概率论与数理统计第1章.ppt

1,目前，数学在经济、金融、管理科学等领域的应用越来越广泛，需要应用随机数学对这些领域中的许多问题及大量数据建模、分析和进行推断，为此，必须掌握随机数学的基础课程概率论与数理统计。,应用,理论基础,2,概率论是研究随机现象的数量规律的数学分支，从近代博弈论逐步发展起来；数理统计以概率论为工具研究统计资料的收集、整理，并依据收集现象的规律性作出科学的分析和推断。,概率论与数理统计以随机现象的统计规律性为研究对象，其最终目的在于用随机现象的规律性指导我们的实践。,3,1.1随机现象与统计规律性,一、随机现象与决定性现象,定义：在试验或观测之前，不能确切知道哪个结果会发生，称此现象为随机现象。相反，在一定条件下能够明确预知其结果，称此现象为决定性现象。,4,(4)火箭速度超过第一宇宙速度就会摆脱地球引力而飞出地球。,(2)从93个产品（其中90正3次）中抽取一个产品；,例1：判断下列现象为随机现象还是决定性现象？,(1)扔一枚分币；,(3)在标准大气压下将水加热至100必沸腾；,5,二、随机试验与样本空间,定义：概率论中将对随机现象的观察或为观察随机现象而进行的试验称为随机试验，它应具备以下三个特征：,每次试验的可能结果不止一个，且事先明确知道试验的所有可能性结果。,进行试验之前不能确定哪一个结果会发生。,试验可以在相同条件下重复进行。,随机试验简称试验，用英文字母E表示。,6,定义：随机试验E的每一个基本结果，称为样本点，记为；样本点的全体组成的集合称为样本空间，记为。,例2：求下列随机试验的样本空间：(1)将一枚硬币连掷两次；,(3)某人向一目标进行射击，直至命中目标，观察其射击的次数。,(2)掷一颗骰子，观察出现的点数；,7,三、随机事件,定义：在随机试验中可能会发生和可能不会发生的事件称为随机事件，简称事件，用大写英文字母A,B,C,Ai等表示。,事件是样本点的集合，它是样本空间的子集。样本空间必然事件。不包含任何样本点的空集不可能事件。,8,四、频率的稳定性,定义：对于随机事件A，若在n次试验中出现了次，则称,为事件A在n次试验中出现的频率。,例3：掷一枚硬币，A“正面向上”，几位数学家的试验结果如下：,9,Fn(A)稳定在0.5附近摆动，但不是普通的极限意义。,10,五、概率的统计意义,定义：随机试验E中的事件A，在n次重复试验中出现的频率为Fn(A)，当n很大时，Fn(A)稳定地在某一数值p的附近摆动，且随着n的增大，摆动幅度会减小，则称p为随机事件A发生的概率，记为,11,1.2随机事件间的关系与运算,一、关系,1、包含(子事件)：,事件A发生必然导致事件B发生，称A是B的子事件，记为AB。,若AB且AB，则称事件A与事件B等价，记为AB。,12,2、交事件：,事件A与事件B同时发生，记为AB或AB。,n个事件的交事件指A1,A2,An同时发生：,3、并事件：,事件A、B至少有一个发生，记为AB。,n个事件的并事件指A1,A2,An至少有一个发生：,13,4、差事件：,事件A发生而事件B不发生，记为。,5、互不相容或互斥：,事件A与事件B不可能同时发生，记。,当事件A、B互斥时，记ABAB。,6、对立事件：,对于事件A，称“事件A不发生”为事件A的对立事件，记为。,14,A（）发生当且仅当（A）不发生；若两个事件A、B满足称A、B对立或称A、B互逆。,于是有,15,二、运算规律,1、交换律：,2、结合律：,3、分配律：,16,4、德摩根(DeMorgen)律：,此律又称对偶律；,对于n个事件，甚至无限可列个事件，此律亦成立。,17,例1：圆柱形产品，直径、长度都要合格，产品才算合格。规定A“长度合格”；B“直径合格”；C“产品合格”，描述A，B，C之间的关系。,例2：A1“2个样品中有一个次品”；A2“2个样品全是次品”；B“2个样品中至少有一个次品”,求。,18,例3：p.11，第3题。,例4：掷骰子，A=“掷出奇数点”；B=“点数不超过3”；C=“点数大于2”；D=“掷出5点”。求AB；BC；AB；BD；AB；BA。,19,例5：某人连续三次购买体育彩票，每次一张，令A、B、C分别表示其第一、二、三次所买的彩票中奖事件，试用A、B、C表示下列事件：(1)第三次未中奖；(2)只有第三次中了奖；(3)恰有一次中奖；(4)至少有一次中奖；(5)不止一次中奖；(6)至多中奖两次。,20,1.3概率的古典意义,一、古典概型,1、定义：具有下述两个特征的随机现象的数学模型称为古典概型：,试验E的样本空间是有限的，即,每个样本点出现的可能性即发生的概率相同。