2019-2020年九年级数学下册 教学参考资料.doc

2019-2020年九年级数学下册 教学参考资料编者的话九年级第二学期数学课本（试验本），正在“课改”基地学校进行第一轮教学试验。为了帮助执教老师理解课本、把握要求和开展实践研究，教材编写组人员编写了本册课本的教学参考材料。这本教学参考材料，没有经过有关部门的审查，不是正式出版的“教学参考书”。由于编写仓促，成稿匆忙，材料内容难免存在错误和不足，只是考虑到新课本进行第一轮教学对参考材料的需要，所以将此很不成熟的材料公诸于众。本材料提供执教老师在教学研究中参考使用，同时在使用中开展研究；通过对材料的使用和研究，发现并纠正其中的错误，弥补不足，充实内容，为编写正式的“教学参考书”打好基础。希望这本教学参考材料对执教老师有参考作用，更期待执教老师对此材料提出宝贵意见和修改建议。 初中数学教材编写组 第一部分 课本概述九年级第二学期数学课本（以下简称本册课本），含“圆与正多边形”、“统计初步”两章内容，还有配合各章内容的练习部分。本册课本的编写，基本依据是上海市中小学数学课程标准（试行本）；内容的安排，是在“二二分段，九年级分层”的框架下进行的。从六年级到九年级第一学期的数学内容中，已经建立了“实数知识基础”、“初等代数知识基础”，完成了“初等代数函数”的基础性研究；而本册的两章内容，使得初中数学中关于平面几何基础知识系统的构建基本完善，关于概率与统计初步知识的介绍告一段落，初中阶段的数学基本内容到此结束。具体编写本册课本时，力求正确把握教学基本要求，注重基础，注意加强数学与现实的联系。同时强调，要在继承一期数学课改教材编写的积极成果及经验的基础上，进行改革和创新；要保持前面几册数学课本的编写特点，关注学生学习数学的过程，改善内容呈现方式。第二十六章“圆与正多边形”， 主要内容包括“圆的基本性质”、“直线与圆、圆与圆的位置关系”、“正多边形与圆”等三部分，着重于建立圆的知识基础和展现关于圆的研究的基本方法。而对圆的深入研究，如涉及圆的切线的判定定理和性质定理、两圆的公切线、与圆有关的角和线段等的内容，安排在拓展II中“直线与圆”一章。第二十六章内容的编排，首先是在六年级直观认识圆、弧、圆心角的基础上，讨论圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；以圆的对称性为认识起点，引进垂径定理；在学习活动中，展示实验、归纳、证明的过程。然后通过操作实验，引出直线与圆相离、相切、相交等位置关系；利用圆心到直线的距离与半径之间的数量关系，描述直线与圆的位置关系；并引进切线、割线的概念，主要通过有关数量关系进行判断；引进圆的切线的判定定理，主要用于解决画圆的切线的问题。再通过圆的运动，引出圆与圆相离、相切、相交等位置关系；利用两圆的圆心距与两圆半径之间的数量关系，描述圆与圆的位置关系。另外，还讨论了关于正多边形的有关概念以及正多边形的基本性质，主要涉及正多边形及其中心、中心角、半径、边心距等概念，以及在正三角形、正方形、正六边形中，认识联结有关概念的基本图形，运用解直角三角形的方法解决一些简单的问题。第二十七章“统计初步”，主要内容是统计的意义和基本的统计量。在回顾、整理已经学过的数据处理方法的基础上，通过实例，解说统计的意义，引进表示一组数据的平均水平、波动程度、分布情况的量，并用于解决或解释简单的实际问题。本章注重关于实例的讨论和分析，控制理论难度，突出统计的基本思想和方法。第二十七章内容的编排，首先是对学生已学过的列表和画折线图、条形图、扇形图等整理数据的方法进行回顾，帮助学生加深认识并掌握有关数据处理的基本方法。然后通过举例，说明统计的意义以及利用统计图表获取信息的方法，简明地显示统计的作用。有关统计量以及直方图的内容，保持一期数学课本中构建的框架，着重于调整例题，使内容有新的气息；注意用有关知识解决和解释简单的实际问题，促进学生增强统计意识。本册内容的呈现，主要采用“过程模式”，通过“问题活动”的安排，引导学生探索求知。课本中保持有“问题”、“思考”、“操作”、“想一想”、“议一议”、“试一试”等栏目，有边款点拨、方框解说等版式，以指导学生开展数学活动，帮助学生把握重点和释疑解难，促进学生生动、活泼、主动地学习，深入地思考。在各章的末尾，配备有“阅读材料”或“探究活动”。如：“怎样用尺规作正五边形”、“统计图各有奥妙”的阅读材料，重在引导学生进行学习过程的反思和经验总结，了解知识的运用；“生活中的一个覆盖问题”的活动安排，旨在加强数学实践和应用，让学生体会数学与现实的联系。数学练习部分中的习题安排，重视基本训练，也有一些开放性问题、探究性问题、实践性问题等；注意训练要求分层，有统一性也有多样性。“试一试”栏目下的题目，一般有较高的难度，这样的题目不要求所有学生都去做，主要提供给有学习兴趣的学生进行研究和讨论，进一步培养学生的探究意识和钻研精神，满足不同学生的学习需要。本册课本的教学内容总量，按照上海市中小学课程方案（试行本）规定的课时数进行控制。以每周的数学课3节计算，本册课本的教学课时数有27节；现在设计的教学课时24节，留有一定的机动余地。具体的教学计划和进度，由教师根据学校和学生的实际情况进行制定。各章教学的课时数建议如下：第二十六章 圆与正多边形 14课时（13+1） 第二十七章 统计初步 10课时（ 9+1） 第二部分 各章说明第二十六章 圆与正多边形一 全章综述1.教学目标（1）了解三角形的外接圆和外心以及圆内接三角形、圆内接多边形的概念.（2）理解圆心角，弧，弦，弦心距的概念,理解圆的旋转不变性；经历关于圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的探索过程，掌握其关系定理.（3）掌握垂径定理及垂径定理的推论；在研究过程中，进一步体验“实验归纳猜测证明”的方法；初步会用垂径定理及其推论解决有关数学问题.