随机事件及其运算.ppt

例如：某场足球赛的输赢；某些经济现象（如失业，经济增长速度）等.,在一定的条件下并不总是出现相同结果的现象.,确定现象随机现象,一定条件下必然发生的现象；,例如：掷一颗骰子出现的点数；某种型号电视机的寿命.,例如:太阳从东方升起；上抛物体下落等.,带有随机性、偶然性的现象,随机试验,-在相同条件下可重复的随机现象,也有许多随机现象是不能重复的.,概率论与数理统计主要是研究能大量重复的随机现象.但也十分注意研究不能重复的随机现象.,随机现象,随机试验实例(E1E6与课本P3上实例全同),E1：掷一枚骰子，观察1至6点出现的状况。,E3：连开两枪,观察中靶Y与脱靶N的出现状况。,E6：记录某大型超市一天内光顾的顾客人数。,E4：任取一只产品，检验其是否合格。,E2：抛一枚硬币，观察正面H与反面T出现的状况。,E5：任取一只灯泡，测试其工作寿命。,1、条件相同时，试验可被重复实施；,3、试验的每次结果虽难以肯定，但可能出现的全部可视结果却都能事先预见。,2、单次试验实施前，哪一结果会肯定出现却难以确定；,随机试验E的共同特点,如一定的命中率，一定的分布规律等等.,但大量炮弹的弹着点则会表现出一定的规律性，,随机现象是不是没有规律可言?,我们的生活和随机现象结下了不解之缘.,在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性,否！,例如:一门火炮在一定条件下进行射击，,个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，,从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，,但多次观察某个随机现象，便可以发现，在大量的偶然之中又存在着必然的规律.,也就是说，随机现象有其偶然性一面，也有其必然性一面，,随机现象常常表现出这样或那样的统计规律，这正是概率论与数理统计所研究的对象.,随机现象的统计性规律,相同条件下进行大量重复试验，随机现象所呈现的规律性.,这种必然性表现在大量重复试验或观察中随机现象所呈现出的固有规律性，,称为,为了用数学的方法对这种统计规律进行研究，我们首先要对随机现象给出规范的数学描述，或说为其建立一个数学模型：,样本空间、样本点、随机事件,1.1随机事件及其运算,1.随机试验所有可能出现的全部基本结果所组成的集合称为样本空间，记成；样本空间内的任一元素（随机试验的任一基本试验结果）都称为样本空间的一个样本点，记成i。,一、借助集合论规范随机试验与随机事件的表述,1.1随机事件及其运算,数集,数集,无限集,*样本空间中的元素可以是数也可以不是数.*样本空间中至少有两个样本点，仅含两个样本点的样本空间是最简单的样本空间.,2.同一试验,若试验目的不同,则对应的样本空间也不同.,例如对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次”.,若观察正面H、反面T出现的情况,则样本空间为:,若观察出现正面的次数,则样本空间为:,说明1.试验不同,对应的样本空间也不同.,3.建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型.因此,一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.,例如只包含两个样本点的样本空间,它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型,也可以作为产品检验中合格与不合格的模型,又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.,如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.,事件B=掷出奇数点,事件A=掷出1点,基本事件:,(相对于观察目的不可再分解的事件),事件B=掷出奇数点,如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.,事件Ai=掷出i点,i=1,2,3,4,5,6,由一个样本点组成的单点集.,基本事件,当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称事件A发生.,如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.,事件B=掷出奇数点,两个特殊的事件：,必,件,然,事,例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于7”是必然事件;,即在试验中必定发生的事件，常用S表示;,不,件,可,事,能,即在一次试验中不可能发生的事件，常用表示.,而“掷出点数8”则是不可能事件.,2.