2019-2020年高二数学上学期第一次教研试卷（含解析）.doc

2019-2020年高二数学上学期第一次教研试卷（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1已知三点A（3，1）、B（2，k）、C（8，11）共线，则k的取值是2直线xy+1=0上一点P的横坐标是3，若该直线绕点P逆时针旋转90得直线l，则直线l的方程是3已知正三角形的边长为6，那么ABC的直观图ABC的面积是4设两点A（4，9），B（6，3），则以AB为直径的圆的方程为5直线l1x+2y4=0与l2：mx+（2m）y1=0平行，则实数m=6若m为任意实数，则直线（m+2）x+（m3）y+4=0必过定点7在空间四边形ABCD中，已知E、F分别为边AB和CD的中点，且EF=5，AD=6，BC=8，则AD与BC所成角的大小为8圆x2+y24x4y10=0上的点到直线x+y14=0的最大距离与最小距离之差是9过点A（4，1）的圆C与直线xy1=0相切于点B（2，1），则圆C的方程为10已知圆C：（xa）2+（ya）2=1（a0）与直线y=3x相交于P，Q两点，若PCQ=90，则实数a=11已知直线l过点P（1，2），且与以A（2，3）、B（3，0）为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围是12已知过点（2，5）的直线l被圆C：x2+y22x4y=0截得的弦长为4，则直线l的方程为13若对于给定的正实数k，函数f（x）=的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2，则k的取值范围是14如图，点A，B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB=2，若点A从（，0）移动到（，0），则AB中点D经过的路程为二、解答题（本大题共6小题，总分58分）15求经过点A（0，4），B（4，6）且圆心在直线x2y2=0上的圆的方程16如图，在正方体AC中，E，F，E，F分别是AD，AB，BC，DC的中点（1）求证：EFEF；（2）求直线AD与EF所成角的大小17已知实数x、y满足方程x2+y24x+1=0求（1）的最大值和最小值；（2）yx的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值18在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2+y28x+6=0，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆M相交于不同的两点A，B，线段AB的中点为N（1）求k的取值范围；（2）若ONMP，求k的值19在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=a（其中r和a均为常数，且0ra），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q（1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标20平面直角坐标系xoy中，直线xy+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由xx学年江苏省常州市新桥中学高二（上）第一次教研数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1已知三点A（3，1）、B（2，k）、C（8，11）共线，则k的取值是9考点： 三点共线专题： 平面向量及应用分析： 利用向量共线定理即可得出解答： 解：，三点A（3，1）、B（2，k）、C（8，11）共线，存在实数，使得，解得k=9故答案为9点评： 熟练掌握向量共线定理是解题的关键2直线xy+1=0上一点P的横坐标是3，若该直线绕点P逆时针旋转90得直线l，则直线l的方程是x+y7=0考点： 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系专题： 计算题分析： 由题意得 直线l过点（3，4），且与直线xy+1=0垂直，利用点斜式求得直线l的方程解答： 解：由题意得 直线l过点（3，4），且与直线xy+1=0垂直，故直线l的斜率为1，利用点斜式求得直线l的方程是y4=1（x3），即x+y7=0，故答案为 x+y7=0点评： 本题考查两直线垂直的性质，用点斜式直线方程3已知正三角形的边长为6，那么ABC的直观图ABC的面积是考点： 平面图形的直观图专题： 空间位置关系与距离分析： 按照斜二测画法规则画出直观图，进一步求直观图的面积即可解答： 解：如图、所示的实际图形和直观图由可知，AB=AB=6，OC=OC=，在图中作CDAB于D，则CD=OC=SABC=ABCD=6=，故答案为：点评： 