2019-2020年高考数学四模试卷（理科）含解析.doc

2019-2020年高考数学四模试卷（理科）含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1已知集合A=x|x22x，B=y|y1，则AB等于2若双曲线x2ay2=1的离心率为，则正数a的值为3将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是 4在下列四个图所表示的正方体中，能够得到ABCD的是5若过点P（2，1）的圆（x1）2+y2=25的弦AB的长为10，则直线AB的方程是6已知是第二象限角，且sin=，则tan（+）=7已知椭圆+=1（mn0）的离心率为，且有一个焦点与抛物线y2=16x的焦点重合，则椭圆的短轴长为8设m，nR，若直线l：mx+ny1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则AOB的面积S的最小值为9在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2b2=c，且sin Acos B=2cosAsinB，则c=10已知直线y=k（x+2）（k0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B，F为C的焦点若|FA|=2|FB|，则k=11已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）=cos（x）+x，则函数f（x）的零点有个12半径为1的球内最大圆柱的体积为13双曲线=1（a0，b0）的左、右顶点分别为A、B，渐近线分别为l1、l2，点P在第一象限内且在l1上，若PAl2，PBl2，则该双曲线的离心率为14正四面体ABCD的棱长为1，其中线段AB平面，E，F分别是线段AD和BC的中点，当正四面体绕以AB为轴旋转时，线段EF在平面上的射影E1F1长的范围是二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15如图，这是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且ACBC，P为上的动点（1）证明：PA1平面PBB1；（2）设半圆柱和多面体ABB1A1C的体积分别为V1，V2，且AC=BC，求V1：V216已知点C的坐标为（0，1），A，B是抛物线y=x2上不同于原点O的相异的两个动点，且=0（1）求证：；（2）若=（R），且=0，试求点M的轨迹方程17如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，DD1平面ABCD，AB=AD，AD=A1B1，BAD=45（1）证明：BDAA1；（2）证明：AA1平面BC1D18已知数列an中，a1=5，a2=2，且2（an+an+2）=5an+1求证：（1）数列an+12an和an+1an都是等比数列；（2）求数列2n3an的前n项和Sn19已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F（2，0），且长轴长与短轴长的比是（1）求椭圆C的方程；（2）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围20已知函数f（x）=（aR）（1）求f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e上有公共点，求实数a的取值范围xx年江苏省大联考高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1已知集合A=x|x22x，B=y|y1，则AB等于x|1x2【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可【解答】解：A=x|x22x=x|0x2，B=y|y1，AB=x|0x2y|y1=x|1x2故答案为：x|1x2【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2若双曲线x2ay2=1的离心率为，则正数a的值为2【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】双曲线x2ay2=1的方程化为标准方程，利用双曲线x2ay2=1的离心率为，建立方程，即可求出正数a的值【解答】解：双曲线x2ay2=1的方程可化为x2=1，得c2=1+，因为双曲线x2ay2=1的离心率为，所以e2=1+=（）2，解得a=2故答案为：2【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，确定双曲线的几何量是关键3将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱锥的结构特征【专题】计算题【分析】通过圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积【解答】解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为：2，底面半径为：1，圆锥的高为：；圆锥的体积为： =【点评】本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型4在下列四个图所表示的正方体中，能够得到ABCD的是【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】利用正方体的性质以及三垂线定理对四