2019年高考数学二轮复习 数列求和及其综合应用.doc

2019年高考数学二轮复习 数列求和及其综合应用1(xx全国新课标高考)等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn()An(n1)Bn(n1)C. D.【解析】因为a2，a4，a8成等比数列，所以aa2a8，所以(a16)2(a12)(a114)，解得a12.所以Snna1dn(n1)故选A.【答案】A2(xx全国新课标高考)设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m()A3B4C5D6【解析】可以先求出首项和公差，再利用等差数列的求和公式和通项公式求解an是等差数列，Sm12，Sm0，amSmSm12.Sm13，am1Sm1Sm3，dam1am1.又Sm0，a12，am2(m1)12，m5.【答案】C3(xx江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于_【解析】每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn2n12.由2n12100，得2n1102.由于2664,27128，则n17，即n6.【答案】64(xx全国大纲高考)等差数列an的前n项和为Sn.已知a110，a2为整数，且SnS4.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.【解】(1)由a110，a2为整数，知等差数列an的公差d为整数又SnS4，故a40，a50，于是103d0,104d0.解得d.因此d3.数列an的通项公式为an133n.(2)bn.于是Tnb1b2bn.从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为：1数列求和该考向主要涉及数列的通项与求和数列的通项与求和是历年高考考查的重点内容之一，试题一般设置两个问题，其中第一问考查数列的基础，确定条件数列，为第二问准备条件，属于保分题；第二问的区分度较大，一般与数列的求和有关，方法较灵活，主要是错位相减、裂项相消等方法与不等式、函数等知识交汇是命题的重点方向，要注意这方面的训练试题多以解答题的形式出现，属于中、高档题目2数列的综合应用(1)数列的综合应用主要体现如下两点：以等差、等比数列的知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式的交汇处命题，主要考查利用函数观点解决数列问题以及用不等式的方法研究数列的性质；数列与解析几何交汇的命题，往往会遇到递推数列，通常以解析几何作为试题的背景，从解析几何的内容入手，导出相关的数列关系，再进一步地解答相关的问题(2)试题难度大都在中等偏上，有时会以压轴题的形式出现.【例1】(xx全国新课标高考)已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x60的根(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和【解】(1)解方程x25x60的两根为2,3，由题意得a22，a43.设数列an的公差为d，则a4a22d，故d，从而a1.所以an的通项公式为ann1.(2) 设的前n项和为Sn，由(1)知，则Sn，Sn.两式相减得Sn()(1).所以Sn2.【例2】(xx江西高考)已知首项都是1的两个数列an，bn(bn0，nN*)满足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令cn，求数列cn的通项公式；(2)若bn3n1，求数列an的前n项和Sn.【解】(1)因为anbn1an1bn2bn1bn0，bn0(nN*)，所以2，即cn1cn2.所以数列cn是以首项c11，公差d2的等差数列，故cn2n1.(2)由bn3n1知ancnbn(2n1)3n1，于是数列an前n项和Sn130331532(2n1)3n1，3Sn131332(2n3)3n1(2n1)3n，相减得2Sn12(31323n1)(2n1)3n2(2n2)3n，所以Sn(n1)3n1.【规律感悟】数列求和的常见类型及方法：(1)通项公式形如anknb或anpqknb(其中k，b，p，q为常数)，用公式法求和(2)通项公式形如an(k1nb1)qk2nb2(其中k1，b1，k2，b2，q为常数)，用错位相减法(3)通项公式形如an(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法(4)通项公式形如an(1)nn或ana(1)n(其中a为常数，nN*)等正负交叉项的求和一般用并项法并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论(5)若数列的通项公式为以上四种中的某几个构成的，则可用分组法(拆项法)求和特别提醒：(1)运用公式法求和时注意公式成立的条件(2)运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n1项中的前n项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零创新预测1(xx山东高考)已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1，求数列bn的前n项和Tn.【解】(1)因为S1a1，S22a122a12，S44a124a112，由题意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)bn(1)n1(1)n1(1)n1.当n为偶数时，Tn1.当n为奇数时，Tn1.所以Tn(或Tn)【例3】(xx四川高考)设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图象上(nN*)(1)若a12，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列an的前n项和Sn；(2)若a11，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2，求数列的前n项和Tn.【解】(1)由已知，b12a1，b82a84b7，有2a847a7aa72，解得da8a72.所以，Snna1d2nn(n1)n23n.(2)函数f(x)2x在(a2，b2)处的切线方程为y2a2(2a2ln 2)(xa2)，它在x轴上的截距为a2.由题意，a22，解得a22.所以，da2a11.从而ann，bn2n，所以Tn，2Tn.因此，2TnTn12.所以，Tn.【规律感悟】1.