2019年高中数学 第2章 推理与证明综合素质检测 新人教A版选修1-2.doc

2019年高中数学 第2章 推理与证明综合素质检测 新人教A版选修1-2一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1自然数是整数，4是自然数，所以4是整数以上三段论推理()A正确B推理形式不正确C两个“自然数”概念不一致D“两个整数”概念不一致答案A解析三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的2已知ab0，下列不等式中成立的是()Aa2b2B1Ca4b D答案C解析令a2，b1，满足abb2，21，故A、B、D都不成立，排除A、B、D，选C.3用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为()A6n2 B8n2C6n2 D8n2答案C解析归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an6n2.4已知数列an的前n项和Snn2an(n2)，而a11，通过计算a2、a3、a4，猜想an()A BC D答案B解析a2S2S122a21，a2，a3S3S232a322a29a34，a3.a4S4S342a432a316a49，a4.由此猜想an.5观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，的特点，则第100项为()A10 B14C13 D100答案B解析设nN*，则数字n共有n个，所以100即n(n1)200，又因为nN*，所以n13，到第13个13时共有91项，从第92项开始为14，故第100项为14.6已知123332432n3n13n(nab)c对一切nN*都成立，那么a、b、c的值为()Aa，bcBabcCa0，bcD不存在这样的a、b、c答案A解析令n1,2,3，得，所以a，bc.7已知f1(x)cosx，f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，f4(x)f3(x)，fn(x)fn1(x)，则fxx(x)等于()Asinx BsinxCcosx Dcosx答案D解析由已知，有f1(x)cosx，f2(x)sinx，f3(x)cosx，f4(x)sinx，f5(x)cosx，可以归纳出：f4n(x)sinx，f4n1(x)cosx，f4n2(x)sinx，f4n3(x)cosx(nN*)所以fxx(x)f3(x)cosx.8已知各项均不为零的数列an，定义向量cn(an，an1)，bn(n，n1)，nN*.下列命题中真命题是()A若nN*总有cnbn成立，则数列an是等差数列B若nN*总有cnbn成立，则数列an是等比数列C若nN*总有cnbn成立，则数列an是等差数列D若nN*总有cnbn成立，则数列an是等比数列答案A解析对nN*总有cnbn，则存在实数0，使cnbn，ann，an是等差数列9定义一种运算“*”，对于自然数n满足以下运算性质：()An Bn+1Cn1 Dn2答案A解析令ann*1，则由(ii)得，an1an1，由(i)得，a11.an是首项a11，公差为1的等差数列，ann，即n*1n，故选A.10已知f(x)x3x，a、b、cR，且ab0，ac0，bc0，则f(a)f(b)f(c)的值()A一定大于零 B一定等于零C一定小于零 D正负都有可能答案A解析f(x)x3x是奇函数，且在R上是增函数，由ab0得ab，所以f(a)f(b)，即f(a)f(b)0，同理f(a)f(c)0，f(b)f(c)0，所以f(a)f(b)f(c)0.11用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”，下列各假设中正确的是()A假设a、b、c都是偶数B假设a、b、c都不是偶数C假设a、b、c中至多有一个是偶数D假设a、b、c中至多有两个偶数答案B解析对命题的结论“a、b、c中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设a、b、c都不是偶数”因为“至少有一个”即有一个、两个或三个，因此它的否定应是“都不是”12(xx福建文，12)在平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L距离”定义为|P1P2|x1x2|y1y2|，则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是()答案A解析设F1(c,0)，F2(c,0)，P(x，y)，则|xc|xc|2|y|2a.当y0时，y，当y0时，y图象应为A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13“因为AC、BD是菱形ABCD的对角线，所以AC、BD互相垂直且平分”以上推理的大前提是_答案菱形对角线互相垂直且平分14设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.答案解析由已知可归纳如下：f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)，fn(x).15由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“t0，mtntmn”类比得到“c0，acbcab”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“”类比得到“”以上类比得到的结论正确的是_答案解析都正确；错误，因为向量不能相除；可由数量积定义判断，所以错误；向量中结合律不成立，所以错误16(xx天津和平区高二期中)观察下列等式：11131123 132391236 13233336123410 132333431001234515 1323334353225 可以推测：132333n3_.(nN*，用含有n的代数式表示)答案解析由条件可知：1312,1323932(12)2,1323333662(123)2，不难得出132333n3(123n)22.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)已知a、b、c是全不相等的正实数，求证：3.解析解法一：(分析法)要证3，只需证明1113，即证6.而事实上，由a、b、c是全不相等的正实数，得2，2，2.从而6.故3得证解法二：(综合法)a、b、c全不相等，与，与，与全不相等2，2，2.三式相加得6，(1)(1)(1)3，即3.18(本题满分12分)设f(x)，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明解析f(0)f(1)，同理可得：f(1)f(2)，f(2)f(3).一般性结论：若x1x21，则f(x1)f(x2).证明：设x1x21，f(x1)f(x2).19(本题满分12分)在某两个正数x、y之间，若插入一个数a，使x，a，y成等差数列，若插入两个数b、c，使x，b，c，y成等比数列，求证(a1)2(b1)(c1)解析由已知条件得x，y得2a，且有a0b0，c0.要证(a1)2(b1)(c1)，只需证a1，只要证a1，也就是证2abc.而2a，只需证bc，即证b3c3(bc)bc，即证b2c2bcbc，即证(bc)20.上式显然成立，(a1)2(b1)(c1)20(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论2cos，2cos，2cos，解析2cos2，2cos22，2cos22归纳得出，2cos.21(本题满分12分)已知数列an满足a13，anan12an11.(1)求a2，a3，a4；(2)求证：数列是等差数列，并求出数列an的通项公式解析(1)由anan12an11得an2，代入a13，n依次取值2、3、4，得a22，a32，a42.(2)由anan12an11变形，得，(an1)(an11)(an1)(an11)，即1，所以是等差数列由，所以n1，变形得an1，所以an为数列an的通项公式22(本题满分14分)(xx哈六中期中)已知函数f(x)(x2)exx2x2.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)证明：当x1时，f(x)x3x.解析(1)f (x)(x1)(ex1)，当x0或x1时，f (x)0，当0x1时，f (x)0，f(x)在(，0)，(1，)上单调递增，在(0,1)上单调递减，当x0时，f(x)有极大值f(0)0，当x1时，f(x)有极小值f(1)e.(2)设g(x)f(x)x3x，则g(x)(x1)(ex)，令u(x)ex，则u(x)ex，当x1时，u(x)ex0，u(x)在1，)上单调递增，u(x)u(1)e20，所以g(x)(x1)(ex)0，g(x)f(x)x3x在1，)上单调递增g(x)f(x)x3xg(1)e0，所以f(x)x3x.