（4）掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及其性质和判定方法，体验运动变化、分类讨论的思想和量变引起质变的观点.（5）理解相交两圆的连心线和相切两圆连心线的性质定理.（6）掌握正多形的有关概念和基本性质，会画正三、四、六边形.2.课时安排本章教学共14课时，建议分配如下：26.1 圆的确定 1课时26.2 圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系 3课时26.3 垂径定理 3课时26.4 直线与圆的位置关系 1课时26.5 圆与圆的位置关系 3课时26.6 正多边形与圆 2课时复习与小结 1课时3.设计说明前面关于平面几何的研究，主要以直线型图形为对象，讨论有关图形的性质以及相互关系。学生在前一阶段的学习中，经通过实验归纳、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了一定的经验；对于图形的平移、翻折、旋转、放缩等运动以及图形变换的思想，有了一定的了解.本章所研究的图形，是最简单的曲线圆。圆是一种特殊的图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形；同时，圆还具有旋转不变性.本章内容的编写，充分注意利用学生已有的经验，注意体现圆的特性以及论证几何的要求.例如，用翻折、旋转的方法探索圆的对称性；用旋转变换的方法探索圆心角，弧、弦、弦心距之间的关系，然后用推理证明的方法确立其相互关系定理；用轴对称变换的方法探索垂径定理及其推论，然后加以证明。关于直线与圆、圆与圆的位置关系的研究，是从图形运动切入的，通过操作、观察、分析、归纳等实验活动，形成有关位置关系的概念；然后通过对有关几何量进行数量关系分析，揭示有关位置关系的相应数量关系特征. 正多边形是特殊的多边形，它与圆有类似的特性，同样既是旋转对称图形又是轴对称图形，而且任一正多边形都有外接圆，因此将正多边形整合于圆的讨论之中。在一期数学课本中，有关“圆的确定”以及“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”和“垂径定理”等内容，安排为实验几何组成部分。在二期数学课本中，这些内容在论证几何范畴内，但由于它是研究曲线型图形的开端，且又适宜于运用实验方法进行探究，所以对这些内容的处理，采用了“归纳与演绎”相结合的方法，重视展现“实验归纳猜测论证”的全过程。对于直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论，也是从操作、观察着手，然后进行严格的数学描述和相关的数量分析；在数学拓展II中，再进一步探讨同直线与圆、圆与圆的位置关系有关的定理。本章的各节内容中，都涉及到分类讨论的问题。分类讨论的思想，是贯穿于本章的一种重要数学思想。本章列举了一些具有实际背景的数学问题，以激发学生的学习兴趣，同时提高学生运用数学知识解决实际问题的意识，增强解决实际问题的能力，促进学生从形象思维到抽象思维的发展。4.教学建议（1）注重对概念本质的理解，准确把握概念。本章新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高。教师在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表述有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习. 例如弧、弦、圆心角、弦心距、等弧、等圆等概念的教学，可对照图形进行解说，要留给学生一定的思考空间与时间.要让学生知道，概念并不是简单的规定，而是对事物本质的一种理解和概括.另外，教学中要注意概念之间的区别和联系，如“优弧与劣弧”，“同圆与等圆”，“弓形与拱形”，“弦心距与边心距”等，这些概念之间有根本性的区别，当然也有某些共同之处，要引导学生分辨清楚.（2）关注图形动态变化过程，尝试从定性分析到定量分析的研究方式.本章中直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系都有操作环节，一方面是让学生进一步体验“实验-归纳-猜测-证明”的方法，另一方面让学生体验图形运动变化的过程.教师在教学中不可忽略这部分教学环节，要让学生亲自实践，感受这个过程.学生在学习了推理证明之后，不能抛弃实验归纳的方法，适时、恰当的“操作”还是需要的，有利于提高学生对问题的感性认识；同时以运动的观点，直观地揭示事物本质，有利于学生加深对知识的理解.要引导学生学习从定量分析的角度研究几何问题.如:关于直线与圆的位置关系，以直线与圆的公共点个数来描述，可从圆心到直线距离与圆的半径之间的数量关系进行研究；关于两圆的位置关系，以两圆的公共点个数来描述，可从两圆圆心距、两圆半径之间的数量关系进行研究.关于直线与圆、圆与圆的位置关系的研究，可以采用类比的教学方法；在研究过程中，还要让学生进一步体会量变引起质变的观点.（3）注重学生对于基础知识与基本技能的掌握，提高基本能力.本章中与圆有关的概念以及圆的性质等，以及其中蕴涵的数学思想方法，是重要的基础知识；会画三角形的外接圆、平分弧、画正三角形和正四边形、正六边形，以及能运用推理方法证明圆中的有关性质及其推论等，是基本的数学技能；能运用所学的圆的知识分析和解决一些简单的实际问题，是基本的数学能力.在教学中，应注意基础知识和基本技能的落实，重视数学基本能力以及一般能力的提高.关于相交或相切的两圆连心线性质的运用、以及运用正多边形基本性质进行几何计算，要严格控制难度.切线的判定定理的运用不作要求.（4）重视多媒体技术的运用。