随机试验的样本空间的子集称为随机事件,简称事件.,基本事件：与仅含单个样本点的子集对应的事件复合事件：与含多个样本点的子集相对应的事件,必然事件：与整个样本空间相对应的事件,不可能事件：与空集相对应的事件,随机试验、样本空间与随机事件的关系,每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件.,随机试验,样本空间,随机事件,随机事件,基本事件,必然事件,不可能事件,复合事件,互为对立事件,我们的工作目标就是度量随机事件发生可能性大小的方法.,“天气可以预报”指的是研究者从大量的气象资料来探索这些偶然现象的规律性.,随机事件发生的可能性大小是人为的吗?,随机事件发生的可能性大小是不以人们的意志为转移的,就好比一根木棒有长度，一块土地有面积一样.,“天有不测风云”和“天气可以预报”矛盾吗?,随机事件有什么特点?,首先，随机事件的发生具有偶然性，在一次试验中，可能发生，也可能不发生；,其次，在大量重复试验中，随机事件的发生具有某种规律性.,“天有不测风云”指的是随机现象一次实现的偶然性.,出现次数60626768645662445867,数字0123456789,你能猜出他怀疑的理由吗?,各数码出现次数应该近似相等，或者说，它们出现的的频率应该都接近于0.1.,744,但是，几十年后，曼彻斯特的费格森统计了的611位小数后，得到下面的表，从而对它的正确性产生了怀疑.,我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后7位，这个记录保了1000多年！,圆周率=3.1415926是一个无限不循环小数，,1873年，英国学者Shanks(尚克斯)公布了一个的数值，它在小数点后共有707位之多!,出现的次数过少！,设A、B、Ak(k=1，2，n)是的子集,事件之和事件AB称为事件A与B的和事件。,称为n个事件A1，A2，An的和事件，,称为可列个事件A1，A2，的和事件。,相等若AB，BA，则称事件A=B。,包含若AB，则称事件B包含事件A。,二随机事件间的关系与运算,实例1“长度不合格”必然导致“产品不合格”,所以“产品不合格”,包含“长度不合格”.,图示B包含A.,S,B,实例2某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品不合格”是“长度不合格”与“直径不合格”的并.,图示事件A与B的并.,S,A,事件之积事件AB=称为事件A与B的积事件，也记为AB。称为n个事件A1，A2，An的积事件，称为可列个事件A1，A2，的积事件。,事件之差事件称为事件A与B的差事件。,图示事件A与B的积事件.,S,A,B,AB,实例3某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,设“产品合格”，“长度合格”，“直径合格”,图示A与B的差.,A,B,实例4设“长度合格但直径不合格”，“长度合格”，“直径合格”.,事件的互逆（或对立）若AB=且A+B=，则称事件A与事件B彼此对立，或互逆，记成B=或B=A。,事件的互不相容（或互斥）若AB=（即不可能同时发生），则称事件A与事件B互不相容或互斥。,互逆必互斥，互斥不尽互逆,实例5抛掷一枚硬币,“出现花面”与“出现字面”是互不相容的两个事件.,“骰子出现1点”“骰子出现2点”,图示A与B互斥.,S,实例6抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,注意基本事件是两两互斥的.,实例7“骰子出现1点”“骰子不出现1点”,图示A与B的对立.,S,B,若A与B对立，则有,对立事件与互斥事件的区别,S,S,B,A、B对立（互逆）,A、B互斥(互不相容),互斥,对立,A,逆事件,AB（2）,差事件,AB=,互不相容事件,AB,积事件,AB,和事件,AB,子事件A,AB（1）,差事件,随机事件间运算关系的Venn图,交换律AB=BA，AB=BA。,结合律A（BC）=（AB）C；A（BC）=（AB）C。,分配律A(BC)=(AB)(AC)；A(BC)=(AB)(AC).,德摩根律（DeMorgan）,和之逆即逆之积;积之逆即逆之和,随机事件间的运算性质,例1电路如图所示。用A表示事件“信号灯点亮”，用B，C，D依次表示“继电器闭合”，“继电器闭合”，“继电器闭合”。