA的倾斜角是135，直线l的倾斜角的取值范围是45135；要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k1或k1.答案45135k1或k1易错防范1本题易错误地认为1k1，结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90时，有kkPB；当l的倾斜角大于90时，则有kkPA.2.如图，过点P的直线l与直线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而PC所在的直线与线段AB不相交，所以满足题意的斜率夹在中间，即kPAkkPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边成功破障已知直线l过点P(3,4)，且与以A(1,0)，B(2,1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围解：直线PA的斜率kPA1，直线PB的斜率kPB3，要使直线l与线段AB有公共点，k的取值范围为1,3随堂即时演练1关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是()A任一直线都有倾斜角，都存在斜率B倾斜角为135的直线的斜率为1C若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为ktan D直线斜率的取值范围是(，)解析：选D任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为90时，斜率不存在所以A、C错误；倾斜角为135的直线的斜率为1，所以B错误；只有D正确2已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是()A5B8C. D7解析：选C由斜率公式可得1，解之得m.3直线l经过原点和(1,1)，则它的倾斜角为_解析：kl1，因此倾斜角为135.答案：1354已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(2，9a)在同一条直线上，实数a的值为_解析：A、B、C三点共线，kABkBC，即，a2或.答案：2或5已知A(m，m3)，B(2，m1)，C(1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值解：由题意直线AC的斜率存在，即m1.kAC，kBC.3.整理得：m1(m5)(m1)，即(m1)(m4)0，m4或m1(舍去)m4.课时达标检测一、选择题1给出下列说法，正确的个数是()若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；一条直线的倾斜角为30；倾斜角为0的直线只有一条；直线的倾斜角的集合|0180与直线集合建立了一一对应关系A0 B1C2 D3解析：选A若两直线的倾斜角为90，则它们的斜率不存在，错；直线倾斜角的取值范围是0，180)，错；所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0，错；不同的直线可以有相同的倾斜角，错2过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为45，则y()A B.C1 D1解析：选Ctan 45kAB，即1，所以y1.3.如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为()Ak1k2k3Bk1k3k2Ck2k1k3Dk3k2k1解析：选A根据“斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A正确4经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是()Am1 Bm1C1m1 Dm1或m1解析：选C直线l的倾斜角为锐角，斜率k0，1m1.5(xx广州高一检测)如果直线l过点(1,2)，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是()A0,1 B0,2C. D(0,3解析：选B过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线斜率时，图象不过第四象限二、填空题6已知a0，若平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a_.解析：若平面内三点共线，则kABkBC，即，整理得a22a10，解得a1，或a1(舍去)答案：17如果直线l1的倾斜角是150，l2l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分BAC，则l3的倾斜角为_解析：因为直线l1的倾斜角为150，所以BCA30，所以l3的倾斜角为(9030)30.答案：308已知实数x，y满足方程x2y6，当1x3时，的取值范围为_解析：的几何意义是过M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率，因为点M在函数x2y6的图象上，且1x3，所以可设该线段为AB，且A，B，由于kNA，kNB，所以的取值范围是.答案：三、解答题9已知直线l过点A(1,2)，B(m,3)，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围解：设l的斜率为k，倾斜角为，当m1时，斜率k不存在，90，当m1时，k，当m1时，k0，此时为锐角，090，当m1时，k0，此时为钝角，90180.所以(0，180)，k(，0)(0，)10已知A(3,3)，B(4,2)，C(0，2)，(1)求直线AB和AC的斜率(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB.