2019-2020年高中数学 1.3.1函数的最大（小）值同步讲练 新人教版必修1.doc

2019-2020年高中数学 1.3.1函数的最大（小）值同步讲练 新人教版必修1学习目标展示1. 理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义；2. 会由函数的单调性及函数的图象求函数的最值；3. 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值衔接性知识1. 已知函数是增函数，则实数的取值范围是；是减函数，则实数的取值范围是2. 函数增区间为，减区间为3. 画出函数的图象并写出函数的单调区间解：，将的图象先向左平移个单位，然后再向上平移个单位就得到了的图象由图象可知，在与上均递增，所以单调增区间为和基础知识工具箱要点定义符号最大值设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得。那么称是函数的最大值最小值设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得那么，称是函数的最大值函数的单调性与最值如果函数在区间上单调递增，则函数，；如果函数在区间上单调递减，则函数，恒成立问题恒成立；恒成立二次函数在闭区间上的最值对于二次函数在区间上最值问题，有以下结论：若，则，若，则， 时可仿此讨论典例精讲剖析例1. 一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：房价（元）住房率（%）16055140651207510085欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：设为旅馆一天的客房总收入，为与房价160相比降低的房价，因此当房价为元时，住房率为.于是得由已知，得，解得所以当=25时取得最大值（元），此时房价定位应是16025=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）所以该客房定价应为135元例2.已知函数（1）判断的单调性，并证明；（2）求的最大值与最小值解：（1），由在递减，可知在递减。证明如下：设，则 由，得，所以即，从而在递减（2）由（1）知，在递减所以的最小值，的最大值例3. 已知函数，若对任意，恒成立，试求实数的取值范围解：对任意有恒成立对任意恒成立对任意恒成立，设，则而，由的图象可知，在上是减函数当时，于是当且仅当时，函数f (x)0恒成立，即实数的取值范围为.例4.已知函数 （1）若，求的最小值；（2）若，求的最小值；（3）若，求的最小值；（4）若时，的最小值为，求的表达式解：，对称轴，的图象如图：（1）若，则在上递减，的最小值为；（2）若，则在上递减，在上递减，所以的最小值为；（3）若，则在上递增，的最小值为；（4）当即时，在上递减，的最小值为.当时，在上递增，的最小值为.当即时，则在上递减，在上递减，所以的最小值为，从而的表达式为 精练部分A类试题（普通班用）1. 函数y(x2)的值域是()A2，) B(，2 Cy|yR且y2 Dy|yR且y3答案D解析y3，由于0，y3，故选D.2已知函数f(x)(x2，)，(1)证明函数f(x)为增函数(2)求f(x)的最小值解析将函数式化为：f(x)x2(1)任取x1，x22，)，且x1x2，f(x1)f(x2)(x1x2)(1)x1x2，x1x20，又x12，x22，x1x24,10.f(x1)f(x2)0，即：f(x1)f(x2)故f(x)在2，)上是增函数(2)当x2时，f(x)有最小值3求函数f(x)x2|x|的单调区间并求函数yf(x)在1,2上的最大、小值解析由于函数解析式含有绝对值符号，因此先去掉绝对值符号化为分段函数，然后作出其图象，由图象便可以直观地判断出其单调区间再据图象求出最值（1）f(x)x2|x|即f(x)作出其在1,2上的图象如右图所示由图象可知，f(x)的递增区间为(，)和0，递减区间为，0和，)（2）由图象知：当x或时，f(x)max，当x2时，f(x)min24已知，对于函数，若定义域与值域均为,求的值解：函数的图象是开口方向向上，顶点坐标是(1,1)，对称轴是的抛物线因此，当时，是增函数当时，取最大值，故，即,整理得，解得或.,5.某公司生产一种电子仪器的固定成本为xx0元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)其中x是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)解析(1)设月产量为x台，则总成本为u(x)xx0100x，从而f(x)R(x)u(x)，即f(x)(2)当0x400时，f(x)(x300)225000，当x300时，有最大值25 000；当x400时，f(x)60000100x是减函数，f(x)6000010040020 000.当x300时，f(x)的最大值为25 000.B类试题（3+3+4）（尖子班用）1函数f(x)，则f(x)的最大值、最小值分别为()A10,6 B10,8 C8,6 D以上都不对答案A解析分段函数的最大值为各段上最大值中的最大者，最小值为各段上最小值中的最小者当1x2时，82x610，当1x1时，6x78.f(x)minf(1)6，f(x)maxf(2)10.故选A.2. 函数y(x2)的值域是()A2，) B(，2 Cy|yR且y2 Dy|yR且y3答案D解析y3，由于0，y3，故选D.3已知函数f(x)x2bxc的图象的对称轴为直线x1，则()Af(1)f(1)f(2) Bf(1)f(2)f(1) Cf(2)f(1)f(1) Df(1)f(1)f(2)答案B解析因为二次函数图象的对称轴为直线x1，所以f(1)f(3)又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，知f(x)在区间1，)上为增函数，故f(1)f(2)f(3)f(1)故选B.4. 函数y|x3|x1|有的最大值 ，最小值 解析y|x3|x1|，画出函数的图象，可知y4,4，从而最大值为，最小值为5. 函数yx210x11在区间1,2上的最小值是_答案13解析函数yx210x11(x5)236在1,2上为减函数，当x2时，ymin13.6. 已知二次函数在区间2,3上的最大值为6，则的值为_答案或解析，对称轴，当时，图象开口向上，在2,3上的最大值为，所以；当时，图象开口向下，在2,3上的最大值为，所以7.已知函数f(x)(x2，)，(1)证明函数f(x)为增函数(2)求f(x)的最小值解析将函数式化为：f(x)x2(1)任取x1，x22，)，且x1x2，f(x1)f(x2)(x1x2)(1)x1x2，x1x20，又x12，x22，x1x24,10.f(x1)f(x2)0，即：f(x1)f(x2)故f(x)在2，)上是增函数(2)当x2时，f(x)有最小值.8. 求函数f(x)x2|x|的单调区间并求函数yf(x)在1,2上的最大、小值解析由于函数解析式含有绝对值符号，因此先去掉绝对值符号化为分段函数，然后作出其图象，由图象便可以直观地判断出其单调区间再据图象求出最值（1）f(x)x2|x|即f(x)作出其在1,2上的图象如右图所示由图象可知，f(x)的递增区间为(，)和0，递减区间为，0和，)（2）由图象知：当x或时，f(x)max，当x2时，f(x)min2.9. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为xx0元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)其中x是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)解析(1)设月产量为x台，则总成本为u(x)xx0100x，从而f(x)R(x)u(x)，即f(x)(2)当0x400时，f(x)(x300)225000，当x300时，有最大值25 000；当x400时，f(x)60000100x是减函数，f(x)6000010040020 000.当x300时，f(x)的最大值为25 000.10. 已知，对于函数，若定义域与值域均为,求的值解：函数的图象是开口方向向上，顶点坐标是(1,1)，对称轴是的抛物线因此，当时，是增函数当时，取最大值，故，即,整理得，解得或.,