本题考查水平放置的平面图形的直观图的画法，考查作图能力4设两点A（4，9），B（6，3），则以AB为直径的圆的方程为（x5）2+（y6）2=10考点： 圆的标准方程专题： 直线与圆分析： 设以AB为直径的圆的圆心为C（a，b），利用中点坐标公式即可得到a，b再利用两点间的距离公式可得圆的半径r=|AC|，进而得到圆的标准方程解答： 解：设以AB为直径的圆的圆心为C（a，b），则，解得a=5，b=6C（5，6）圆的半径r=|AC|=以AB为直径的圆的方程为（x5）2+（y6）2=10故答案为（x5）2+（y6）2=10点评： 本题考查了中点坐标公式、两点间的距离公式、圆的标准方程等基础知识与基本技能方法，属于基础题5直线l1x+2y4=0与l2：mx+（2m）y1=0平行，则实数m=考点： 直线的一般式方程与直线的平行关系专题： 直线与圆分析： 由直线的平行关系可得1（2m）2m=0，解之可得解答： 解：因为直线l1x+2y4=0与l2：mx+（2m）y1=0平行，所以1（2m）2m=0，解得m=故答案为：点评： 本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系，属基础题6若m为任意实数，则直线（m+2）x+（m3）y+4=0必过定点（，）考点： 恒过定点的直线专题： 直线与圆分析： 对于任意实数m，直线（m+2）x+（m3）y+4=0恒过定点，则与m的取值无关，则将方程转化为（x+y）m+（2x3y+4）=0让m的系数和常数项为零即可解答： 解：方程（m+2）x+（m3）y+4=0可化为（x+y）m+（2x3y+4）=0，对于任意实数m，当x+y=0且2x3y+4=0时，直线（m1）x+（2m1）y=m5恒过定点由 x+y=0且2x3y+4=0得：x=，y=故定点坐标是（，）故答案为：（，）点评： 本题通过恒过定点问题来考查学生方程转化的能力及直线系的理解7在空间四边形ABCD中，已知E、F分别为边AB和CD的中点，且EF=5，AD=6，BC=8，则AD与BC所成角的大小为90考点： 异面直线及其所成的角专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 取BD中点G，连接EG、FG，根据三角形中位线定理可证出EGF或其补角就是异面直线AD与BC所成角，在EFG中，利用勾股定理的逆定理，可得EGF=90，即得异面直线AD与BC所成角解答： 解：取BD中点G，连接EG、FGABD中，E、G分别为AB、BD的中点，EGAD且EG=同理可得FGBC，且FG=BC=4EG与FG所成的直角或锐角就是异面直线AD与BC所成角EFG中，EG=3，GF=4，EF=5EG2+FG2=EF2，得EGF=90即异面直线AD与BC所成角等于90故答案为：90点评： 本题给出特殊空间四边形，求相对的边所成的角，着重考查了三角形中位线定理、勾股定理的逆定理和异面直线所成角定义等知识，属于基础题8圆x2+y24x4y10=0上的点到直线x+y14=0的最大距离与最小距离之差是6考点： 直线与圆的位置关系专题： 计算题；数形结合分析： 把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，过圆心M作已知直线的垂线，与圆分别交于A和B点，垂足为C，由图形可知|AC|为圆上点到已知直线的最大距离，|BC|为圆上点到已知直线的最小距离，而|AC|BC|等于圆的直径，由圆的半径即可求出直径，即为最大距离与最小距离之差解答： 解：把圆的方程化为标准方程得：（x2）2+（y2）2=18，圆心M坐标为（2，2），半径|AM|=|BM|=3，过M作出直线x+y14=0的垂线，与圆M交于A、B两点，垂足为C，如图所示：由图形可得|AC|为圆上点到直线x+y14=0的最大距离，|BC|为圆上点到直线x+y14=0的最小距离，则最大距离与最小距离之差为|AC|BC|=|AB|=2|AM|=6故答案为：6点评： 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，利用了数形结合的思想，其中找出|AC|为圆上点到直线x+y14=0的最大距离，|BC|为圆上点到直线x+y14=0的最小距离是解本题的关键9过点A（4，1）的圆C与直线xy1=0相切于点B（2，1），则圆C的方程为（x3）2+y2=2考点： 圆的标准方程专题： 计算题；直线与圆分析： 求出直线xy1=0的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为1求出过点B的直径所在直线方程的斜率，求出此直线方程，根据直线方程设出圆心C坐标，根据|AC|=|BC|，利用两点间的距离公式列出方程，求出方程的解确定出C坐标，进而确定出半径，写出圆的方程即可解答： 解：直线xy1=0的斜率为1，过点B直径所在直线方程斜率为1，B（2，1），此直线方程为y1=（x2），即x+y3=0，设圆心C坐标为（a，3a），|AC|=|BC|，即=，解得：a=3，圆心C坐标为（3，0），半径为，则圆C方程为（x3）2+y2=2故答案为：（x3）2+y2=2点评： 