直线AC的斜率kAC.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.31.2两条直线平行与垂直的判定两条直线平行提出问题平面几何中，两条直线平行同位角相等问题1：在平面直角坐标中，若l1l2，则它们的倾斜角1与2有什么关系？提示：相等问题2：若l1l2，则l1，l2的斜率相等吗？提示：不一定，可能相等，也可能都不存在问题3：若l1与l2的斜率相等，则l1与l2一定平行吗？提示：不一定可能平行也可能重合导入新知对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1l2k1k2.化解疑难对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)l1l2k1k2成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；l1与l2不重合(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90，则l1l2.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：l1l2k1k2或l1，l2斜率都不存在.两条直线垂直提出问题已知两条直线l1，l2，若l1的倾斜角为30，l1l2.问题1：上述问题中，l1，l2的斜率是多少？提示：k1，k2.问题2：上述问题中两直线l1、l2的斜率有何关系？提示：k1k21.问题3：若两条直线垂直且都有斜率，它们的斜率之积一定为1吗？提示：一定导入新知如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1；反之，如果它们的斜率之积等于1，那么它们互相垂直，即l1l2k1k21.化解疑难对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)l1l2k1k21成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；k10且k20.(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直(3)判定两条直线垂直的一般结论为：l1l2k1k21或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零两条直线平行的判定例1根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行(1)l1经过点A(2,1)，B(3,5)，l2经过点C(3，3)，D(8，7)；(2)l1经过点E(0,1)，F(2，1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)；(3)l1的倾斜角为60，l2经过点M(1，)，N(2，2)；(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，2)，Q(0,5)解(1)由题意知，k1，k2，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kBC，故l1l2.(2)由题意知，k11，k21，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG1，故直线l1与直线l2重合(3)由题意知，k1tan 60，k2，k1k2，所以直线l1与直线l2平行或重合(4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1l2.类题通法判断两条不重合直线是否平行的步骤活学活用1试确定m的值，使过点A(m1,0)，B(5，m)的直线与过点C(4,3)，D(0,5)的直线平行解：由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在kAB，kCD，由于ABCD，即kABkCD，所以，得m2.经验证m2时直线AB的斜率存在，所以m2.两条直线垂直的问题例2已知直线l1经过点A(3，a)，B(a2，3)，直线l2经过点C(2,3)，D(1，a2)，如果l1l2，求a的值解设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.直线l2经过点C(2,3)，D(1，a2)，且21，l2的斜率存在当k20时，a23，则a5，此时k1不存在，符合题意当k20时，即a5，此时k10，由k1k21，得1，解得a6.综上可知，a的值为5或6.类题通法使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式(3)求值：计算斜率的值，进行判断尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论总之，l1与l2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l1l2；l1与l2斜率都存在时，满足k1k21.活学活用2已知定点A(1,3)，B(4,2)，以A、B为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是_解析：以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则ACBC.设C(x,0)，则kAC，kBC，所以1，得x1或2，所以C(1,0)或(2,0)答案：(1,0)或(2,0)平行与垂直的综合应用例3已知A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状解由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得kAB，kCD，kAD3，kBC.