,21,设为古典概型，事件A发生的概率定义为,概率的古典定义,22,2、概率的基本性质,定理1.1：,非负性：对任一事件A，有0P(A)1。,规范性：,有限可加性：若事件A,B互斥，则,进一步，如果A1,A2,Am是两两互斥的事件，则,为基本性质,23,加法公式：,若，则,24,二、古典概型的计算,1、复习排列组合,两个基本原理,乘法原理进行A过程有n种方法，B过程有m种方法，则进行AB过程有mn种方法。,加法原理进行A过程有n种方法，B过程有m种方法，则进行AB过程有m+n种方法。,25,排列：从n个元素中取出r个元素进行有顺序地放置。,有放回选取，从n个元素中有放回选取r个元素，共有nr种方法。,无放回选取，从n个元素中无放回选取r个元素(rn)，共有种方法。,26,组合：从n个元素中取出r个元素，不必考虑r个元素的前后顺序。设其结果为或。,组合的计算是通过考虑一个组合可以产生多少个排列而得到结果。,27,例1：某铁路线上共有20个车站，要为这条铁路线准备多少种车票？,例2：30个篮球队进行单循环比赛，要进行几场比赛？,例3：袋中有5红2白7个球，有放回地每次从袋中摸一球，共摸三次，问两次摸红球、一次摸白球的试验结果有几个？,28,2、具体例子,设有20个某种零件，其中16个为一级品，4个为二级品，现从中任取三个，求：只有一个一级品的概率；至少有一个一级品的概率。,从0、1、2、3这4个数字中任取3个进行排列，求“取得的3个数字排成的数是三位数且是偶数”的概率。,29,一口袋中有5红2白7个球，从袋中任取一球，有放回地取2次，求：均取红球的概率；第一次取红球，第二次取白球的概率；取得一红一白的概率。,设事件A、B的概率分别为和，求下列三种情况下的值：A与B互斥；。,30,在某城市中共发行三种报纸A、B、C，该城市的居民中，订购A的占45；订购B的占35；订购C的占30；同时订购A、B的占10；同时订购A、C的占8；同时订购B、C的占5；同时订购A、B、C的占3。试求下列百分率：只订购A的；正好订购两种报纸；至少订购一种报纸；不订购任何报纸。,31,1.4概率的公理化意义,一、几何概率,引例：在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上0,3)上的诸数字，旋转陀螺至其停止，问B“圆周的接触点位于区间1,2)上”的概率为多少？,解：由于刻度均匀，圆周上各刻度与桌面接触是等可能的，因此所求概率应与区间的长度成正比。又概率应在01之间，故如下定义是合理的：,32,定义：设试验E的样本空间为某可度量的区域，且中任一区域出现的可能性的大小与该区域的几何度量成正比而与该区域的位置和形状无关，则称该试验E为几何概型的。如果A是中的任一区域，且A可以度量，则定义A的概率为,可以为一维(长度)；二维(面积)；三维(体积)。称这样定义的概率为几何概率。,33,例1：甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲船停泊时间为1小时，乙船停泊时间为2小时，求它们任一艘都不需要等待码头空出的概率。,例2：把长度为a的棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。,34,几何概率的基本性质,对任一事件A，有0P(A)1。,。,若A1,A2,Am是两两互不相容的事件，则,为基本性质,进一步，m，有限可加性可列可加性。,几何概率同样满足古典概型的性质。,35,二、概率的公理化定义,本书所提及的概率全为公理化定义的概率。古典概率和几何概型均强调等可能性，存在很大的局限性。由、基本性质可归纳出概率的公理化定义。概率的公理化定义,36,定义：设为基本事件空间，对于任一事件A，定义一个实数P(A)，它满足如下三条公理：,0P(A)1；,P()=1；,对于两两互不相容的事件Ai,i1,2,有,则称P(A)为事件A的概率。,37,性质：,若A1,A2,Am两两互不相容，则,若，则P(A)P(B)，P(BA)=P(B)P(A)。,任意两事件A,B，,38,例3：甲袋中有2红1白3个球，乙袋中有1红2白3个球，从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋中任取一球放入甲袋，求试验后甲袋中球的成分不变的概率。,例4：口袋中有红、黄、白三个球，有放回地每次抽一个球，共抽三次。求：L“三个球中无红或无黄情形”的概率。