要恰当运用现代多媒体技术，有效利用计算机的画图功能和动态显示功能，帮助学生正确认识几何图形的特征，促进学生从形象思维到抽象思维的发展。这引进直线与圆、圆与圆的位置关系时，可运用多媒体，向学生展示现实生活中体现它们位置关系特征的图片或形象资料，或为学生演示它们位置关系变化的动态过程。让学生在操作实践中，结合多媒体提供的材料，认识直线与圆、圆与圆的位置关系及相应的数量关系特征；再引导学生从图形运动变化中归纳其性质，并建立起性质与图形之间的联系，体会数形结合思想.5.评价建议(1) 关注学生学习兴趣的发展和基本要求的落实。学生在本章学习之前，虽然已经学过圆的周长、面积及弧长的计算等知识，但对于圆及圆的有关性质的系统学习是从本章开始，所以强调教学内容应平实，教学要求应扑实，既要关注以往所学知识在解决本章知识的灵活性，又要体现圆的知识在解决以往问题上的独特性。教学评价应重在学生学习兴趣的发展和基本要求的落实.(2)关注学生思考方式的多样化。要重视对学生观察、操作、推理证明等活动进行评价，包括学生在活动中的主动性、参与度、与同学合作交流的意识，还有学生思考与表达的条理性、自主评价等.对有关概念学习的评价，应主要通过实例进行；对有关性质学习的评价应更多考查学生是否能通过具体的思考方法去理解；对有关计算的评价，应着重考查学生是否懂得基本算理.(3)关注学生对数学思想方法以及解决数学问题的策略和方法的领会.本章中蕴含了分类讨论、类比、数形结合等数学思想方法，以及从特殊到一般、从一般到特殊、从定性讨论到定量分析等解决问题的策略。这些是本章教学的重要内容，是学生进一步学习数学的基础，要引导学生逐步认识，深入体会，举一反三，并采用适当的方式进行反馈.（5）鼓励学生积极探究和实践.本章在“操作”、“思考”等栏目下安排有多种多样的数学活动，要创设条件和提供机会，让学生积极参与，并进行鼓励性评价；要指导学生利用“阅读材料”学习用尺规作正五边形，利用“探究活动”材料开展探究性学习，通过积极的评价，引导学生关心身边的数学问题，并用学到的数学知识解决问题.二、具体说明261 圆的确定（1课时）1教学目标（1）知道点与圆的三种位置关系，了解三角形外心、外接圆、圆的内接三角形以及多边形的外接圆和圆的内接多边形等概念.（2）理解点与圆的位置关系的判定方法，并能初步运用点与圆位置关系的判定方法解决有关数学问题.（3）会画三角形的外接圆.2教材分析与教学建议学生对于圆的认识，是在实验几何的学习中，知道圆是平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形。学习点的轨迹后，明确了圆是平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合.学生已经知道，“如果一个点到圆心的距离等于圆的半径长，那么这个点在圆上”，而对于点在圆内、点在圆外这两种点与圆的位置关系，学生只能根据图形直观进行判定(以圆周为分界线)。本节指出可以通过定量分析的方法来判断点与圆的位置关系，即根据点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系进行判断.在研究了点与圆的位置关系之后，进而研究由平面内几个点可以确定一个圆的问题.学生已经知道经过平面上一个点、或两个点，都有无数个圆，于是提出平面内三个点是否能确定一个圆的问题.为解决这个问题，课本中采用分类讨论的方法，即分“三个点在同一直线上”及“三个点不在同一直线上”这两种情况进行讨论，再导出“不在同一直线上的三点确定一个圆”的结论.在教学中，要注意以下几点：(1)关于圆的半径，本节明确指出它是“联结圆心和圆上一点的线段”。要将半径与半径长区分开来，而以前的课本中有混用的情况，需要修改.(2)对于点与圆的位置关系的研究，可先进行定性讨论，再进行定量分析.在进行定量分析时,由点与圆的位置关系推出相应的“点与圆心的距离”和“圆的半径”之间的大小关系，可以理解为这是点与圆的位置关系的性质.反过来，由“点与圆心的距离”和“圆的半径”的大小关系推出相应的点与圆的位置关系，可以理解为这是点与圆的位置关系的判定.这也是“边款”中关于符号“”的说明的真正含义. (3)例题1是对点与圆位置关系判定方法的初步运用。教学时，要让学生理解每个小问中哪条线段的长可以看作是C的半径.这是解决问题的关键.(4)“思考”是为接下来的“问题”研究作好准备。通过思考，既让学生知道“在平面上，经过给定两点的圆有无数个”这样一个结论，又知道经过平面内给定两个点作圆的方法. (5)在“问题”研究时，学生可能不会想到三个点在同一直线上的情况，直接得出“在平面上，经过三点的圆只有一个”错误的结论。在教学时，应指导学生仔细分析问题，对问题进行分类讨论.让学生真正理解为什么在定理中强调三个点“不在同一直线上”的条件，同时注意到经过同一直线上的三点的圆不存在.(6)例题2是让学生学会画给定三角形的外接圆.例题有意识地安排学生画一个钝角三角形的外接圆.“边款”中也指出这个钝角三角形外接圆的圆心在这个三角形的外部.而课本中图26-5(1)的A、B、C三点其实是一个锐角三角形的顶点，所确定的圆心O是这个锐角三角形外接圆的圆心，这个圆心在三角形的内部.在练习26.1中，又安排学生画出给定的一个直角三角形的外接圆，并要指出这个外接圆圆心的位置.这种安排，是要让学生在会画出各种给定三角形的外接圆的同时，总结出不同类型的三角形的外接圆圆心的位置特点，知道“锐角三角形外接圆的圆心在这个三角形的内部”、“直角三角形外接圆的圆心是这个直角三角形斜边中点”、“钝角三角形外接圆的圆心在这个三角形的外部”这三个几何事实. (7) 练习26.1第3题，是引起学生对四边形外接圆的思考，让学生知道任一四边形不一定存在外接圆.3练习答案练习26.11. 图略.2. ABC的外接圆的圆心在斜边AB的中点位置。因为斜边AB的中点到ABC的三个顶点距离相等。3. 