所以kABkCD，由图可知AB与CD不重合，所以ABCD.由kADkBC，所以AD与BC不平行又因为kABkAD(3)1，所以ABAD，故四边形ABCD为直角梯形类题通法1在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标2证明两直线平行时，仅有k1k2是不够的，注意排除两直线重合的情况活学活用3已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足ABCD，且ADBC，试求点D的坐标解：设D(x，y)，则kAB1，kBC，kCD，kDA.因为ABCD，ADBC，所以，kABkCD1，kDAkBC，所以解得即D(10，6)典例已知直线l1经过A(3，m)，B(m1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(2，m2)(1)若l1l2，求m的值；(2)若l1l2，求m的值解题流程先求l2的斜率由l1l2得k1k2列关系式检验由l1l2讨论k20或k20，再由k1k21得出结论当k20时，直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，且k1k21，即1，解得m3或m4，(10分)所以m3或m4时，l1l.(12分)名师批注处易漏掉而直接利用两直线平行或垂直所具备的条件来求m值，解答过程不严谨处讨论k20和k20两种情况此处易漏掉检验做解答题要注意解题的规范活学活用已知A(m3,2)，B(2m4,4)，C(m，m)，D(3,3m2)，若直线ABCD，求m的值解：因为A，B两点纵坐标不等，所以AB与x轴不平行因为ABCD，所以CD与x轴不垂直，故m3.当AB与x轴垂直时，m32m4，解得m1，而m1时，C，D纵坐标均为1，所以CDx轴，此时ABCD，满足题意当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得kAB，kCD.因为ABCD，所以kABkCD1，解得m1.综上，m的值为1或1.随堂即时演练1下列说法正确的有()若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；若l1l2，则k1k2；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行A1个B2个C3个 D4个解析：选A若k1k2，则这两条直线平行或重合，所以错；当两条直线垂直于x轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以错；正确2直线l1，l2的斜率是方程x23x10的两根，则l1与l2的位置关系是()A平行 B重合C相交但不垂直 D垂直解析：选D设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1k21.3已知ABC中，A(0,3)、B(2，1)，E、F分别为AC、BC的中点，则直线EF的斜率为_解析：E、F分别为AC、BC的中点，EFAB.kEFkAB2.答案：24经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为4的直线互相垂直，则m的值是_解析：由题意可知kl，又因为kl，所以，解得m.答案：5判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系(1)l1的斜率为10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(2)l1过点A(3,4)，B(3,100)，l2过点M(10,40)，N(10,40)；(3)l1过点A(0,1)，B(1,0)，l2过点M(1,3)，N(2,0)；(4)l1过点A(3,2)，B(3,10)，l2过点M(5，2)，N(5,5)解：(1)k110，k2.k1k21，l1l2.(2)l1的倾斜角为90，则l1x轴k20，则l2x轴，l1l2.(3)k11，k21，k1k2.又kAM2k1，l1l2.(4)l1与l2都与x轴垂直，l1l2.课时达标检测一、选择题1已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2，1)和点N(3,4)的直线平行，则m的值是()A1 B1C2 D2解析：选B因为MNPQ，所以kMNkPQ，即 ，解得m1.2以A(1,1)，B(2，1)，C(1,4)为顶点的三角形是()A锐角三角形B钝角三角形C以A点为直角顶点的直角三角形D以B点为直角顶点的直角三角形解析：选C如右图所示，易知kAB，kAC，由kABkAC1知三角形是以A点为直角顶点的直角三角形3已知点A(2，5)，B(6,6)，点P在y轴上，且APB90，则点P的坐标为()A(0，6) B(0,7)C(0，6)或(0,7) D(6,0)或(7,0)解析：选C由题意可设点P的坐标为(0，y)因为APB90，所以APBP，且直线AP与直线BP的斜率都存在又kAP，kBP，kAPkBP1，即()1，解得y6或y7.所以点P的坐标为(0，6)或(0,7)4若A(4,2)，B(6，4)，C(12,6)，D(2,12)，则下面四个结论：ABCD；ABAD；ACBD；ACBD中正确的个数为()A1 B2C3 D4解析：选C由题意得kAB，kCD，kAD，kAC，kBD4，所以ABCD，ABAD，ACBD.5已知点A(2,3)，B(2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是()A梯形 B平行四边形C菱形 D矩形解析：选B如图所示，易知kAB，kBC0，kCD，kAD0，kBD，kAC，所以kABkCD，kBCkAD，kABkAD0，kACkBD，故ADBC，ABCD，AB与AD不垂直，BD与AC不垂直所以四边形ABCD为平行四边形二、填空题6l1过点A(m,1)，B(3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1l2，则m_.