试给出用B，C，D间的运算关系表示事件A的关系式。,例2设A、B、C为样本空间中的三个事件，试用A、B、C表示下列事件:,1）A发生而B、C都不发生；,2）A、B发生，C不发生；,3）A、B、C至少有一个发生；,4）A、B、C都发生；,5）A、B、C都不发生；,6）A、B、C中只有一个发生；,7）A、B、C中不多于两个发生；,8）A、B、C中恰有两个发生.,又可“宏观地”表述成,3.一切由基本事件复合而成的抽象事件，都可借集合与集合间的运算关系，准确无误地加以描述。,例如，三事件A、B、C中至少发生一个的事件既可“微观地”表述成,更可“逻辑地”表述成,或,随机试验,随机事件,小结,(1)随机试验、样本空间与随机事件的关系,(2)概率论与集合论之间的对应关系,记号,概率论,集合论,样本空间，必然事件,空间,不可能事件,空集,基本事件,元素,随机事件,子集,A的对立事件,A的补集,A出现必然导致B出现,A是B的子集,事件A与事件B相等,集合A与集合B相等,课堂练习,填空以表示事件“甲产品畅销，乙产品滞销”其对立事件为）“甲滞销，乙畅销”）“甲乙均畅销”）“甲滞销”）“甲滞销或乙畅销”,解设“甲畅销”，“乙畅销”则故的对立事件为），即“甲滞销或乙畅销”,那么要问:如何求得某事件的概率呢?下面几节就来回答这个问题.,研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是,事,率,件,概,的,第一讲随机事件及其运算,第三讲条件概率与派生概率公式,第二讲概率定义及其算法,第四讲独立性与派生贝努里概型,第一章随机事件及其概率,第二讲概率定义及其算法,古典概率、几何概率、概率的本质特性,前言,对于一个事件来说，,也可能不发生。,试验中发生的可能性究竟有多大。,我们常常希望知道某些事件在一次,我们希望找到一个,合适的数据来表示事件在一次试验中发生的可能性,为此首先引入频率，,这描述了事件发生的频繁程度,进而引出表示事件在一次试验中发生的可能性的大小,的数概率。,的大小。,它在一次试验中可能发生，,概率是对随机事件发生可能性大小的客观度量。,引例,某射手对目标进行射击，,以观测自己“击中,目标”这事件A出现的可能性有多大。其方法:,（1）用同一枪做射击试验10回，,一回比一回射击的,次数多。,（2）用统计的方法观察出现击中目标的情况。,由上述数据可以看出：,1、频率有随机波动性，,即对于同样的n,所得的,不尽相同。,2、试验的次数n较小时，,频率,随机波动的,幅度较大，,但随着n增大，,呈现出稳定性。,如上例，,当n逐渐增大，,趋于0.8处摆动。,投掷一枚硬币，出现正面可能性有多大？,当抛掷硬币的次数很多时，出现正面的频率值是稳定的，接近于常数0.5，在它左右摆动,抛硬币试验：,表1,波动最小,随n的增大,频率f呈现出稳定性,观察正面出现的次数及频率,表2,大次数n的抛硬币试验,抛硬币次数n较小时，频率f的随机波动幅度较大，但随n的增大，频率f呈现出稳定性.即当n逐渐增大时频率R总是在0.5附近摆动，且逐渐稳定于.5.,(1)频率有随机波动性，即对于同样的n，所得的f不一定相同;,重要结论,当实验次数n较小时，事件发生的频率波动幅度比较大，当n逐渐增大时，频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小它就是事件的概率,用这种定义很难计算事件的概率，因为我们不可能对每个事件都做大量的试验从中得到频率的稳定值同时，由于理论研究的需要，受频率性质的启发，于是,定义（概率的统计定义）,显然有,在此定义中，,p是未知实常数，,只要试验的,次数足够多，,就可以近似地认为,由于统计概率只要求每次试验在相同条件下进行,（即重复试验）除外，,因此应用十分广泛。,如：产品合格率、,天气预报准确率、,电话使用率、,电器可靠率等都是通过频率来确定概率。,但因我们不可能对每个事件都做大量的试验，,从中发现频率的稳定值，,同时为了理论研究的需要，,我们从频率的稳定性和性质得到启发，,给出概率的,公理化定义。,事件的概率（概率的公理化定义）,概率的可列可加性,概率的性质,性质4对任意两个事件A，B，有P(AB)=P(A)P(AB),这个法则给出了计算事件的概率的另一个途经：,若A的概率不便于直接计算，,而其对立事件,的概率,好计算则先求,然后再求,性质6（加法公式）对于任意两事件A，B有P(AB)=P(A)+P(B)P(AB),推广三个事件和的情况,例1,如图：,合上的概率为0.6,合上的概率为0.7,同时合上的概率为0.5,求灯亮的概率。,解设,合上.,合上.,B:灯亮。