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2019年高考数学一轮复习 8-2直接证明与间接证明检测试题(1)文1xx湖南已知数列an的各项均为正数,记A(n)a1a2an,B(n)a2a3an1,C(n)a3a4an2,n1,2,.(1)若a11,a25,且对任意nN*,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列an的通项公式;(2)证明:数列an 是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意nN*,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列解析:(1)对任意nN*,三个数A(n),B(n),C(n)是等差数列,所以B(n)A(n)C(n)B(n),即an1a1an2a2,亦即an2an1a2a14.故数列an是首项为1,公差为4的等差数列于是an1(n1)44n3.(2)必要性:若数列an是公比为q的等比数列,则对任意nN*,有an1anq.由an0知,A(n),B(n),C(n)均大于0,于是q,q,即q.所以三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列充分性:若对任意nN*,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列,则B(n)qA(n),C(n)qB(n)于是C(n)B(n)qB(n)A(n),得an2a2q(an1a1),即an2qan1a2qa1.由n1有B(1)qA(1),即a2qa1,从而an2qan10.因为an0,所以q.故数列an是首项为a1,公比为q的等比数列综上所述,数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意nN*,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列答案:(1)an4n3;(2)证明略2xx北京给定数列a1,a2,an.对i1,2,n1,该数列的前i项的最大值记为Ai,后ni项ai1,ai2,an的最小值记为Bi,diAiBi.(1)设数列an为3,4,7,1,写出d1,d2,d3的值;(2)设a1,a2,an(n4)是公比大于1的等比数列,且a10.证明:d1,d2,dn1是等比数列;(3)设d1,d2,dn1是公差大于0的等差数列,且d10,证明:a1,a2,an1是等差数列解析:(1)d12,d23,d36.(2)证明:因为a10,公比q1,所以a1,a2,an是递增数列因此,对i1,2,n1,Aiai,Biai1.于是对i1,2,n1,diAiBiaiai1a1(1q)qi1.因此di0,且q(i1,2,n2),即d1,d2,dn1是等比数列(3)证明:设d为d1,d2,dn1的公差对1in2,因为BiBi1,d0,所以Ai1Bi1di1BididBidiAi.又因为Ai1maxAi,ai1,所以ai1Ai1Aiai.从而a1,a2,an1是递增数列因此Aiai(i1,2,n1)又因为B1A1d1a1d1a1,所以B1a1a2an1.因此anB1.所以B1B2Bn1an.所以aiAiBidiandi.因此对i1,2,n2都有ai1aidi1did,即a1,a2,an1是等差数列答案:(1)d12,d23,d36;(2)证明略;(3)证明略
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