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第二章3双曲线,3.1双曲线及其标准方程,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PARTONE,知识点一双曲线的定义1.平面内到两个定点F1，F2的距离之差的等于非零常数(小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的.2.关于“小于|F1F2|”：若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的(包括端点)；若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在.3.若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的.4.若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是.,绝对值,这两个定点,焦距,两条射线,一支,线段F1F2的中垂线,知识点二双曲线的标准方程1.双曲线两种形式的标准方程,F1(0，c)，F2(0，c),F1(c,0)，F2(c,0),a2b2c2,_,_,2.焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在上；若y2项的系数为正，则焦点在上.3.双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2By21(AB0).4.标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，注意这里的b2与椭圆中的b2相区别.,x轴,y轴,c2a2,a2c2,1.平面内到两定点距离的差的绝对值等于常数的点的集合是双曲线.()2.平面内到两定点的距离之差等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线.(),思考辨析判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PARTTWO,题型一求双曲线的标准方程,例1求适合下列条件的双曲线的标准方程.,解当焦点在x轴上时，,当焦点在y轴上时，,把A点的坐标代入，得b29，,解设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，双曲线经过点(3,0)，(6，3)，,(2)经过点(3,0)，(6，3).,反思感悟求双曲线方程的方法(1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似，也是“先定型，后定量”，利用待定系数法求解.(2)当焦点位置不确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论.(3)当已知双曲线经过两点，求双曲线的标准方程时，把双曲线方程设成mx2ny21(mn0)的形式求解.,跟踪训练1根据下列条件，求双曲线的标准方程.,双曲线经过点(5,2)，,A.(2，1)B.(2，)C.(，1)D.(，2)(1，),题型二由双曲线的标准方程求参数,解析由题意可知，(2m)(m1)0，21，k210，k10.方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.,题型三双曲线的定义及应用,解析由双曲线的定义，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a.又|AF2|BF2|AB|，所以ABF1的周长为|AF1|BF1|AB|4a2|AB|4a2m.,4a2m,解析由已知得2a2，又由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2，因为|PF1|PF2|32，所以|PF1|6，|PF2|4.,12,所以F1PF2为直角三角形.,引申探究本例(2)中，若将“|PF1|PF2|32”改为“|PF1|PF2|24”，求PF1F2的面积.,因为|PF1|PF2|24，,所以PF1F2为直角三角形.,(1)方法一：根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值；,特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1|PF2|2a的变形使用，特别是与|PF1|2|PF2|2，|PF1|PF2|之间的关系.,跟踪训练3已知F1，F2分别为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|等于A.1B.4C.6D.8,解析设|PF1|m，|PF2|n，由余弦定理得|F1F2|2m2n22mncosF1PF2，即m2n2mn8，(mn)2mn8，mn4，即|PF1|PF2|4.,典例已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.,核心素养之直观想象,HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG,由双曲线的定义求轨迹方程,解析如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，,即|MC2|MC1|2，这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2且20且k20，3k0,0a24，且4a2a2，可解得a1.,1,2,3,4,5,1,5.根据下列条件，求双曲线的标准方程.,解得k4或k14(舍去)，,1,2,3,4,5,(2)经过点(3,0)，(6，3).,解设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，双曲线经过点(3,0)，(6，3)，,1,2,3,4,5,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.双曲线定义中|PF1|PF2|2a(2ab不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2.3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解.,
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