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1.加群、环的定义,内容提要:1.1加群及符号的转换1.2环的定义及基本性质1.3一批例子重点:加群的符号转换引起的运算律的不同表达.理解和熟记环的定义.使用定义验证.,1.1加群及符号的转换在环的定义里要用到加群这个概念。我们先把这个概念说明一下。抽象群的代数运算到现在为止我们都用乘法的符号来表示。但我们知道，一个代数运算用什么符号来表示是没有关系的。一个交换群的代数运算，在某种场合之下，用加法的符号来表示为方便。,定义一个交换群叫做一个加群，假如我们把这个群的代数运算叫做加法，并且用符号+来表示。一个加群的唯一的单位元我们用0表示，并且把它叫做零元。我们有以下计算规则：（1）0a=a0=a(a是任意元)元a的唯一的逆元我们用来表示-a，并且把它叫做的负元（简称负),a+(b)记为ab.(2)a-a=?(3)-(-a)=?,1.1加群及符号的转换,1.1加群及符号的转换,(4)a+b=cb=a-c(5)(a+b)=?由于加群的加法适合结合律，n个元的和有意义，这个和我们有时用符号来表示：,1.1加群及符号的转换,(m+n)a=?n(a+b)=?n(ma)=?加群的一个非空子集S作成一个子群的充分必要条件是:?,1.2环的定义及基本性质,定义：一个集合R叫做一个环，假如1R是一个加群，换一句话说，R对于一个叫做加法的代数运算来说作成一个交换群；2R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；3这个乘法适合结合律：4.两个分配律都成立：,1.2环的定义及基本性质,基本性质:(7)a(b-c)=?,(b-c)a=?(8)0a=a0=?,这里0是零元素(9)(10),1.2环的定义及基本性质,(11)(12)即:,1.2环的定义及基本性质,(13)这里:n是任何整数规定:这里:n是正整数,它有下面的性质:(14)这里:正整数m，n,1.3一批例子,数集中的环全矩阵环:它一些子集也可以构成环多项式环:它一些子集也可以构成环剩余类环:,
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