个正方体中的AB，CD分别分析解答【解答】解：对于，通过平移AB到右边的平面，可知ABCD，所以中ABCD；对于，通过作右边平面的另一条对角线，可得CD垂直AB所在的平面，由三垂线定理得到中ABCD；对于，可知AB与CD所成的角60；对于，通过平移CD到下底面，可知AB与CD不垂直所以能够得到ABCD的是和故答案为：【点评】本题考查了空间几何体中，线线关系的判断；考查学生的空间想象能力5若过点P（2，1）的圆（x1）2+y2=25的弦AB的长为10，则直线AB的方程是x+y1=0【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；直线与圆【分析】确定弦AB为圆的直径，利用圆心为C（1，0），且直线AB过点P（2，1），即可求出直线AB的方程【解答】解：因为圆的直径为10，所以弦AB为圆的直径，因为圆心为C（1，0），且直线AB过点P（2，1），属于由直线方程的两点式得=，即x+y1=0故答案为：x+y1=0【点评】本题考查直线AB的方程，考查直线与圆的位置关系，确定弦AB为圆的直径是关键6已知是第二象限角，且sin=，则tan（+）=【考点】两角和与差的正切函数【专题】三角函数的求值【分析】由同角三角函数基本关系可得tan，代入两角和的正切公式可得【解答】解：是第二象限角sin=，cos=，tan=，tan（+）=故答案为：【点评】本题考查两角和的正切公式，涉及同角三角函数基本关系，属基础题7已知椭圆+=1（mn0）的离心率为，且有一个焦点与抛物线y2=16x的焦点重合，则椭圆的短轴长为8【考点】椭圆的简单性质【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆+=1（mn0）的离心率为，可得=，所以4n=3m，利用焦点与抛物线y2=16x的焦点重合，求出m，n，即可求出椭圆的短轴长【解答】解：由已知得=，所以4n=3m，因为抛物线y2=16x的焦点为（4，0），而椭圆的右焦点为（c，0），所以c=4，得mn=42=16，解得m=64，n=48，所以椭圆的短轴长为2=2=8故答案为：8【点评】本题考查椭圆、抛物线的性质，考查学生的计算能力，确定几何量是关键8设m，nR，若直线l：mx+ny1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则AOB的面积S的最小值为3【考点】点到直线的距离公式【专题】直线与圆【分析】由距离公式可得m2+n2=，面积为S=|=，由基本不等式可得答案【解答】解：由坐标原点O到直线l的距离为，可得=，化简可得m2+n2=，令x=0，可得y=，令y=0，可得x=，故AOB的面积S=|=3，当且仅当|m|=|n|=时，取等号，故答案为：3【点评】本题考查点到直线的距离公式，涉及基本不等式的应用和三角形的面积，属基础题9在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2b2=c，且sin Acos B=2cosAsinB，则c=3【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题；解三角形【分析】利用正弦定理、余弦定理，化简sinAcosB=2cosAsinB，结合a2b2=c，即可求c【解答】解：由sinAcosB=2cosAsinB得=2，所以a2+c2b2=2（b2+c2a2），即a2b2=，又a2b2=c，解得c=3故答案为：3【点评】本题考查正弦定理、余弦定理，考查学生的计算能力，正确运用正弦定理、余弦定理是关键10已知直线y=k（x+2）（k0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B，F为C的焦点若|FA|=2|FB|，则k=【考点】抛物线的简单性质【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AMl于M，BNl于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点，求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=2直线y=k（x+2）（k0）恒过定点P（2，0）如图过A、B分别作AMl于M，BNl于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=|AF|，|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为（1，2）k=，故答案为：【点评】本题考查了抛物线的简单性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题11已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）=cos（x）+x，则函数f（x）的零点有7个【考点】函数的零点【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用【分析】作f（x）=cos（x）+x（x0）的图象，由图象解交点的个数，从而求零点的个数【解答】解：作f（x）=cos（x）+x（x0）的图象如下图，其在（0，+）上有三个零点，又函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数f（x）的零点共有32+1=7个，故答案为：7【点评】本题考查了函数的零点个数的判断，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题12半径为1的球内最大圆柱