资源描述
导函数的“隐零点”问题,知识拓展利用导数解决函数问题常与函数单调性的判断有关,而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系,按导函数零点能否求精确解可以分为两类:一类是数值上能精确求解的,称之为“显零点”;另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,称之为“隐零点”.对于隐零点问题,由于涉及灵活的代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧,对学生综合能力的要求较高,成为考查的难点.,题型突破题型一函数最值中的“隐零点”【例1】设函数f(x)e2xalnx.(a为大于零的常数),已知f(x)0有唯一零点,求f(x)的最小值.,设f(x)在(0,)上的唯一零点为x0,当x(0,x0)时,f(x)0;当x(x0,)时,f(x)0.故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,)上单调递增,所以当xx0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).,(1)解f(x)的定义域为(,2)(2,).,当且仅当x0时,f(x)0,所以f(x)在(,2),(2,)单调递增.因此当x(0,)时,f(x)f(0)1.所以(x2)ex(x2),即(x2)exx20.,由(1)知,f(x)a单调递增,对任意a0,1),f(0)aa1xa时,f(x)a0,g(x)0,g(x)单调递增.,所以,由xa(0,2,,题型二不等式证明中的“隐零点”【例2】(2017全国卷)已知函数f(x)ax2axxlnx,且f(x)0.(1)求a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e2f(e1)e2.所以e20,f(x)x2xex2.(1)解函数f(x)的定义域为(0,),,当a0时,f(x)0对任意的x(0,)恒成立,所以函数f(x)单调递增;,(2)证明当a1时,f(x)x2xlnx,只需证明exlnx20,设g(x)exlnx2(x0),,当x变化时,g(x)和g(x)变化情况如下表,因为x00,且x01,,(1)解f(x)的定义域为(0,),,()若a2,则f(x)0,当且仅当a2,x1时f(x)0,所以f(x)在(0,)上单调递减.,()若a2,令f(x)0得,,(2)证明由(1)知,f(x)存在两个极值点时,当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2ax10,所以x1x21,不妨设x11.,又g(1)0,从而当x(1,)时,g(x)0且g(2)a0,即0a2.考虑到x1,x2是方程2x24xa0的两根.,(x1x2)22x1x2aln2(x1x2)x1x24,其中0a0),h(a)4,a2,h(a)2,所以h(a)的值域为(2,4).综上所述f(x1)f(x2)的取值范围是(2,4).,
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