此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：两点间的距离公式，两直线垂直时斜率满足的关系，求出圆心坐标与半径是解本题的关键10已知圆C：（xa）2+（ya）2=1（a0）与直线y=3x相交于P，Q两点，若PCQ=90，则实数a=考点： 直线与圆的位置关系专题： 直线与圆分析： 利用PCQ=90（d为圆心C到直线y=3x的距离）即可得出解答： 解：设圆心C到直线y=3x的距离为d，PCQ=90，=，又a0，解得a=故答案为点评： 正确得出PCQ=90（d为圆心C到直线y=3x的距离）是解题的关键11已知直线l过点P（1，2），且与以A（2，3）、B（3，0）为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围是（，5，+）考点： 直线的斜率专题： 计算题；直线与圆分析： 先由A、B、P的坐标求得直线AP和BP的斜率，再根据直线l的倾斜角为锐角或钝角加以讨论，将直线l绕P点旋转并观察倾斜角的变化，由直线的斜率公式加以计算，分别得到直线l斜率的范围，最后综合可得答案解答： 解：点P（1，2）、A（2，3），直线AP的斜率k1=5同理可得直线BP的斜率k2=设直线l与线段AB交于M点，当直线的倾斜角为锐角时，随着M从A向B移动的过程中，l的倾斜角变大，l的斜率也变大，直到PM平行y轴时l的斜率不存在，此时l的斜率k5；当直线的倾斜角为钝角时，随着l的倾斜角变大，l的斜率从负无穷增大到直线BP的斜率，此时l的斜率k综上所述，可得直线l的斜率取值范围为：（，5，+）故答案为：（，5，+）点评： 本题给出经过定点P的直线l与线段AB有公共点，求l的斜率取值范围着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识，属于中档题12已知过点（2，5）的直线l被圆C：x2+y22x4y=0截得的弦长为4，则直线l的方程为x2=0或4x3y+7=0考点： 直线与圆的位置关系专题： 计算题；直线与圆分析： 求出圆的圆心与半径，利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出所求直线的斜率，然后求出直线方程解答： 解：圆C：x2+y22x4y=0的圆心坐标（1，2），半径为，过点（2，5）的直线l被圆C：x2+y22x4y=0截得的弦长为4，圆心到所求直线的距离为：1，设所求的直线的向量为k，所求直线为：y5=k（x2）即kxy2k+5=0，=1，解得k=，所求直线方程为：4x3y+7=0，当直线的斜率不存在时，直线方程为x2=0，满足圆心到直线的距离为1所求直线方程为：x2=0或4x3y+7=0故答案为：x2=0或4x3y+7=0点评： 本题考查直线与圆的位置关系，弦心距与半径以及半弦长的关系，考查计算能力13若对于给定的正实数k，函数f（x）=的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2，则k的取值范围是（0，）考点： 圆方程的综合应用专题： 综合题；直线与圆分析： 根据题意得：以C为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，2为半径的圆有两个交点，即C到原点距离小于3，即f（x）的图象上离原点最近的点到原点的距离小于3，设出C坐标，利用两点间的距离公式表示出C到原点的距离，利用基本不等式求出距离的最小值，让最小值小于3列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围解答： 解：根据题意得：|OC|1+2=3，设C（x，），|OC|=，3，即0k，则k的范围为（0，）故答案为：（0，）点评： 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆与圆位置关系的判定，基本不等式的运用，以及两点间的距离公式，解题的关键是根据题意得出以C为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，2为半径的圆有两个交点，即C到原点距离小于314如图，点A，B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB=2，若点A从（，0）移动到（，0），则AB中点D经过的路程为考点： 弧长公式分析： 首先设出求出中点的轨迹是以原点为圆心半径为1的圆，然后求出点D和点D的坐标，再由弧长公式得出结果解答： 解：设AB的中点为O（x，y），则A（2x，0），B（0，2y）AB=2（2x）2+（2y）2=4 即x2+y2=1所以中点是以原点为圆心半径为1的圆点A从（，0）移动到（，0），D（，） D（，） tanDOA=1 tanDOA=DOD=为中点走过的路径l=1=故答案为：点评： 