的体积为【考点】球内接多面体【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由题意设圆柱的底面半径为x，高为y，则（2x）2+y2=4，（0y2）；V=x2y=y=（4y2）y，利用导数求最值【解答】解：设圆柱的底面半径为x，高为y，则（2x）2+y2=4，（0y2）；V=x2y=y=（4y2）y=（4yy3），则V=（43y2），故43y2=0，即y=时，有最大值，Vmax=（4）=故答案为：【点评】本题考查了学生的空间想象力与导数的综合运用，属于中档题13双曲线=1（a0，b0）的左、右顶点分别为A、B，渐近线分别为l1、l2，点P在第一象限内且在l1上，若PAl2，PBl2，则该双曲线的离心率为2【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出双曲线的顶点和渐近线方程，设P（x，y），再由两直线垂直和平行的条件，得到a，b的关系式，再由离心率公式计算即可得到【解答】解：依题意有A（a，0），B（a，0），渐近线方程分别为l1：y=x，l2：y=x，设P（x，y），则由PBl2得=，因为点P在直线y=x上，于是解得P点坐标为P（，），因为PAl2，所以（）=1，即（）=1，所以b2=3a2，因为a2+b2=c2，所以有c2=4a2，即c=2a，得e=2故答案为：2【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，运用两直线垂直的条件和平行的条件是解题的关键14正四面体ABCD的棱长为1，其中线段AB平面，E，F分别是线段AD和BC的中点，当正四面体绕以AB为轴旋转时，线段EF在平面上的射影E1F1长的范围是，【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】取AC中点为G，连接EG、FG，根据四面体绕AB旋转时，GF平面，GE与GF的垂直性保持不变，当CD与平面垂直时射影E1F1的长取得最小，当CD与平面平行时，E1F1取得最大，分别求出最大、最小值，可得答案【解答】解：如图，取AC中点为G，连接EG、FG，E，F分别是线段AD和BC的中点，GFAB，GECD，在正四面体中，ABCD，GEGF，EF2=GE2+GF2=，当四面体绕AB旋转时，GF平面，GE与GF的垂直性保持不变，当CD与平面垂直时，GE在平面上的射影长最短为0，此时EF在平面上的射影E1F1的长取得最小值；当CD与平面平行时，GE在平面上的射影长最长为，E1F1取得最大值，射影E1F1长的取值范围是，故答案为：，【点评】本题借助考查线段在平面内的射影问题，考查空间直线与直线位置关系的判定，考查了学生的空间想象能力，二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15如图，这是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且ACBC，P为上的动点（1）证明：PA1平面PBB1；（2）设半圆柱和多面体ABB1A1C的体积分别为V1，V2，且AC=BC，求V1：V2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即可证明结论；（2）利用体积公式，求出半圆柱和多面体ABB1A1C的体积，即可求V1：V2【解答】（1）证明：在半圆柱中，BB1平面PA1B1，所以BB1PA1因为A1B1是底面圆的直径，所以PA1PB1，因为PB1BB1=B1，PB1平面PBB1，BB1平面PBB1，所以PA1平面PBB1（2）解：因为ACBC，AC=BC，所以ABC是等腰直角三角形，且AB2=BC2+AC2=2AC2所以半圆柱的体积V1=（AB）2AA1=AC2AA1多面体ABB1A1C是以矩形ABB1A1为底面，以C为顶点的四棱锥，其高为点C到底面ABB1A1的距离，设这个高为h，在RtABC中，ABh=ACBC，所以h=，所以V2=AA1AB=AA1ACBC=AA1AC2所以=【点评】本题考查线面垂直的判定，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题16已知点C的坐标为（0，1），A，B是抛物线y=x2上不同于原点O的相异的两个动点，且=0（1）求证：；（2）若=（R），且=0，试求点M的轨迹方程【考点】抛物线的简单性质【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用=0，可得x1x2=1，根据=（x1，1），=（x2，1），即可证明；（2）由题意知，点M是直角三角形AOB斜边上的垂足，又定点C在直线AB上，OMB=90，即可求点M的轨迹方程【解答】解：（1）设A（x1，），B（x2，），x10，x20，x1x2，因为=0，所以x1x2+=0，又x10，x20，所以x1x2=1因为=（x1，1），=（x2，1），且（x1）（1）（x2）（1）=（x2x1）+x1x2（x2x1）=（x2x1）（x2x1）=0，所以（2）由题意知，点M是直角三角形AOB斜边上的垂足，又定点C在直线AB上，OMB=90，所以点M在以OC为直径的圆上运动，其运动轨迹方程为x2+（y）2=（y0）【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查向量知识的运用，考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题17如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，DD1平面ABCD，AB=AD，AD=A1B1，BAD=45（1）证明：BDAA1；（2）证明：AA1平面BC1D【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）由已知条件利用余弦定理得BD2=AD2，从而利用勾股定理得ADBD，进而得到BD平面ADD1A1，由此能证明BDAA1（2）连结AC、A1C1，设ACBD=E，连结EC1，由棱台的定义结合已知条件推导出四边形A1C1EA是平行四边形，由此能证明AA1平面BC1D【解答】证明：（1）AB=AD，BAD=45，在ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB22ADABcos 