2019年高中数学 2.4 用向量讨论垂直与平行基础达标 北师大版选修2-1.doc

2019年高中数学 2.4 用向量讨论垂直与平行基础达标 北师大版选修2-1一、选择题1若平面，的一个法向量分别为(1,2,4)，(x，1，2)，并且，则x的值为()ABC10D10答案D解析，它们的法向量也互相垂直，(1,2,4)(x，1，2)0，解得x10，故选D.2已知直线l1的方向向量a(2,4，x)，直线l2的方向向量为b(2，y,4)，且l1l2，则xy()A1B1C0D无法确定答案A解析l1l2，ab，ab0，44y4x0，即xy1.3若直线l的方向向量为a(1,1,1)，向量b(1，1,0)和向量c(0,1，1)所在的直线都与平面平行，则()AlBlClD以上都不对答案A解析(1,1,1)(1，1,0)0，(1,1,1)(0,1，1)0，ab，ac，又b与c不平行且b、c所在的直线都与平面平行，l.二、填空题4已知a(x,2，4)，b(1，y,3)，c(1，2，z)，且a，b，c两两垂直，则实数x_，y_，z_.答案642617解析因为a，b，c两两垂直，所以abbcca0，即，解得.5已知空间三点A(0,0,1)，B(1,1,1)，C(1,2，3)，若直线AB上一点M，满足CMAB，则点M的坐标为_答案(，1)解析设M(x，y，z)，又(1,1,0)，(x，y，z1)，(x1，y2，z3)，由题意得x，y，z1，点M的坐标为(，1)三、解答题6.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB于点F.(1)证明PA平面EDB；(2)证明PB平面EFD.证明如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设DCa.(1)连接AC，AC交BD于G，连接EG.依题意，得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E(0，)底面ABCD是正方形，G是正方形ABCD的中心故点G的坐标为(，0)，且(a,0，a)，(，0，)2.这表明PAEG.而EG平面EDB，且PA平面EDB，PA平面EDB.(2)依题意，得B(a，a,0)，(a，a，a)又(0，)，故00.PBDE.又EFPB，且EFDEE.PB平面EFD.一、选择题1若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的一个法向量为n(2,0,4)，则()AlBlClDl与斜交答案B解析a(1,0,2)，n(2,0,4)，n2a，na，l.故选B.2.如图，已知ADB和ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且ADBDCD，BAC60，E为AC的中点，那么以下向量为平面ACD的法向量的是()ABCD答案B解析方法一：判断平面ACD的法向量，可以从平面ACD中找出，中的两个向量，分别与选项中的向量求数量积，判断垂直而得方法二：直接利用已知边角关系判断线面垂直设AD1，则BDCD1.因为ADB和ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，所以ABAC.又因为BAC60，所以BC.所以BCD也是直角三角形，且BDCD，从而可得BD平面ACD.3已知a(1,2，y)，b(x,1,2)，且(a2b)(2ab)，则()Ax，y1Bx，y4Cx2，yDx1，y1答案B解析a2b(2x1,4,4y)，2ab(2x,3，2y2)，(a2b)(2ab)，4若直线l1，l2的方向向量分别为a(1,2，2)，b(2，3,2)，则()Al1l2Bl1l2Cl1，l2相交但不垂直Dl1，l2的关系不能确定答案B解析ab1(2)23(2)20，ab.l1l2.5已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A(，)B(，)C(，)D(，)答案D解析(1,1,0)，(1,0,1)，(0，1,1)设平面ABC的一个单位法向量为u(x，y，z)，则u0，u0，得x，y，z之间的关系，且x2y2z21，求值即可二、填空题6已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_答案解析2(1)(1)2(4)(1)2240，则.4(1)2200，则，A，平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量7.如图，已知矩形ABCD，PAAB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQQD，则a的值等于_答案2解析先建立如图所示的空间直角坐标系，设|b，则A(0,0,0)，Q(1，b,0)，P(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0，a,0)，所以(1，b，1)，(1，ab,0)，b2ab10.b只有一解，0，可得a2.三、解答题8如图， 正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是棱AB、BC的中点，EFBDG.求证：平面B1EF平面BDD1B1.证明以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由题意知：D(0,0,0)，B1(2，2，4)，E(2，0)，F(，2，0)，(0，4)，(，0)设平面B1EF的一个法向量为n(x，y，z)则ny4z0，nxy0.解得xy，zy，令y1得n(1,1，)，又平面BDD1B1的一个法向量为(2，2，0)，而n1(2)12()00，即n.平面B1EF平面BDD1B1.9如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由解析(1)以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设ABa，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E(，1,0)，B1(a,0,1)，故(0,1,1)，(，1，1)，(a,0,1)，(，1,0)011(1)10，B1E AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE.此时(0，1，z0)又设平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE，n ，n，得取x1，得平面B1AE的一个法向量n(1，a)要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP.10在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱DD1上是否存在点P，使得平面APC1平面ACC1？证明你的结论解析假设点P存在，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为a，DPm(0ma)，则由正方体的性质知，CC1BD，ACBD，CC1ACC，BD面ACC1，因此，(a，a,0)是平面ACC1的一个法向量平面APC1平面ACC1，在平面APC1内或与平面APC1平行，存在实数x与y，使得xy.(a，a，a)，(a,0，m)，解得.点P存在，且当点P为DD1的中点时，平面APC1平面ACC1.点评本题属于探索存在型问题解答的一般思路：假设存在这样的点，建立空间直角坐标系，设出此点的坐标，由面面垂直可得其中一个平面的法向量必在另一个平面内或与其平行，由空间向量基本定理设出实数x与y，由相等向量的概念求出x与y，若有解，则满足题意的点存在，否则不存在