,求A、B、C中至少有一个发生的概率。,解:,例2.已知,解,【练习】,试验1：掷一枚质地均匀的硬币一次，观察出现哪几种结果？,2种,“1点”、“2点”“3点”、“4点”“5点”、“6点”,“正面朝上”“反面朝上”,基本事件,试验2,试验1,基本事件出现的可能性,两个基本事件的概率都是,六个基本事件的概率都是,观察对比，找出试验1和试验2的共同特点：,只有有限个,相等,有限性,等可能性,设随机实验E满足下列条件,2.等可能性：每个样本点,的发生是等可能的,则称此试验E为古典概型，也叫等可能概型。,古典概率模型,设试验E的样本空间由n个样本点构成，A为E的任意一个事件，且包含k个样本点，则事件A出现的概率记为:,古典概型中事件概率的计算公式,称此为概率的古典定义.,例1一枚硬币掷三次.记A1为“恰有一次出现正面”的事件，A2为“至少有一次出现正面”的事件.试求P(A1)和P(A2)。,解,对随机现象的研究中，常遇到另一类概率计算问题.,如：两个足球队比赛的胜负预测.,B=中国队上半场负，,(1)考虑事件A发生的可能性大小？,(2)事件B已发生，问事件A发生的可能性大小？,A=中国队最终获胜,1.引例:,掷一颗均匀的骰子,B=掷出2点，,A=掷出偶数点,容易看到,可知,大千世界中事物是相互联系影响的，,对随机事件,也不例外。,100件产品中有5件不合格，其中3件是次品，2件是废品，现从中任取一件，试求,解：令A=抽得废品，B=抽得不合格品.,有,1）抽得废品的概率p1;,2）已知抽得不合格品，它是废品的概率p2.,引例,注意到,有,第三讲条件概率,认识事件的相对性观念与条件概率、乘法公式、全概率公式与Bayes公式,若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是有(1).,设A、B是两个事件，且P(B)0,则称(1),为在事件B发生的条件下，事件A的条件概率.,定义,设A、B是两个事件，且P(B)0,则称,A的条件概率.,为在事件B发生的条件下,事件,注意：,P(A)为无附加条件下A的概率，,为无条件概率。,为B出现条件下A出现的概率，,为条件概率。,它们的样本空间是不同的。,事实上，设试验的基本事件总数为n，B所包含的,基本事件数为m(m0),AB所包含的基本事件个数为k.,有,（B成了新的样本空间）,甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？,所求为P(AB).,甲、乙共生产1000个,189个是标准件,300个乙厂生产,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,所求为P(AB).,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”,求的是P(A|B).,B发生,在P(AB)中作为结果;在P(A|B)中作为条件.,条件概率P(A|B)与P(A)的区别,每一个随机试验都是在一定条件下进行的,设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.,P(A)与P(A|B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.,而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小,即P(A|B)仍是概率.,例1,甲、乙两城市位于长江下游，,根据气象资料知：,甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20和18%.,两地同时下雨的比例为12。求下列事件的概率：,1、已知乙地为雨天，甲地也是雨天。,2、甲、乙两地至少有一地为雨天。,解设,A:“甲地为雨天”,B:“乙地为雨天”,则,条件概率的公理化定义,同理可得,为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.,定义,故A变成了新的样本空间。,设A、B是两个事件，且P(A)0,则称,B的条件概率.,为在事件A发生的条件下,事件,定义,设A、B是两个事件，且P(B)0,则称,A的条件概率.,为在事件B发生的条件下,事件,故B变成了新的样本空间。,一盒中混有100只新,旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。