经过不在一直线上的任意四点,不一定可以作一个圆.如：对于对角线不相等的平行四边形，经过它的四个顶点的圆不存在；对于矩形，经过它的四个顶点可作一个圆.26.2圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系（3课时）1.教学目标（1）理解圆心角、弧、弦、弦心距等概念.（2）掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及其推论，能初步运用这些定理及其推论解决有关数学问题.2.教材分析与教学建议本节在介绍有关圆心角、弧、弦、弦心距等概念后，提出在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么所对的弧、弦及其弦心距是否相等的问题.由于学生已经知道圆是旋转对称图形，因此可以借助于圆的旋转不变性去探索所提出的问题，于是得到关于圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理，再导出该定理的推论.在内容的处理上，采用“问题驱动”的方式引出圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理及其推论，其中又运用分类讨论的数学思想；定理的推论是用推理证明的方法得到的，这与一期数学课本不一样，体现了论证几何学习的要求.在教学中，要注意以下几点：(1)在圆心角、弧、弦、弦心距概念教学时，要把握准每个概念的含义，帮助学生正确理解概念的文字描述.如“弦心距是圆心到弦的距离，即圆心到弦的垂线段的长，而不是圆心到弦的垂线段.又如“等弧”是指能够重合的两条弧，它包含形状相同、长度也相同两层含义，而不仅仅是长度相同.(2)为了便于研究讨论，“边款”中特别指出没有特别说明，本章中的圆心角通常是指大于0小于180的角.同时要向学生讲清楚，涉及到大于180的圆心角时必须加以说明。(3)本节仍然用叠合法来导出圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理.如果用弧长计算公式，那么只能推出两条弧长度相等，不能说明两条弧为什么能重合.课本中对这个定理的证明，虽然是操作说理，但运用叠合法的过程是严谨的。(4) “问题2”的设置，是引导学生分别由弧相等、或弦相等、或弦心距相等这些条件，化归到圆心角相等，进而根据已有的圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理，推出其他几组量也相等，得到这个定理的推论. (5)例题1是圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的初步运用，要注意规范表达.(6)例题2、例题3是圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论的初步运用。教学时，要指导学生学会如何用“+”、“”符号表达弧的和与差；还要让学生体验到运用这个定理及其推论可使证明过程更为简明.3练习答案练习26.2（1）1弧AB比弦AB长.因为“两点之间，线段最短”.2弧AC=弧BD,弧BC=弧AD,半圆AB=半圆CD.理由略.3AB=CD，或弧AB=弧CD，或AOB=COD.练习26.2（2）1提示:由弧AD=弧BC，得弧CD=弧AB；再利用关系定理的推论导出结论.2提示:联结OD.3提示: 由AD=BC,得弧AD=弧BC,推出弧AB=弧CD；再由关系定理的推论得AB=CD，从而推出OM=ON.练习26.2（3）1. 提示: 由AB=CD, 得弧AB=弧CD，推出弧AC=弧BD ，可知AC=BD；再由“边边边”得ABCDBC.2 提示:过点O作OMAC,ONAD，垂足分别为M、N.3提示:过点O作OMAB,ONCD,推得OM=ON,DN=AM=AB,再证OMEONE,则ME=NE,所以AE=DE.26.3 垂径定理（3课时）1教学目标（1）经历垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理及其推论，能初步运用垂径定理及推论解决有关数学问题.（2）在证明垂径定理的推论的活动中，领会分类讨论的数学思想. 2.教材分析与教学建议学生已经知道，在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧和弦及其弦心距这四组量之间有密切的联系.本节利用圆的轴对称性，进一步得到圆的直径与弦及弦所对的弧之间也存在着密切的关联。因为圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是它的对称轴，所以课本对于这些量之间关系的讨论，从垂直于弦的直径的性质开始展开，并加以推理证明；得到了垂径定理后，再提出平分弦(不是直径)或平分弧的直径又分别具有怎样的性质？课本中把解决这些问题化归为平分弦(不是直径)或平分弧的直径是否垂直于弦的问题，利用等腰三角形“三线合一”的性质和垂径定理，导出垂径定理的推论.最后，进行总结性的概括，得到“在圆中，对于某一条直线“经过圆心”，“垂直于弦”，“平分弦”，“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果其中有两组关系成立，那么其余两组关系也成立“的结论. 在教学中，要注意以下几点：(1) 本节开头说明了圆是轴对称图形，然后在“思考” 中提出问题，引导学生直观感知垂径定理的真实性，再用推理的方法加以证明。教学中，要注意展现垂径定理的导出和证明过程，让学生获得“实验归纳猜测论证”的过程经历.(2) 对于垂径定理文字描述的理解，在“边款”中特别指出，垂径定理条件中的“弦”可以是直径,结论中“平分弦所对的弧”包括弦所对的劣弧和优弧；垂径定理中的条件“圆的直径垂直于弦”，也可表述为“圆的半径垂直于弦”，或者“圆心到弦的垂线段”.