解析：l1l2，且k21，k11，m0.答案：07已知直线l1的倾斜角为45，直线l2l1，且l2过点A(2，1)和B(3，a)，则a的值为_解析：l2l1，且l1的倾斜角为45，kl2kl1tan 451，即1，所以a4.答案：48已知A(2,3)，B(1，1)，C(1，2)，点D在x轴上，则当点D坐标为_时，ABCD.解析：设点D(x,0)，因为kAB40，所以直线CD的斜率存在则由ABCD知，kABkCD1，所以41，解得x9.答案：(9,0)三、解答题9当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m21，m2)的直线：(1)倾斜角为135；(2)与过两点(3,2)，(0，7)的直线垂直；(3)与过两点(2，3)，(4,9)的直线平行？解：(1)由kABtan 1351，解得m，或m1.(2)由kAB，且3.则，解得m，或m3.(3)令2，解得m，或m1.10直线l1经过点A(m,1)，B(3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(1，m1)，当l1l2或l1l2时，分别求实数m的值解：当l1l2时，由于直线l2的斜率存在，则直线l1的斜率也存在，则kABkCD，即，解得m3；当l1l2时，由于直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，则kABkCD1，即1，解得m.综上，当l1l2时，m的值为3；当l1l2时，m的值为.32直线的方程32.1直线的点斜式方程提出问题斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线问题1：已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索位置确定吗？提示：不确定从一点可引出多条斜拉索问题2：若某条斜拉索过点B(0，b)，斜率为k，则该斜拉索所在直线上的点P(x，y)满足什么条件？提示：满足k.问题3：可以写出问题2中的直线方程吗？提示：可以方程为ybkx.导入新知1直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程yy0k(xx0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90的直线没有点斜式，其方程为xx00，或xx0.2直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程ykxb叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距倾斜角是直角的直线没有斜截式方程化解疑难1关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：已知一点P(x0，y0)和斜率k；斜率必须存在只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程(2)方程yy0k(xx0)与方程k不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线(3)当k取任意实数时，方程yy0k(xx0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线2斜截式与一次函数的解析式相同，都是ykxb的形式，但有区别，当k0时，ykxb即为一次函数；当k0时，yb，不是一次函数，一次函数ykxb(k0)必是一条直线的斜截式方程截距不是距离，可正、可负也可为零直线的点斜式方程例1(1)经过点(5,2)且平行于y轴的直线方程为_(2)直线yx1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90后得直线l，则直线l的点斜式方程为_(3)求过点P(1,2)且与直线y2x1平行的直线方程为_解析(1)直线平行于y轴，直线不存在斜率，方程为x5.(2)直线yx1的斜率k1，所以倾斜角为45.由题意知，直线l的倾斜角为135，所以直线l的斜率ktan 1351，又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y4(x3)(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1,2)，直线方程为y22(x1)，即2xy0.答案(1)x5(2)y4(x3)(3)2xy0类题通法已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用当直线的斜率不存在时，直线方程为xx0.活学活用1写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2,5)，斜率是4；(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45；(3)经过点C(1，1)，与x轴平行解：(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y54(x2)(2)直线的倾斜角为45，此直线的斜率ktan451.直线的点斜式方程为y3x2.(3)直线与x轴平行，倾斜角为0，斜率k0.直线的点斜式方程为y10(x1)，即y1.直线的斜截式方程例2(1)倾斜角为150，在y轴上的截距是3的直线的斜截式方程为_(2)已知直线l1的方程为y2x3，l2的方程为y4x2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程解析(1)倾斜角150，斜率ktan 150，由斜截式可得所求的直线方程为yx3.(2)由斜截式方程知直线l1的斜率k12，又ll1，l的斜率kk12.