此题考查了轨迹方程的求法以及弧长公式的运用，求出中点的轨迹是解题的关键，属于中档题二、解答题（本大题共6小题，总分58分）15求经过点A（0，4），B（4，6）且圆心在直线x2y2=0上的圆的方程考点： 圆的标准方程专题： 计算题；直线与圆分析： 设圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，可得方程组，即可求出圆的方程解答： 解：设圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则可得D=8，E=2，F=8，所以所求方程为x2+y28x2y8=0点评： 本题给出圆的圆心在定直线上，在圆经过两个定点的情况下求圆的方程着重考查了圆的标准方程及其应用的知识，属于基础题16如图，在正方体AC中，E，F，E，F分别是AD，AB，BC，DC的中点（1）求证：EFEF；（2）求直线AD与EF所成角的大小考点： 异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系专题： 计算题；空间位置关系与距离；空间角分析： （1）利用三角形中位线的性质，结合BDBD，可得结论；（2）证明ADB是直线AD与EF所成角，可求直线AD与EF所成角的大小解答： （1）证明：连接BD，BD，则，E，F，E，F分别是AD，AB，BC，DC的中点，EFBD，EFBD，BDBD，EFEF；（2）解：连接AB，则EFBD，ADB是直线AD与EF所成角，ADB是等边三角形，ADB=60，即直线AD与EF所成角是60点评： 本题考查直线与直线平行的证明，考查直线AD与EF所成角，考查学生分析解决问题的能力，比较基础17已知实数x、y满足方程x2+y24x+1=0求（1）的最大值和最小值；（2）yx的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值考点： 圆方程的综合应用专题： 计算题；数形结合分析： （1）整理方程可知，方程表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆，设=k，进而根据圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值（2）设yx=b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值进而利用点到直线的距离求得yx的最小值；（3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C，进而可知x2+y2的最大值和最小值分别为|OC|和|OB|，答案可得解答： 解：（1）如图，方程x2+y24x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆设=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值由=，解得k2=3所以kmax=，kmin=（2）设yx=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值由点到直线的距离公式，得=，即b=2，故（yx）min=2（3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C，可知B到原点的距离最近，点C到原点的距离最大，此时有OB=2，OC=2+，则（x2+y2）max=|OC|2=7+4，（x2+y2）min=|OB|2=74点评： 本题主要考查了圆的方程的综合运用考查了学生转化和化归的思想和数形结合的思想18在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2+y28x+6=0，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆M相交于不同的两点A，B，线段AB的中点为N（1）求k的取值范围；（2）若ONMP，求k的值考点： 直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式专题： 计算题；直线与圆分析： （1）求出已知圆的圆心与半径，设直线方程为y=kx+2根据直线与圆M相交，利用点到直线的距离公式建立关于k的不等式，解之可得实数k的取值范围；（2）由平行直线的斜率相等，得到直线ON的方程为，与y=kx+2联解得到交点，由圆的性质得MNAB，建立关于k的方程，解之即可得到实数k的值解答： 解：（1）设已知直线方程为y=kx+2，即kxy+2=0，将圆的方程化为（x4）2+y2=10，可得圆心为M（4，0）、半径r=直线与圆M相交于不同的两点A、B，圆心M到直线的距离小于半径，即，化简得（4k+2）210（k2+1），解得（2）ONMP，且MP斜率为，直线ON的斜率也等于，可得ON的方程为，由，解得，可得，又N是AB中点，由圆的性质，得MNAB，由此可得，解之得，即当ONMP时，实数k的值等于点评： 