这样，学生在实际问题背景下，可灵活运用垂径定理来解决数学问题.(3) 例题1是垂径定理的初步运用。学生有可能还是习惯用等腰三角形“三线合一”来证明，要引导学生对不同的证明方法进行比较，帮助学生理解新的定理在几何证明中所起的作用，看到不同证明方法之间的联系和课本中证明过程的简约.(4) 例题2 是运用垂径定理解决简单的实际数学问题.本题的背景赵州石拱桥，教学时要指导学生如何将现实生活中的数学问题抽象为数学模型，要关注这个转化的过程，渗透数学建模思想.同时，可结合本例渗透“两纲”教育，激发学生的爱国热情。例题中有拱高，后面又提出了弓形的概念，教学时要向学生解说，并注意“边款”中对“弓形”与“拱形”两个概念的区别的说明。 (5) “问题1”和“问题2”都是为导出垂径定理的推论进行“问题驱动”，是从构造垂径定理的逆命题的角度提出来的，也体现了分类讨论的数学思想.(6) 例题3是垂径定理推论的初步运用，解题过程中用到锐角三角比知识，主要考虑到简化计算过程.(7) 例题4是运用垂径定理的推论作图等分一条已知弧。可先让学生独立思考作图的方法，然后共同说明作图的依据，并作总结.通过此例，可让学生归纳：要平分一条线段或圆弧，只要作出这条线段或联结这两点的的垂直平分线.结合这道例题，也可要求学生找出这条弧所在圆的圆心位置，并说出作图的理由.（8） 例题5是运用垂径定理的推论进行几何计算。在解题过程中，通过构造直角三角形、运用勾股定理来求圆中的线段长，有一定的综合运用要求，要引导学生把握知识之间的联系和构造直角三角形的基本方法。（9） 例题6是垂径定理推论的综合运用.要指导学生联系关于同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理分析证明思路.证题后，可提出将题中的条件“AB=CD”与结论“PA=PC”对调，请学生思考如何证明.（10）在例题7中，由于两平行弦间的距离大于圆的半径，因此这两条弦在圆心的两侧。如果两平行弦间的距离小于圆的半径，那么这两条弦可能在圆心的两侧，也可能在圆心的同侧。完成例题7的教学后，要提醒学生注意在一般情况下两平行弦与圆心的位置关系特征，使学生对练习26.3（3）第3题的分析全面些。 3练习答案 练习26.3（1）1OC=2.2(1)OD=25cm；(2)AOB=60.3.（1）AB=2AD=4cm；（2）弧AC=弧AB=2.5cm.4. 提示：连结OP；过点P作ABOP，AB交O于A与B两点,则弦AB为所作.练习26.3（2）1. (1)弧BD所对的圆心角的大小为120；(2)OC垂直平分BD.因为平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.2. 在圆砂轮片上任意画两条弦,再作这两条弦的垂直平分线,这两条垂直平分线的交点就是圆心.3(1)AOB=30 ；(2)CD=AC=cm.练习26.3（3）1提示：由PA=PC,PB=PD,推出AB=CD.2提示：由OEF是等腰直角三角形,可得OF=EF=2,所以DF=7-2=5,CD=2DF=10cm.3AB和CD之间的距离为1cm或7cm. 26.4直线与圆的位置关系（1课时）1教学目标(1)理解直线与圆的三种位置关系.(2)掌握直线与圆的位置关系用数量关系所描述的性质与判定,并能初步运用它们解决有关数学问题.知道切线的判定定理，会过圆上一点画圆的切线.(3)经历探究直线与圆的位置关系的动态变化过程，从中进一步领会分类讨论、化归的数学思想.体验事物运动变化中量变引起质变的观点，树立辨证唯物主义观点，发展抽象、分析、概括的能力.2教材分析与教学建议“直线与圆的位置关系”这一节内容，与 “点与圆的位置关系”有密切联系。本节通过操作活动，让学生观察、猜测直线与圆可能存在的位置关系，然后归纳并确定直线与圆的三种位置关系：相离，相切，相交；再进一步探讨用数量关系来描述直线与圆的位置关系.鉴于学生在点与圆的位置关系讨论中，已经建立了这一位置关系与圆的半径、点到圆心的距离这两个量的数量关系之间的联系，对于用数量分析方法研究位置关系有一定的认知基础，所以本节运用了类比迁移的方法，将直线与圆的位置关系用圆心到直线的距离、圆的半径长这两个量的数量关系进行描述.最后，归纳并证明了切线的判定定理，为画圆的切线提供作图依据。教学过程中，应注意以下几点(1) “操作”是为了直观展现知识的发生过程，同时增强教学的直观性和趣味性.要引导学生将操作过程抽象为数学问题，强调将硬币的边缘看作一个圆.还可利用多面体，提供现实生活中体现直线与圆的位置关系的直观形象，增强学生的感性认识。(2) “思考”中提出的问题，是引导学生从数量分析的角度研究直线与圆的位置关系.根据直线与圆的三种位置关系，推出相应的圆心到直线的距离与半径的大小关系(即直线和圆的位置关系的性质)；再根据圆心到直线的距离与半径的大小关系推出相应的直线与圆的位置关系(即直线与圆位置关系的判定).注意要从正、反两个方面进行解说；对于当时推出上一定有一些点在圆内，可画图分析，如从圆心引直线的垂直线段和斜线段，由可知垂足和斜足之间线段内的点在圆内。(3) 例题1是根据切线的判定定理作圆的切线，要让学生掌握作图的方法.(4) 例题2是直线与圆位置关系判定的初步运用。解题中求圆心到直线的距离时采用了用面积法，过程简单明了，教学时可以将本例题与练习26.4 第3题进行比较.3练习答案练习26.41 (1)两个公共点；(2)一个公共点；(3)没有公共点.2R5.3(1)0r（厘米）； （2）r （厘米）.26.5圆与圆的位置关系（3课时）1教学目标（1） 理解圆与圆的位置关系及其有关概念，并能初步运用这些知识解决有关问题.（2）经历圆与圆的位置关系的探索过程，进一步领会类比、分类、化归、数形结合等数学思想；体会事物之间相互联系和运动变化，量变引起质变等辩证唯物主义观点；发展分析、归纳、抽象、概括能力以及判断的能力.