45=AD2，AD2+BD2=AB2，ADBD，DD1平面ABCD，且BD平面ABCD，DD1BD，又ADDD1=D，BD平面ADD1A1又AA1平面ADD1A1，BDAA1（2）连结AC、A1C1，设ACBD=E，连结EC1，四边形ABCD是平行四边形，AE=AC，由棱台的定义及AB=AD=2A1B1知，A1C1AE，且A1C1=AE，四边形A1C1EA是平行四边形，AA1EC1，又EC1平面BC1D，AA1平面BC1D，AA1平面BC1D【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养18已知数列an中，a1=5，a2=2，且2（an+an+2）=5an+1求证：（1）数列an+12an和an+1an都是等比数列；（2）求数列2n3an的前n项和Sn【考点】数列的求和；等比关系的确定【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）2（an+an+2）=5an+1求可得2（an+22an+1）=an+12an，an+2an+1=2（an+1an），根据等比数列的定义判定出数列都是等比数列；（2）由（1）解的an，再求出2n3an=（222n5），再求出前n项和【解答】解：（1）2（an+an+2）=5an+1，2an+2an+2=5an+1，2（an+22an+1）=an+12an，=，a22a1=225=8，an+12an是以8为首项，为公比的等比数列；an+12an=82（an+an+2）=5an+1，an+2an+1=2（an+1an）=2，a2a1=25=，an+1an是以为首项，2为公比的等比数列；an+1an=，（2）由（1）知an+12an=8an+1an=，由解得an=（24n2n2），验证a1=5，a2=2适合上式，2n3an（24n2n2）2n3=（222n5）Sn=（223）+（221）+（22）+（222n5）= 2n（23+21+2+22n5）= 2n=【点评】本题主要考查了等比关系的确定，等比数列的求和问题解题的关键是对等比数列基础知识点的熟练掌握，属于中档题19已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F（2，0），且长轴长与短轴长的比是（1）求椭圆C的方程；（2）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围【考点】椭圆的标准方程；椭圆的应用【专题】计算题【分析】（）设椭圆C的标准方程，根据焦点坐标和长轴长与短轴长的比联立方程求得a和b，进而可得椭圆的方程（）设P（x，y）为椭圆上的动点，根据椭圆的性质可判断x的范围代入判断因为当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，进而求得m的范围点M在椭圆的长轴上进而推脱m的最大和最小值综合可得m的范围【解答】解：（）设椭圆C的方程为由题意解得a2=16，b2=12所以椭圆C的方程为（）设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故4x4因为，所以=因为当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x=4m时，取得最小值而x4，4，故有4m4，解得m1又点M在椭圆的长轴上，即4m4故实数m的取值范围是m1，4【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程求标准方程时常需先设椭圆的标准方程，根据题设中关于长短轴、焦点、准线方程等求得a和b，进而得到答案20已知函数f（x）=（aR）（1）求f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e上有公共点，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；函数图象的作法【专题】导数的综合应用【分析】本题（1）先求出导函数，利用导函数值的正负研究函数的单调区间，得到本题结论；（2）利用（1）的结论，进行分类讨论，由根据存在性定理，得到相应关系式，解不等式，得到本题结论【解答】解：（1）函数f（x）=（aR），=当0xea+1时，f（x）0，函数f（x）在区间（0，ea+1）上单调递减；当xea+1时，f（x）0，函数f（x）在区间（ea+1，+）上单调递增；当x=ea+1时，f（x）=0，函数f（x）有极值，f（ea+1）=ea1（2）由（1）知：当x=ea+1时，函数f（x）有极小值，f（ea+1）=ea10记h（x）=f（x）g（x）=f（x）+1，当ea+1e，即a+11，a0时，ea1+10，a1当ea+1e，即a+11，a0时，h（e）0，0ae，综上，a1或0ae【点评】本题考查了导函数与函数的单调性和最值，还考查了分类讨论的数学思想，本题有一定的计算量，难度适中，属于中档题