本题给出经过定点的直线与圆相交，求参数k的取值范围，并在满足两直线平行的情况下求k值着重考查了直线的基本量与基本形式、圆的标准方程、直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式等知识，考查了学生的逻辑推理能力与计算能力，考查了函数方程与数形结合的数学思想，属于中档题19在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=a（其中r和a均为常数，且0ra），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q（1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标考点： 直线与圆的位置关系；恒过定点的直线专题： 计算题；直线与圆分析： （1）通过r=2，M点的坐标为（4，2），求出A1（2，0），A2（2，0）然后推出P、Q坐标，即可求直线PQ方程；（2）证明法一：设A1（r，0），A2（r，0）设M（a，t），求出直线MA1的方程，直线MA1的方程，通过直线与圆的方程联立，求出直线PQ的方程，然后说明经过定点，求定点的坐标法二：设得A1（r，0），A2（r，0）设M（a，t），求出直线MA1的方程，与圆C的交点P设为P（x1，y1）求出直线MA2的方程，与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线（a+r）yt（x+r）（ar）yt（xr）=0上，有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，求出公共弦方程，说明经过定点，求定点的坐标解答： 解：（1）当r=2，M（4，2），则A1（2，0），A2（2，0）直线MA1的方程：x3y+2=0，解得（2分）直线MA2的方程：xy2=0，解得Q（0，2） （4分）由两点式，得直线PQ方程为：2xy2=0 （6分）（2）证法一：由题设得A1（r，0），A2（r，0）设M（a，t），直线MA1的方程是：y=（x+r），直线MA2的方程是：y=（xr）（8分）解得（10分）解得 （12分）于是直线PQ的斜率kPQ=，直线PQ的方程为 （14分）上式中令y=0，得x=，是一个与t无关的常数故直线PQ过定点 （16分）证法二：由题设得A1（r，0），A2（r，0）设M（a，t），直线MA1的方程是：y=（x+r），与圆C的交点P设为P（x1，y1）直线MA2的方程是：y=（xr）；与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）则点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线（a+r）yt（x+r）（ar）yt（xr）=0上，（10分）化简得 （a2r2）y22ty（axr2）+t2（x2r2）=0 又有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，圆C：x2+y2r2=0t2得 （a2r2）y22ty（axr2）t2（x2r2）t2（ x2+y2r2）=0，化简得：（a2r2）y2t（axr2）t2 y=0所以直线PQ的方程为（a2r2）y2t（axr2）t2 y=0 （14分）在中令y=0得 x=，故直线PQ过定点（16分）点评： 本题考查直线与圆的位置关系，直线系方程的应用，考查计算能力与转化思想20平面直角坐标系xoy中，直线xy+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由考点： 直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质专题： 综合题分析： （1）求出O点到直线xy+1=0的距离，进而可求圆O的半径，即可得到圆O的方程；（2）设直线l的方程，利用直线l与圆O相切，及基本不等式，可求DE长最小时，直线l的方程；（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，y1），求出直线MP、NP分别与x轴的交点，进而可求mn的值解答： 解：（1）因为O点到直线xy+1=0的距离为，（2分）所以圆O的半径为，故圆O的方程为x2+y2=2 （4分）（2）设直线l的方程为，即bx+ayab=0，由直线l与圆O相切，得，即，（6分），当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l的方程为x+y2=0（10分）（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，y1），直线MP与x轴交点，直线NP与x轴交点，（14分）=2，故mn为定值2 （16分）点评： 本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查学生的运算能力，属于中档题