（3）掌握圆与圆的位置关系用数量关系所描述的性质与判定,并能初步运用它们解决有关数学问题.（4）掌握相关两圆的连心线性质及相切两圆连心线性质.2.教材分析与教学建议 “圆与圆位置关系”的内容与“直线与圆的位置关系”相近，但两圆的位置关系远比直线与圆的位置关系复杂.本节在内容结构及安排上，运用了类比迁移的方法.在“外离”, “内含”，“内切”这几个概念的形成过程中，通过操作活动，结合图形进行比较，逐步揭示其本质特征.同点与圆位置关系、直线与圆的位置关系的研究一样，对两圆位置关系的研究也是在形成概念的基础上，转到有关数量关系的分析，将两圆的位置关系用两圆的半径长、圆心距这三个量的数量关系来描述.随后，又根据圆是轴对称图形且两圆的连心线是这两个圆所成图形的对称轴，导出了相交两圆的连心线和相切两圆的连心线的性质.在教学中，要注意以下几点：(1) “操作”中在 纸上所画的圆的半径为2.5厘米，为的是使这个圆比硬币更大，便于将要进行的操作和观察。教学时，要让学生动手操作，同时将硬币的边缘抽象为一个圆，再观察在操作过程中硬币边缘与所画的圆的公共点的个数.教师在听取学生的回答后，可向学生提出“边款”中的问题，由于不在一直线上的三点确定一个圆，所以两个不同的圆的公共点不可能有三个.(2) 在教学中，可让学生类比直线与圆的位置关系，自主找出两圆可能形成的各种位置关系. 然后对各种位置关系进行分类，再归纳各类位置关系的本质特征，最后由学生给出两圆相离、相切、相交的定义。教师根据学生的定义，加以适当校正，并给出规范定义.(3) 在寻找两圆位置关系时，要让学生动口、动手、动脑，进行观察、思考、猜想、归纳，亲身经历圆与圆的位置关系变化过程，以运动的观点，认识事物的本质，加深对知识的理解.学生知道了两圆相离、相切、相交的概念后，可让学生在这三个概念中找出关键词，说出分类的依据(根据公共点的个数)；然后让学生继续观察和比较每一大类中的图形，进行再次分类.(4) “问题”的提出是引导学生用数量分析的方法研究两圆位置关系，探索它与两圆的半径长、圆心距这三个量的数量关系之间的联系。对于用这三个量的数量关系描述圆与圆的位置关系各种情况进行讨论时，可采用“先易后难、突破关键”的教学策略. 先让学生解决两圆“外离”、“外切”、“内切”的情况，通过对图形的观察和分析，容易得到相应的数量关系表达式；然后解决“内含”的情况，注意可为零；最后对“相交”的情况进行分析，由两圆圆心的联线与两圆的半径构造三角形,利用三角形三边的长度关系，推出描述两圆相交的数量关系表达式.另外，考虑到这部分内容比较抽象，教师可适当借助多媒体教学手段辅助教学，以便于学生思考和理解.（5）当时，两圆内含，这时两圆为同心圆.也就是说，同心圆的位置关系是两圆内含的一种特殊情形.注意，同心圆是圆心相同、大小不同的两个圆，它们不是同圆.（6） 例题1是判断两圆位置关系，题中给定了两圆的半径及圆心距，可直接运用两圆位置关系的数量关系表达式进行判断.可让学生自主得到结论，出现错误时，教师再予以分析、指导.（7） 例题2是两圆位置关系的数量关系表达式的运用，要让学生搞清楚三个圆“两两外切”的含义；还要学会用字母来表示线段的长，简化计算过程.（8） 在例题3的教学中，要让学生注意审题，把握准概念，注意分类讨论.（9） 例题4是例题2的变式，让学生学会根据已知条件作三个圆两两外切.（10） 例题5是综合运用两圆位置关系性质及判定解决实际问题。本题的实际背景学生并不陌生，关键是如何将这个实际问题抽象为数学模型，并指出哪条线段的长为需要安装的隔音板的长.图26-37是将实际问题抽象为数学问题的示意图，图26-38是具体解题时所用的图形.教学中要注重对例题的分析，指导学生理解例题“分析”部分的意思，并注意“边款”中的提示.本题有一定的难度，教师要为学生的学习提供更多的帮助；本题的实际背景与环境保护有关，可渗透有关环境保护的教育。根据学生学习的实际情况，教师可将本题作为学生选学内容，改用其他例题进行教学，如以“台风”或“拖拉机”为背景、体现圆的有关知识实际应用的问题。（11）关于两圆相切图形的轴对称性及对称轴，学生容易看出，但要说明切点在连心线上则有一定困难.事实上，假设切点T不在连心线O1O2上，则T关于O1O2的对称点也是两圆的公共点，这与已知O1与O2相切只有一个公共点矛盾，因此切点的T必在直线O1O2上.教学时，学生只要能直观地认识到切点在连心线上就可以了，不必要求所有学生都能严格地说出理由.(12) 例题6是相交两圆连心线性质定理的初步应用.关于相交两圆连心线性质定理及相切两圆连心线性质定理，只要求学生会直接运用，不必再增加难度.3练习答案练习26.5（1）1. (1) ；(2) ；(3) .2.（1）外离 ；（2）外切 ；（3）相交 ；（4）内切 ；（5）内含.3. r=5cm 或1cm .4.外离.练习26.5（2）1相离.22cm或16cm.3.相交.练习26.5（3）1 略.2.（1）ACD=30；(2)4.3.提示：作连心线，则点T在上；推出AT=BT，可得到结论.4.24cm.26.6正多边形与圆（2课时）1.教学目标（1） 知道正多边形的概念及其对称性；知道正多边形的中心以及半径、边心距和中心角等概念.（2）知道正多边形中与边、半径、边心距、中心角等相联系的基本图形，会在正三角形、正方形、正六边形中利用基本图形进行简单的几何计算.（3） 会利用等分圆周画正三角形、正方形、正六边形.2.教材分析与教学建议学生已经熟悉等边三角形和正方形，它们的共同特征是各边相等、各角也相等。