数列与函数交汇问题的常见类型及解法：(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、分式、求和方法对式子化简变形另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解2对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，结合图形，得出关于数列相邻项an与an1之间的关系根据这个关系和所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论创新预测2(xx合肥第一次质量检测)已知函数f(x)x(x0)，以点(n，f(n)为切点作函数图象的切线ln(nN*)，直线xn1与函数yf(x)图象及切线ln分别相交于An，Bn，记an|AnBn|.(1)求切线ln的方程及数列an的通项；(2)设数列nan的前n项和为Sn，求证：Sn0)求导，得f(x)1，则切线ln的方程为：y(n)(1)(xn)，即y(1)x.易知An(n1，n1)，Bn(n1，n1)，由an|AnBn|知an|.(2)nan，Sna12a2nan111.总结提升通过本节课的学习，需掌握如下三点：失分盲点(1)裂项相消求和时易忽视常数：裂项过程中容易忽视常数，如容易分裂为，漏掉前面的系数.(2)错位相减法求和易忽视项及符号：作差时，最后一项符号易错；求和时，成等比数列的部分的项数易错；两边同除以(1q)时，右边符号易错答题指导正确掌握数列求和的各种方法及使用条件，在分析通项的基础上，判断求和的类型，寻找求和的方法等差数列、等比数列的定义、公式等要应用准确方法规律1裂项求和的常见技巧(1).(2)(3)(4)2数列中不等式的放缩技巧(1)(2).(3)2()2().数列证明问题中的运算1在数学证明中，证明过程往往是以计算为主的，即通过计算的结果达到证明的目的，这说明运算求解能力在数学证明中具有重要地位典型的是函数导数试题中不等式的证明、数列问题中不等式的证明2数列中的证明问题有等式的证明、不等式的证明、数列性质的证明等，在数列的证明问题中计算是完成证明的关键，运算求解能力是数列证明的核心【典例】(xx江西高考)正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn，证明：对于任意的nN*，都有Tn0，Snn2n.于是a1S12，n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上，数列an的通项为an2n.(2)证明：由于an2n，bn，则bn.Tn.【规律感悟】本题第二问裂项的依据是(n2)2n24(n1)，能快速找到这个方法，需要考生熟练掌握数学运算在数列前n项和的不等式证明中有两个基本思路：一是先求和再放缩，其前提是数列求和能够完成；二是有的数列的前n项和很难求，甚至无法求，这时需要先对通项进行放缩(放缩后便于求和)，再求和，再放缩，达到证明的目的.建议用时实际用时错题档案45分钟一、选择题1(预测题)已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为()A.B.C. D.【解析】利用裂项相消法求和设等差数列an的首项为a1，公差为d.a55，S515，ana1(n1)dn.，数列的前100项和为11.【答案】A2(xx山东日照一模)已知数列an的前n项和Snn26n，则|an|的前n项和Tn()A6nn2Bn26n18C.D.【解析】由Snn26n得an是等差数列，且首项为5，公差为2.an5(n1)22n7，n3时，an3时，an0，Tn【答案】C3(预测题)已知数列an满足an1，且a1，则该数列的前2 015项的和等于()A. B3 023C1 512 D3 024【解析】因为a1，又an1，所以a21，从而a3，a41，即得an故数列的前2 015项的和等于S2 0151 007(1)11.【答案】A4(xx山西大学附中4月模拟)已知函数f(x)是定义在R上的单调增函数且为奇函数，数列an是等差数列，a1 0080，则f(a1)f(a2)f(a3)f(a2 014)f(a2 015)的值()A恒为正数 B恒为负数C恒为0 D可正可负【解析】an是等差数列，a1a2 015a2a2 0142a1 0080，得a1a2 015，a2a2 014，又f(x)是定义在R上的单调增函数，且f(x)f(x)，f(a1)f(a2 015)，即f(a1)f(a2 015)0，同理，f(a2)f(a2 014)0，f(a1)f(a2)f(a2 014)f(a2 015)的值恒为正数，故选A.【答案】A5(xx郑州第一次质量预测)已知数列an的通项公式为an(nN*)，其前n项和为Sn，则在数列S1，S2，S2 014中，有理数项的项数为()A42 B43C44 D45【解析】an，Sn(1)()()()1，要使Sn是有理项，只需是有理数(n1,2，2 014)，因此共有43项【答案】B二、填空题6(xx福建厦门质检)已知数列an中，an12an，a38，则数列log2an的前n项和等于_【解析】2，a38，a24，a12，数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，an2n，log2ann，数列log2an的前n项和等于.【答案】7(xx广东广州综合测试)在数列an中，已知a11，an1，记Sn为数列an的前n项和，则S2 014_.【解析】a11，a2，a32，a41，数列an是周期为3的周期数列，S2 014S2 013a2 014671(21)1.【答案】8(xx东北三校联考)已知数列an的通项公式为an，前n项和为Sn.若对于任意正整数n，不等式S2nSn恒成立，则常数m所能取得的最大整数为_【解析】由题知S2nSnan1an2an3a2n，令f(n)，nN*，f(n1)，又f(n1)f(n)0，函数f(n)单调递增，f(n)minf(1)，依题意，得m.故m所能取得的最大整数是5.【答案】5三、解答题9(xx全国新课标高考)已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明an是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明.【证明】(1)由an13an1得an13.又a1，所以an是首项为，公比为3的等比数列所以an，因此an的通项公式为an.(2)由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以.于是1.所以.10(xx湖南高考)已知数列an的前n项和Sn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前2n项和【解】(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n.故数列an的通项公式为ann.(2)与(1)知，bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n)记A212222n，B12342n，则A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.