,设A-从盒中随机取到一只红球.,A,B,B-从盒中随机取到一只新球.,解,例2,设A表示“能活20岁以上”的事件，B表示“能活25岁以上”的事件,则有,解,因为,于是,0.4,0.8,某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4，如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少?,例3,基于条件概率的乘法原理,由条件概率的定义,即若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(1),而P(AB)=P(BA),若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).,对调A、B的位置，则有,故P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A),(1)和(2)式统称为乘法公式,利用它可计算两个事件同时发生的概率,即若P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A)(2),可清晰地看到P(AB)与P(A|B)的区别！,涉及A与B同时发生时，用P(AB)；有包含或主从关系时，用P(A|B).,例1透镜落地即碎的概率为1/2，若头次不碎，第二次碎的概率为7/10，若前二次皆不碎，第三次碎的概率为9/10。求落地三次都不碎的概率。,解,以,记“第,次落地而碎”的事件，,则所求概率为,例2.,一批零件共100件,其中有10件次品,每次从,其中任取一个零件，取后不放回。试求：,1)若依次抽取3次,求第3次才抽到合格品的概率。,2)如果取到一个合格品就不再取下去，求在3次,内取到合格品的概率。,“第次抽到合格品”,解:设,1),则,且互不相容。,(方法二)利用对立事件,“三次都取到次品”,下利用条件概率求做.,解:,则,且互不相容,一场精彩的足球赛将要举行,5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.,5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写.将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.,后抽比先抽的确实吃亏吗？,概率用途小议,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到入场券的机会都一样大.”,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”i1,2,3,4,5.,显然，P(A1)=1/5，P()4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,也就是说，,则表示“第i个人未抽到入场券”,因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，,由于,由乘法公式,P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5,计算得：,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,也就是说，,如何求取得红球的概率？,解：,B发生总是伴随着A1，A2，A3之一同时发生，,即,且,在处理复杂事件的概率时，我们经常将这个复杂事件分解为若干个互不相容的较简单的事件之和，先求这些简单事件的概率，再利用有限可加性得到所求事件的概率，这种方法就是全概率公式,全概率公式与Bayes公式,(1)样本空间的划分,全概率公式与贝叶斯公式,全概率公式,全概率公式,某一事件B的发生有各种可能的原因Ai(i=1,2,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是,每一原因Ai都可能导致A发生，故B发生的概率是各原因Ai引起B发生概率的总和，即全概率公式.,我们还可以从另一个角度去理解全概率公式：,由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.,诸Ai是原因B是结果,解记Ai=球取自i号罐i=1,2,3;B=取得红球,因为B发生总是伴随着A1，A2，A3之一同时发生，A1，A2，A3是样本空间的一个划分,有三个罐子，1号装有2红1黑球，2号装有3红1黑球，3号装有2红2黑球.某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率.,代入数据计算得：P(B)0.639.,再看引例,依题意:P(B|A1)=2/3,P(B|A2)=3/4,P(B|A3)=1/2,甲乙丙三厂的次品率依次为1/10,1/15与1/20.