,39,1.5条件概率与事件独立性,一、条件概率与乘法公式,引例：两台机床加工同一零件，基本情况如下：,现从100只产品中任取一个，A“取到第一台的产品”，B“取到正品”，求：,40,(1)P(B)；(2)如果已知取到的是第一台车床的产品，即已知A发生，问B发生即取到正品的概率为多少？,解：,如果已知取到的是第一台车床的产品，即已知A发生，问B发生即取到正品的概率为,定义：在事件A发生的条件下(已知P(A)0)，事件B发生的概率称为条件概率，记为。,41,乘法公式（乘法定理）：,若P(A)0，则，即,同理，若P(B)0，则。,对称性,若P(A1A2An-1)0，则,42,例1：袋中有10个白球与90个黑球，现从中无放回地接连取3个球，求3个都是白球的概率。,例2：设某种动物从出生算起活20岁以上的概率为0.8，活25岁以上的概率为0.4，如果现在有一个20岁的动物，问它能活到25岁以上的概率为多少？,例3：抛一枚均匀分币2次，设Ai=第i次正面向上，i=1,2。求,。,43,例4：现有甲、乙两个品牌的外型完全一样的电池17只，甲牌有6只正品2只次品，乙牌有5只正品4只次品，从17只电池中任意取出1只，并设A“取到甲牌”，B“取到正品”，求，。,44,1.5条件概率与事件独立性（续）,一、条件概率与乘法公式,若P(B)0，则,二、全概率公式与贝叶斯公式,1、样本空间的划分,设为样本空间，事件A1,A2,An满足,A1,A2,An两两互不相容，即,则称A1,A2,An为样本空间的一个划分。,45,2、全概率公式,设A1,A2,An为样本空间的一个划分，P(Ai)0(i=1,2,n)，则对任一事件B，有,全概率公式,证明：,因为A1,A2,An两两互不相容，所以,46,例1：某项考试须由考生抽签答题。已知10只考签中有3只难签，被考生抽到的考签不再放回，现有甲、乙两人先后应考，求甲、乙各自抽到难签的概率。,例2：设有一箱同类型的产品由三家工厂所生产，已知其中有50的产品是第一家工厂所生产的，其它二厂各生产25。又知第一、第二两厂生产的有2是次品；第三家工厂生产的有4是次品。现从箱中任取一个产品，问拿到的是次品的概率为多少？,47,3、贝叶斯（Bayes）公式,设A1,A2,An为样本空间的一个划分，P(Ai)0(i=1,2,n)且P(B)0则有,贝叶斯公式,证明：因为,故由,以及,即得。,48,例3：发电报，A“发”，P(A)=0.6，“发”，。“发收”的概率为0.8；“发但收”的概率为0.2；“发但收”的概率为0.1；“发收”的概率为0.9。(1)令B“收到”，求P(B)；(2)现在收到，问“真是发”的概率。,49,三、事件独立性,1、两个事件A,B的独立性,定义：若事件A,B满足P(AB)=P(A)P(B)，称A与B独立。,定理：设A,B为事件且P(A)0，若A,B相互独立，则,P(B|A)=P(B)，即B发生与A是否发生无关，反之亦然；,A与；与B；与亦相互独立。,50,2、三个事件A,B,C的独立性,定义：设A,B,C是三个事件，若满足P(AB)=P(A)P(B)；P(AC)=P(A)P(C)；P(BC)=P(B)P(C)；P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则称A,B,C相互独立。,证：,若A,B,C相互独立，则一定两两独立；若A,B,C两两独立，则A,B,C不一定相互独立。,51,3、n个事件相互独立,定义：设A1,A2,An为n个事件，对于，任意满足,2n-n-1个等式,则称A1,A2,An相互独立。,此时记Bi为Ai或，则B1,B2,Bn相互独立。,A1,A2,An相互独立，反之不成立。,52,例4：甲、乙两射手独立地向目标射击，A“甲击中”，B“乙击中”，C“目标击中”，P(A)0.9，P(B)0.8，求P(C)。,例5：一个工人看三台布机，5分钟内第i台机床停车(i=1,2,3)的概率分别为0.4，0.5，0.7。设Ai=“第i台机床停车”，三台布机停车与否相互独立，求5分钟内恰有一台停车的概率。,53,4、可靠度,可靠度指元件能正常工作的概率。,设每个元件的可靠度为r，n个元件相互独立。,若串联：,独立积rn,若并联：,独立和1-(1-r)n,54,例8：已知事件A,B,C,D相互独立。A“a闭合”，B“b闭合”，C“c闭合”，D“d闭合”。P(A)P(B)P(C)P(D)0.5。,例9：某种彩票中奖面为36，某君一次购买了10张，求其中奖的概率。,求E“灯亮”的概率；已知灯亮，求开关a,b同时闭合的概率即求P(AB|E)。,a,b,c,d,