本节在学生已有认识的基础上，顺其自然地引出了正多边形的定义；通过对特殊正多边形进行操作、观察和归纳，引出了一般正多边形所具有的对称性；然后，利用正多边形的对称性，建立了正多边形的中心以及半径、边心距和中心角等概念；再利用正n边形可分解为n个全等的等腰三角形的特性，用基本图形将正多边形的边、半径、边心距和中心角联系起来，把有关边长、半径长、边心距和中心角大小的计算问题转化为解直角三角形的问题. 在教学中，要注意以下几点：(1)正多边形是指各边相等、各角也相等的多边形，其边数是大于或等于3的正整数。要从边和角两类元素的数量特征来正确把握正多边形的定义；除三角形以外，多边形的各边相等与各角相等这两者之间没有等价性，为了加深认识，可以适当举一些反例加以说明.(2) “问题1”是引导学生讨论正多边形的轴对称性.教学时，可根据课本先对边数为3、5、7的正多边形以及边数为4、6、8的正多形的轴对称性分别进行讨论；再结合“试一试”中提出的要求，对“问题1”前面的讨论进行归纳、总结.要使学生确认所有正多边形都是轴对称图形，并知道正多边形的对称轴条数(与边数相同)及分布特点.(3) “问题2”是引导学生讨论正多边形中心对称性，教学时可类比“问题1”的讨论展开.要对中心对称图形的有关知识进行复习，以便学生理解边数是奇数的正多边形为什么不是中心对称图形.（4）“想一想”是要让学生知道，任何一个正多边形都具有旋转对称性，一个正n多边形绕着它的中心每旋转，总与原图形重合.（5）正多边形的内切圆是指与正多边形的各边都相切的圆，这个圆上的点除切点外都在正多边形内部。本册课本提及正多边形的“内切圆”，主要是为讲述正多边形“中心”的需要；课本中没有给出正多边形的“内切圆”的定义，教学时可对“内切圆”进行直观性解释，但不要对“内切圆”提出其他的教学要求。(6) 可向学生指，出正多边形都有外接圆,而多边形不一定有外接圆；课本的有关内容中，隐含了如何画一个正多边形外接圆的方法（也含有画内切圆的方法）. 正多边形的半径也就是这个正多边形的外接圆的半径，实质上两者是统一的；正多边形的半径是正多边形所特有的，如果一个多边形有外接圆，这时不要将它的外接圆的半径表述为多边形的半径.(7) 例题1是利用正三角形中的基本图形进行简单的几何计算。要让学生通过本题及练习26.6（2），进一步掌握正多边形的中心角大小与边数之间的联系，体会正边形的边长、半径长、边心距、中心角（或边数）这四个量之间的关系，知道可根据其中的两个量求出其余的两个量，还有关于正多边形的周长、面积的计算. (8) 例题2是利用等分圆周画正六边形。完成本题教学后，可让学生思考，还会利用尺规等分圆周的方法画哪些正多边形？再通过练习26.6（2）第4、5题，学会圆的内接正三角形、正方形.3练习答案练习26.6（1）1矩形和菱形不一定是正方形（正四边形）.因为矩形的邻边可以不相等,菱形的邻角可以不相等.2（1）这个六边形ABCDEF各角相等,但不是正六边形；（2）这个六边形ABCDEF的各边相等, 但不是正六边形.3120,90,60.4（1） 略.（2）提示：正边形的每个内角等于。练习26.6（2）1. a4 =R ,a6 = R, r4 = R, r6 = R, p4 = 4R , p6 = 6R , S4 = 2R2 , S6 = R2 . 2半径=10cm,边心距=10cm.3(1)边心距=a, 半径=a, 高=a； (2)略.4略.5略.第二十七章 统计初步一、全章综述1教学目标（1）知道统计来源于生活，是为发现问题、寻找规律提供依据；会整理数据制作表格，会画出相应的条形图或折线图、扇形图；能从常见的统计图中获取信息。（2）理解统计的意义，理解统计中的总体、个体、样本、样本容量、普查、抽样调查等基本概念。 理解随机样本，会判断一个样本是否是随机样本。知道通过局部推断整体的统计思想，会通过随机样本估计总体的数量。（3）理解平均数、加权平均数、中位数和众数等反映一组数据平均水平的量；理解“权”的含义，会计算加权平均数；会从一组数据中确定中位数和众数。知道平均数、中位数、众数各自的特点，能根据实际问题，选择其中合适的量来反映一组数据的平均水平。会通过随机样本的平均数推断总体的平均数。（4）理解方差与标准差这两个反映一组数据波动程度的量。会计算一组数据的方差、标准差；会根据一组数据的方差、标准差解释数据波动性的问题。（5）理解频数和组频率这两个反映一组数据分布的量。会按要求将数据分组，会制作频数、频率分布表，会绘制频数分布直方图。 能从频数、频率分布直方图中获取信息。（6）积极参与统计活动，通过活动增强团队合作精神和社会实践能力。具有初步的统计意识；对于简单的统计问题，能确定随机样本，并通过调查收集数据；会通过整理、分析数据了解数据分布的情况。2课时安排本章教学共10课时，建议分配如下：271数据整理与表示 1课时272统计的意义 1课时273表示一组数据平均水平的量 2课时274表示一组数据波动程度的量 2课时275表示一组数据分布的量 2课时276统计实习 1课时复习与小结 1课时 3设计说明学生在以前的数学学习中，已经知道一些关于统计的知识，对于数据收集和整理的方法有所了解，会画折线图、条形图和扇形图等。本章内容的安排，是从回顾和整理以前课本中已有的统计知识开始，通过具体事例对统计的意义进行说明，再引入与数据分析有关的基本统计量；内容展开的顺序是：“数据整理与表示”，“统计的意义”、“表示一组数据平均水平的量”、“表示一组数据波动程度的量”和“表示一组数据分布的量”。这样，对一组数据的研究，形成了一个逐步深入、循序渐进的过程，即先研究反映一组数据平均水平的量，再研究这组数据围绕平均数上下波动的情况，最后研究这组数据分布的情况。本章内容相对于一期课改数学课本中的“统计”内容，作了一些调整。一方面，强化了从统计图中获取信息的要求，补充了一些基本概念，加强了从局部估计整体的统计思想的应用。例如：现在课本中提供了多种多样的与日常生活相关的统计资料，使学生面对各种来自生活的统计图表；增加了“样本容量”、“众数”的概念；指出在人口、身高、体重等问题中，可以通过大容量的随机样本的分布来估计总体的分布。