由题意知l2在y轴上的截距为2，l在y轴上的截距b2，由斜截式可得直线l的方程为y2x2.答案(1)yx3类题通法1斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在当b0时，ykx表示过原点的直线；当k0时，yb表示与x轴平行(或重合)的直线2截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数活学活用2求倾斜角是直线yx1的倾斜角的，且在y轴上的截距是5的直线方程解：直线yx1的斜率k，其倾斜角120，由题意，得所求直线的倾斜角130，故所求直线的斜率k1tan 30.所求直线的斜率是，在y轴上的截距为5，所求直线的方程为yx5.两直线平行与垂直的应用例3当a为何值时，(1)两直线yax2与y(a2)x1互相垂直？(2)两直线yx4a与y(a22)x4互相平行？解(1)设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1a，k2a2.两直线互相垂直，k1k2a(a2)1，解得a1.故当a1时，两条直线互相垂直(2)设两直线的斜率分别为k3，k4，则k31，k4a22.两条直线互相平行，解得a1.故当a1时，两条直线互相平行类题通法判断两条直线位置关系的方法直线l1：yk1xb1，直线l2：yk2xb2.(1)若k1k2，则两直线相交(2)若k1k2，则两直线平行或重合，当b1b2时，两直线平行；当b1b2时，两直线重合(3)特别地，当k1k21时，两直线垂直(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑活学活用3(1)若直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直，则a_.(2)若直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行，则a_.解析：(1)由题意可知kl12a1，kl24.l1l2，4(2a1)1，解得a.(2)因为l1l2，所以a221，且2a2，解得a1，所以a1时两直线平行答案：(1)(2)1典例已知直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，当l1l2时，求m的值解由题设l2的方程可化为yxm，则其斜率k2，在y轴上的截距b2m.l1l2，l1的斜率一定存在，即m0.l1的方程为yx.由l1l2，得解得m1.m的值为1.易错防范1两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合2解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合成功破障当a为何值时，直线l1：y2ax2a与直线l2：y(a23)x2平行？解：l1l2，a232a且2a2，解得a3.随堂即时演练1直线y2x3的斜率和在y轴上的截距分别等于()A2,3B3，3C3,2 D2，3答案：D2直线l经过点P(2，3)，且倾斜角45，则直线的点斜式方程是()Ay3x2 By3x2Cy2x3 Dy2x3解析：选A直线l的斜率ktan 451，直线l的方程为y3x2.3过点(2，4)，倾斜角为60的直线的点斜式方程是_解析：60，ktan 60，由点斜式方程，得y4(x2)答案：y4(x2)4在y轴上的截距为2，且与直线y3x4平行的直线的斜截式方程为_解析：直线y3x4的斜率为3，所求直线与此直线平行，斜率为3，又截距为2，由斜截式方程可得y3x2.答案：y3x25(1)求经过点(1,1)，且与直线y2x7平行的直线的方程；(2)求经过点(2，2)，且与直线y3x5垂直的直线的方程解：(1)由y2x7得其斜率为2，由两直线平行知所求直线的斜率是2.所求直线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)由y3x5得其斜率为3，由两直线垂直知，所求直线的斜率是.所求直线方程为y2(x2)，即x3y80.课时达标检测一、选择题1已知直线的方程是y2x1，则()A直线经过点(1,2)，斜率为1B直线经过点(2，1)，斜率为1C直线经过点(1，2)，斜率为1D直线经过点(2，1)，斜率为1解析：选C直线的方程可化为y(2)x(1)，故直线经过点(1，2)，斜率为1.2直线yax的图象可能是()解析：选B由yax可知，斜率和截距必须异号，故B正确3与直线y2x1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是()Ayx4 By2x4Cy2x4 Dyx4解析：选D因为所求直线与y2x1垂直，所以设直线方程为yxb.又因为直线在y轴上的截距为4，所以直线的方程为yx4.4过点(1,3)且垂直于直线x2y30的直线方程为()A2xy10 B2xy50Cx2y50 Dx2y70解析：选A在斜率存在的条件下，两条直线垂直的充要条件是斜率互为负倒数，则所求直线的斜率为2，所求直线的方程为y32(x1)，即2xy10.5过点(1,0)且与直线yx1平行的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10解析：选A与直线yx1平行的直线方程可设为：yxc，将点(1,0)代入得0c，解得c，故直线方程为yx即x2y10.二、填空题6过点(3,2)且与直线y1(x5)平行的直线的点斜式方程是_解析：与直线y1(x5)平行，故斜率为，所以其点斜式方程是y2(x3)答案：y2(x3)7直线yax3a2(aR)必过定点_解析：将直线方程变形为y2a(x3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3,2)答案：(3,2)8过点(4，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为_解析：依题意设l的方程为y3k(x4)令x0，得y4k3；令y0，得x.