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专题突破二离心率的求法,第二章圆锥曲线与方程,一、以渐近线为指向求离心率例1已知双曲线两渐近线的夹角为60，则双曲线的离心率为_.,思维切入双曲线的两渐近线有两种情况，焦点位置也有两种情况，分别讨论即可.,解析由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况.当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60，如图1所示；若其中一条渐近线的倾斜角为30，如图2所示.,跟踪训练1中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，2)，则它的离心率为,二、以焦点三角形为指向求离心率例2如图，F1和F2分别是双曲线(a0，b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为_.,思维切入连接AF1，在F1AF2中利用双曲线的定义可求解.,解析方法一如图，连接AF1，由F2AB是等边三角形，知AF2F130.易知AF1F2为直角三角形，,方法二如图，连接AF1，易得F1AF290，F1F2A30，F2F1A60，,点评涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义求得的值.,解析方法一如图，在RtPF2F1中，PF1F230，|F1F2|2c，,|PF1|PF2|2a，,方法二(特殊值法)：在RtPF2F1中，令|PF2|1，PF1F230，,三、寻求齐次方程求离心率例3已知双曲线E：(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_.,思维切入通过2|AB|3|BC|，得到a，b，c的关系式，再由b2c2a2，得到a和c的关系式，同时除以a2，即可得到关于e的一元二次方程，求得e.,2,|BC|2c.又2|AB|3|BC|，,即2b23ac，2(c2a2)3ac，两边同除以a2并整理得2e23e20，解得e2(负值舍去).,点评求圆锥曲线的离心率，就是求a和c的值或a和c的关系，然后根据离心率的定义求得.但在多数情况下，由于受到题目已知条件的限制，很难或不可能求出a和c的值，只能将条件整理成关于a和c的关系式，进而求得的值，其关键是善于利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2a2b2，化简为参数a，c的关系式进行求解.,跟踪训练3已知椭圆(ab0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且ABBF，则椭圆的离心率为_.,由ABBF得|AB|2|BF|2|AF|2，将b2a2c2代入，得a2acc20，,四、利用直线与圆锥曲线的位置关系求离心率的取值范围,2，),故离心率e的取值范围是2，).,由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1a20a21，且此时4a2(2a2)0a22，所以a2(0,1)(1,2).,五、利用焦半径的性质求离心率的取值范围,又因为点P在椭圆上，所以|PF1|PF2|2a.,又ac0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_.,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,6.已知双曲线(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线的左支上，且|MF2|7|MF1|，则此双曲线的离心率的最大值为_.,1,2,3,4,5,解析因为|MF2|7|MF1|，所以|MF2|MF1|6|MF1|，即2a6|MF1|6(ca)，故8a6c，,当且仅当M为双曲线的左顶点时，等号成立.,6,7,7.已知椭圆C：(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，线段PF2与圆：x2y2b2相切于点Q，若Q是线段PF2的中点，e为C的离心率，则的最小值是_.,1,2,3,4,5,6,7,解析如图，连接PF1，OQ，由OQ为PF1F2的中位线，,由圆x2y2b2，可得|OQ|b，则|PF1|2b.由椭圆的定义可得|PF1|PF2|2a，即|PF2|2a2b.又OQPF2，所以PF1PF2，即(2b)2(2a2b)2(2c)2，即b2a22abb2c2a2b2，,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,
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