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一、向量向量组与矩阵,二、线性表示的概念及判定,三、线性相关性的概念及判定,四、线性相关性的有关结论,4.2线性相关与线性无关,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,例如,一、向量、向量组与矩阵,向量组,，称为矩阵A的行向量组,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,线性方程组,当,时，称为齐次线性方程组,当,不全为零时，称为非齐次线性方程组,线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应,定义,线性组合,二、线性表示的概念及判定,注意,定义3,三、线性相关性的概念及判定,则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关,证,定理1向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示,证明,充分性,设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.,即有,四、线性相关性的有关结论,故,因这个数不全为0，,故线性相关.,必要性,设线性相关，,则有不全为0的数使,因中至少有一个不为0，,不妨设则有,即能由其余向量线性表示.,证毕.,定理2向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量必能由向量组线性表示，且表示式是唯一的.,向量组中一部分向量构成的向量组，称为该向量组的子向量组.,定理3,定理4,.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；,.线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）,.线性相关与线性无关的判定方法：定义，四个定理（难点）,五、小结,作业：,P1131,3（1）,题型向量组的线性相关性的判断,方法一利用定义或结论判别,（1）两向量线性相关的充要条件是其分量成比例,（2）单独一个零向量组成的向量组线性相关；含有零向量的向量组必线性相关,（3）向量组线性无关，则该向量组的任何部分向量组必线性无关；向量组的部分向量组线性相关，则该向量组必线性相关。,（4）一向量组线性无关，则在相同位置增加相同个数的分量所得的向量组必线性无关；一向量组线性相关，则在相同位置上去掉相同个数的分量所得的向量组仍线性相关。,（5）任意n+1个n维向量必线性相关,方法二,题型判断向量能否由向量组线性表出,练习题,1、讨论下列向量组是线性相关还是线性无关,线性无关,线性相关,不能线性表出,
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