2019-2020年高三数学10月月考试题 理（含解析）.doc

2019-2020年高三数学10月月考试题 理（含解析）【试卷综析】试卷全面考查了考试说明中要求的内容，如复数、旋转体、简易逻辑试卷都有所考查。在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识.明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向.注重考查数学的各种思想和能力 函数与方程的思想、变换的思想、充分体现，挖掘考生的各项数学能力、体现宽口径，多角度的命题思路.第卷一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卡上)【题文】1已知集合A=，集合B为整数集，则AB=（ ） A. B. C. D.【知识点】交集及其运算A1【答案解析】D解析：解：由（x+1）（x+2）0，得1x2，A=x|（x+1）（x+2）0=x|1x2，又B为整数集，则AB=1，0，1，2故选：D【思路点拨】求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用交集运算得答案【题文】2为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ） A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度 【知识点】函数y=Asin（x+）的图象变换 C4【答案解析】A解析：解：因为函数y=cos（2x+1）=cos2（x+），所以要得到函数y=cos（2x+1）的图象，只要将函数y=cos2x 的图象向左平移个单位故选A【思路点拨】化简函数y=cos（2x+1），然后直接利用平移原则，推出平移的单位与方向即可【题文】3已知，其中是虚数单位，那么实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D.【知识点】复数代数形式的乘除运算【答案解析】C 解析：解：（ai）2=2i，a212ai=2i，解得a=1故选：C【思路点拨】利用复数的运算法则、复数相等即可得出【题文】4若则一定有（ ） A. B. C. D.【知识点】不等式比较大小；不等关系与不等式 E1【答案解析】D 解析：解：不妨令a=3，b=1，c=3，d=1，则，A、B不正确；，=，C不正确，D正确故选：D【思路点拨】利用特例法，判断选项即可【题文】5若是的对称轴，则的初相是（ ） A. B. C. D.【知识点】两角和与差的正弦函数C5【答案解析】C解析：解：已知x=是f（x）=cosx+asinx的对称轴，所以cos（）+asin（）=，解得：a=，则：f（x）=cosxsinx=2sin（x+），故选：C【思路点拨】首先根据函数的对称轴建立关于a的方程求出a值，进一步对f（x）=cosx+asinx的关系进行恒等变换，整理成f（x）=2sin（x+）的形式，最后求出结果【题文】6已知数列的前项和，则数列（ ） A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或者是等差数列，或者是等比数列 D.既不可能是等差数列，也不可能是等比数列【知识点】等比关系的确定 D5【答案解析】C 解析：解：当a=1时，Sn=0，且a1=a1=0，an=SnSn1=（an1）（an11）=0，（n1）an1=Sn1Sn2=（an11）（an21）=0，anan1=0，数列an是等差数列当a1时，a1=a1，an=SnSn1=（an1）（an11）=anan1，（n1）an1=Sn1Sn2=（an11）（an21）=an1an2，（n2），（n2）数列an是等比数列综上所述，数列an或是等差数列或是等比数列故选C【思路点拨】由题意可知，当a=1时，Sn=0，判断数列是否是等差数列；当a1时，利用 ，判断数列an是等差数列还是等比数列【题文】7如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ） A. B. C. D.【知识点】众数、中位数、平均数；茎叶图 K8【答案解析】C 解析：解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩=90设污损数字为X，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩=88.4+当X=8或9时，即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为=则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率P=1=故选C【思路点拨】由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两人的平均成绩，然后求出即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率，进而根据对立事件减法公式得到答案【题文】8某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于 37，则输入的整数i的最大值为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【知识点】循环结构 L2【答案解析】C 解析：解：经过第一次循环得到S=2，n=1，经过第二次循环得到S=5，n=2，经过第三次循环得到S=10，n=3，经过第四次循环得到S=19，n=4，经过第五次循环得到S=36，n=5，经过第六次循环得到S=69，n=6，输出的结果不大于37n的最大值为4i的最大值为5故选B【思路点拨】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，据题目对输出s的要求，求出n的最大值，据判断框中n与i的关系求出i的最大值【题文】9用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=。若A=1,2B=，且A*B=1，设实数的所有可能取值集合是S，则C(S)=（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【知识点】集合的确定性、互异性、无序性 A1【答案解析】B 解析：解：由于（x2+ax）（x2+ax+2）=0等价于x2+ax=0 或x2+ax+2=0 ，又由A=1，2，且A*B=1，集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，1集合B是单元素集合，则方程有两相等实根，无实数根，a=0；2集合B是三元素集合，则方程有两不相等实根，有两个相等且异于的实数根，即，解得a=2，综上所述a=0或a=2，C（S）=3故答案为 B【思路点拨】根据A=1，2，B=x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0，且A*B=1，可知集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，然后对方程|x2+ax+1|=1的根的个数进行讨论，即可求得a的所有可能值，进而可求C（S）【题文】10如图所示，等边ABC的边长为2，D为AC中点，且ADE也是等边三角形，在ADE以点A为中心向下转动到稳定位置的过程中，的取值范围是（ ） A. B. C. D.