此产品库房现存各5，3，2箱.任开此10箱的一箱任取一产品.求所取之品恰为正品的概率.,解以Ai(i=1,2,3)依次表取品来自甲、乙、丙厂，以B表取品为正品,则所求的概率即,(1)由全概率公式得,(2)因为由全概率公式得,引例：,某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号罐的概率.,这一类问题是“已知结果找原因”.在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.,下面就介绍为解决这类问题而引出的Bayes(贝叶斯)公式,称此为贝叶斯公式.,贝叶斯公式,证明,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.,由条件概率公式、乘法公式及全概率公式知：,条件概率,全概率公式,乘法定理,某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号罐的概率.,再看引例,解记Ai=球取自i号罐i=1,2,3;B=取得红球,A1，A2，A3是样本空间的一个划分,代入数据计算得：,其中P(B|A1)=2/3，P(B|A2)=3/4，P(B|A3)=1/2，P(Ai)=1/3,i=1，2，3，,设某工厂甲,乙,丙3个车间生产同一种产品,产量,依次占全厂的45,35,20,且各车间的合格品,率为0.96,0.98,0.95,现在从待出厂的产品中检查出,1个次品,问该产品是由哪个车间生产的可能性最大？,解:,分别表示产品是由甲、乙、丙车间生产，,设B=“任取一件产品为次品”,由题意,则,由贝叶斯公式,甲车间生产的可能性最大.,(最大),特别有：设事件A、B为试验E的两事件，由于A和是一个完备事件组，若P(A)0，P(B)0，贝叶斯公式的一种常用简单形式为,Ex.某地区患有H1N1的人占0.005，患者对一种试验的反应是阳性的概率为0.95，正常人对此试验反应为阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问：此人为H1N1患者的概率为多大？,解以A表示此人为H1N1患者，以B此人对试验反应为阳性,则所求的概率即,条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,小结,乘法定理,全概率公式,贝叶斯公式,若干原因,结果,如果把随机事件B看成是结果，随机事件组A1，An看成可能导致结果B发生的若干原因，,贝叶斯公式在决策理论中有重要应用：不断地根据新得到的信息来修正原来的观点。,用好全概率公式的关键在于构造合适的完备事件组。通常可以从导致所求事件B发生的原因事件中或者从与之有关的情况事件中去寻找。也可以用A与来构造。,例产品使用的元件由三个工厂提供，数据如下：,厂家次品率所占份额甲厂0.020.15乙厂0.010.80丙厂0.030.05,(1)随机从仓库取一件，求取到次品的概率；(2)如果取到次品，最可能是来自哪个工厂的产品？最不可能的又是哪个工厂的？,解.以A、B、C分别表示取到的这个元件来自工厂甲、乙、丙，D表示这个元件是次品。因此已知：P(A)=0.15,P(B)=0.8,P(C)=0.05;P(D|A)=0.02,P(D|B)=0.01,P(D|C)=0.03.,(2)根据Bayes公式，P(A|D)=0.24，,同理，P(B|D)=0.64，P(C|D)=0.12。这个次品最有可能是乙厂，最不可能是丙厂的。,(1)根据全概率公式，P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.150.02+0.80.01+0.050.03=0.0125；,需要求出P(D)，以及比较三个条件概率：P(A|D)，P(B|D)，P(C|D)的大小。,P(A)P(D|A)0.150.02P(D)0.0125,“先验概率”与“后验概率”,先验概率：过去经验或知识,后验概率：有新的信息以后对过去认识的修正,厂家次品率所占份额条件概率甲厂0.020.150.24乙厂0.010.800.64丙厂0.030.050.12,练习甲乙丙三厂的次品率依次为1/10，1/15与1/20.此产品库房现存各5，3，2箱.任开此10箱的一箱任取一产品.若所取之品恰为正品，求其来自甲厂的概率.,解仍以Ai(i=1,2,3)依次表取品来自甲、乙、丙厂，以B表取品为正品,则所求的概率即,