因此4k3.解得k1或k.故所求方程为yx1或yx.答案：yx1或yx三、解答题9已知三角形的顶点坐标是A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，试求这个三角形的三条边所在直线的方程解：直线AB的斜率kAB，过点A(5,0)，由点斜式得直线AB的方程为y(x5)，即3x8y150；同理，kBC，kAC，直线BC，AC的方程分别为5x3y60,2x5y100.10已知直线l的斜率与直线3x2y6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l的方程解：由题意知，直线l的斜率为，故设直线l的方程为yxb，l在x轴上的截距为b，在y轴上的截距为b，所以bb1，b，直线l的方程为yx，即15x10y60.32.2 & 3.2.3直线的两点式方程、直线的一般式方程两点式、截距式提出问题某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P处，如图所示公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A、B两处，并使区商业中心O到A、B两处的距离之和最短问题1：在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A、B能否确定？提示：可以确定问题2：根据上图知建立平面坐标系后，A、B两点的坐标值相当于在x轴、y轴上的什么量？提示：在x轴、y轴上的截距问题3：那么若已知直线在坐标轴的截距可以确定直线方程吗？提示：可以导入新知直线的两点式与截距式方程两点式截距式条件P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 其中x1x2，y1y2在x轴上截距a，在y轴上截距b图形方程1适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线化解疑难1要注意方程和方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)形式不同，适用范围也不同前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程2直线方程的截距式为1，x项对应的分母是直线在x轴上的截距，y项对应的分母是直线在y轴上的截距，中间以“”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如：1，1就不是直线的截距式方程.直线方程的一般式提出问题观察下列直线方程直线l1：y23(x1)直线l2：y3x2直线l3：直线l4：1问题1：上述直线方程的形式分别是什么？提示：点斜式、斜截式、两点式、截距式问题2：上述形式的直线方程能化成二元一次方程AxByC0的形式吗？提示：能问题3：二元一次方程AxByC0都能表示直线吗？提示：能导入新知1直线与二元一次方程的关系(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示(2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线2直线的一般式方程的定义我们把关于x，y的二元一次方程AxByC0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式化解疑难1求直线的一般式方程的策略(1)当A0时，方程可化为xy0，只需求，的值；若B0，则方程化为xy0，只需确定，的值因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式2直线的一般式转化为其他形式的步骤(1)一般式化为斜截式的步骤移项得ByAxC；当B0时，得斜截式：yx.(2)一般式化为截距式的步骤把常数项移到方程右边，得AxByC；当C0时，方程两边同除以C，得1；化为截距式：1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式利用两点式求直线方程例1三角形的三个顶点是A(1,0)，B(3，1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程解由两点式，直线AB所在直线方程为：，即x4y10.同理，直线BC所在直线方程为：，即2xy50.直线AC所在直线方程为：，即3x2y30.类题通法求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系活学活用1(1)若直线l经过点A(2，1)，B(2,7)，则直线l的方程为_(2)若点P(3，m)在过点A(2，1)，B(3,4)的直线上，则m_.解析：(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x2.(2)由两点式方程得，过A，B两点的直线方程为，即xy10.又点P(3，m)在直线AB上，所以3m10，得m2.答案：(1)x2(2)2直线的截距式方程及应用例2直线l过点P(，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点(1)当AOB的周长为12时，求直线l的方程(2)当AOB的面积为6时，求直线l的方程解(1)设直线l的方程为1(a0，b0)，由题意知，ab12.又因为直线l过点P(，2)，所以1，即5a232a480，解得所以直线l的方程为3x4y120或15x8y360.(2)设直线l的方程为1(a0，b0)，由题意知，ab12，1，消去b，得a26a80，解得所以直线l的方程为3x4y120或3xy60.类题通法用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论活学活用2求经过点A(2,2)，并且和两坐标轴围成的三角