另一方面，为突出主干知识，删除或简化了一些次要的概念和内容。例如：统计图中删去“茎叶图”；在一组数据波动程度的讨论中，删去了“变异系数”。又如，不要求用随机样本的方差、标准差推断总体的方差和标准差。如果要根据随机样本的方差推断总体的方差，那么方差计算的公式是：，相应总体的标准差为。课本中不出现上述公式。4教学建议（1）把握教学基本要求，抓住重点、化解难点。本章概念多，教学中要分层次、抓重点，提出不同的要求。如“统计的意义”一节中出现“总体”、“个体”、“样本”、“样本容量”、“普查”、“抽样调查”、“随机样本”等概念，其中“样本容量”只要求学生知道；“总体”、“个体”、“样本”、“普查”、“抽样调查”则要求理解；而“随机样本”，既是重点也是难点，要求学生不但要理解，还要会应用。 又如关于“表示一组数据平均水平的量”的教学，要求学生理解“平均数”、“加权平均数”、“中位数”和“众数”等概念，并会进行计算；会从这四个量中选取更加适合反映一组数据平均水平的量；“截尾平均数”只要求知道。在这一节的教学中，学生对加权平均数中“权”的理解、对涉及与众数相关的问题的回答、对选用“平均数”、“加权平均数”、“中位数”和“众数”中的哪一个量表示一组数据的平均水平等，学生会感到困难或产生困惑，教师要多加解说、举例说明。本章重视学生从统计图中获取信息的能力，重视学生对概念实质的认识。例如在一张统计图中出现几组数据时从中获取信息，或通过两个统计图的信息互补来完善统计图等，重在培养学生识图和获取信息的能力。又如为帮助学生认识方差和标准差是“表示一组数据波动的量”，课本中将数据围绕平均数上下波动的情况用图示方法表示出来，让学生获得直观性的印象，引起实质性的思考。（2）重视展现过程和进行数学思想方法教学。本章统计内容的展开，注意体现“实践理论实践”的认识，一般先通过丰富的实例，让学生具体感受统计活动；然后描述统计的有关概念和方法，让学生学习一些理论知识；再通过统计的举例或实习，将理论与实践相结合，帮助学生形成正确的认识。要注意新旧知识的联系，引导学生用类比的方法进行学习，形成知识的迁移。比如在学习“捉放捉”估计总体数量之前，可让学生思考，若袋中有许多白弹子，有10个红弹子，如何通过试验来估计袋中白弹子的数量；又如在学习频数、频率分布直方图时，可先让学生回忆随机事件试验中的频数、频率概念等。要强调从局部推断整体的统计思想，帮助学生学会从随机样本的平均数来推断总体的平均数；对于人口、体重、身高问题，可以通过大容量的随机样本的分布来推断总体的分布，但不要轻易用随机样本的分布推断其他总体的分布。另一方面，要注意防止统计推断的误用，这类错误的产生，有可能是把非随机样本当作随机样本，也可能是样本容量太小。（3）重视统计的实践活动以及计算器的应用。本章内容与现实生活的联系紧密，还安排了一些联系实际的统计作业以及统计实习。要有效展开多种多样的统计活动，让学生在实践中学习统计知识、培养统计意识，体会统计的普遍性和重要性。本章在数据处理和分析中，常常会出现繁复的数值计算，要求学生利用计算器来完成计算。课本中提供了利用常见型号计算器求样本的平均数、方差、标准差的操作程序，教学中要指导学生根据所持计算器的说明书，学会使用计算器求有关统计量的操作方法。5评价建议（1）关注学生对统计意义的认识和基本能力的发展。当今社会是信息社会，在“统计”教学中应重视培养学生的统计意识和信息处理能力。要通过评价，促进学生正确认识统计的意义和作用，发展处理信息的基本能力。在评价中，要关注学生对信息的获取、整理、分析、判断，从简单的条形图、折线图、扇形图到同时反映几组数据的条形图、折线图，逐步提高识图能力和从图表中获取信息的能力；要关注学生整理和分析数据、构造表格和画出相应统计图的能力；要关注学生对各种统计量的计算、解释和应用的能力，包括会使用计算器进行数据处理。（2）关注学生对统计的重要概念和基本方法的掌握。要通过评价，引导学生正确理解概念，学会统计的基本方法。例如，要求学生应知随机样本与非随机样本的区别、随机样本的获取等；要求学生能根据平均数、方差来说明一组数据的特性，能根据频数、组频率说明一组数据的分布情况等。又如，要关注学生提出问题、确定调查方案、通过调查获得数据、通过分析和研究得出结论的全过程，对学生在运用统计知识解决实际问题的活动中所获得的经验和方法进行评价。（3）关注学生在统计学习过程中情感、态度的变化。“统计初步”的学习过程、包括统计实习活动，对培养学生的数学应用能力、人际交往能力、社会实践能力、团队合作精神和科学态度，有重要的和积极的影响。要为学生开展统计活动提供机会，组织学生有效参与，对学生在活动中的积极表现进行鼓励性评价；要关注学生在统计活动中的过程经历和情感体验，关注学生所活动的经验和体会，可安排学生进行小结和交流。二、具体说明271数据整理与表示（1课时）1教学目标（1）知道条形图、折线图、扇形图各自的特点，会用表格、条形图、折线图、扇形图整理和表示数据。（2）会从较复杂的条形图、折线图或从互补的两个统计图中获取信息。2教材分析和教学建议本节内容是对以前学过的有关数据整理和表示的知识进行回顾和应用，提出了列表和画条形图、折线图、扇形图等是整理数据的常用方法，并说明了这些方法各自的特点。在教学中，要注意以下几点：（1）学生以前学过条形图、折线图和扇形图，教学时要先复习这三种统计图及其画法。（2）要重视表格的作用。将具体问题中的数据用表格形式概括出来，是一项重要但容易忽略的技能。表格中的行列包括各栏目名称、数据单位等，构成了相应统计图的全部要素。构造表格是本课教学中的一个难点，要让学生在教师的提示下自己动手列出表格。（3）在画条形图、折线图和扇形图时，分别指出它们各自的特点。要注意，整理数据时对统计图的选择往往不是唯一的，可给出几个实例，让学生判断用哪种统计图表示比较合适。（4）“问题”