【知识点】平面向量数量积的运算 F3【答案解析】A解析：解：设BAD=，（0），则CAE=，则=（）（）=+=11cos12cos（）21cos（）+22cos=2（cos+sin+cossin）=2cos，由于0，则cos1，则2cos故选：A【思路点拨】设BAD=，（0），则CAE=，则=（）（），将其展开，运用向量的数量积的定义，再由两角和差的余弦公式，化简得到2cos，再由余弦函数的性质，即可得到范围第卷二填空题（本大题5个小题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卡上）【题文】11等比数列的前项和为，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则数列的公比为_。【知识点】等比数列的性质 D3【答案解析】解析：解：等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，an=a1qn1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解故答案为【思路点拨】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比赛数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q【题文】12已知函数则满足不等式的取值范围是 。【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法 B1,E8【答案解析】 解析：解：由题意，可得故答案为：【思路点拨】由题意f（x）在0，+）上是增函数，而x0时，f（x）=1，故满足不等式f（1x2）f（2x）的x需满足，解出x即可【题文】13已知直线l过点，且与曲线相切，则直线的方程为 。【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程 B11【答案解析】xy1=0解析：解：f（x）=xlnx，函数的导数为f（x）=1+lnx，设切点坐标为（x0，x0lnx0），f（x）=xlnx在（x0，x0lnx0）处的切线方程为yx0lnx0=（lnx0+1）（xx0），切线l过点（0，1），1x0lnx0=（lnx0+1）（x0），解得x0=1，直线l的方程为：y=x1即直线方程为xy1=0，故答案为：xy1=0【思路点拨】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式求出切线方程，代入点（0，1），解方程即可得到结论【题文】14设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若MN=240，则N = 。【知识点】二项式系数的性质 J3【答案解析】4 解析：解：各项系数之和为M=4n，二项式系数之和为N=2n，MN=240=4n2n，n=4故答案为：4【思路点拨】由于各项系数之和为M=4n，二项式系数之和为N=2n，MN=240=4n2n，解方程求得 n 的值【题文】15已知函数的定义域为，部分对应值如下表：0451221 的导函数的图象如图所示，下列关于的命题：函数是周期函数；函数在0,2上是减函数；如果当时，的最大值是2，那么的最大值是4；当时，函数有4个零点；函数的零点个数可能为0，1，2，3，4。其中正确命题的序号是_（写出所有正确命题的序号）。【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的周期性；函数的零点；利用导数研究函数的单调性 B9,B11【答案解析】 解析：解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图：由图得：为假命题函数f（x）不能断定为是周期函数为真命题，因为在0，2上导函数为负，故原函数递减；为假命题，当t=5时，也满足x1，t时，f（x）的最大值是2；为假命题，当a离1非常接近时，对于第二个图，y=f（x）a有2个零点，也可以是3个零点为真命题，动直线y=a与y=f（x）图象交点个数可以为0、1、2、3、4个，故函数y=f（x）a的零点个数可能为0、1、2、3、4个综上得：真命题只有故答案为：【思路点拨】先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对五个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案三解答题：（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）【题文】16（12分）已知数列是等差数列，是等比数列，。 （1）求数列、的通项公式； （2）设数列中，求数列的前n项和Sn。【知识点】数列的求和；等差数列的性质 D2,D4【答案解析】(1) (2) Sn=（n1）2n+1+2解析：解：（1）在等差数列an中，由a1=1，a3=3，得，an=1+1（n1）=n在等比数列bn中，由b2=4，b5=32，得，q=2；（2）cn=anbn=n2n则Sn=121+222+323+n2n ， ，得：=Sn=（n1）2n+1+2【思路点拨】1）直接由已知求出等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）把数列an、bn的通项公式代入cn=anbn，然后利用错位相减法求数列cn的前n项和Sn【题文】17（12分）已知向量。 （1）求的最小正周期和单调减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，在ABC中，角A、B、C的对边分别为，若，求的值。【知识点】平面向量数量积的运算；函数y=Asin（x+）的图象变换 F3,C4【答案解析】(1) =，k，k，kz(2) a=解析：解：（1）向量=（cosx+sinx，2cosx），=（cosxsinx，sinx）f（x）=COS2xsin2x=sin（2x+），函数的周期为=，2k+2x+2k，kz，kxk+，kz，所以函数的周期为=，k，k，kz（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，g（x）=cosx，f（）=0，g（B）=，b=2，sin（A+）=0，COSB=，在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，A=，B=，b=2得：，即a=，【思路点拨】（1）向量=（cosx+sinx，2cosx），=（cosxsinx，sinx）f（x）=COS2xsin2x=sin（2x+），运用三角函数的图象的性质求解（2）利用函数图象平移求出g（x）解析式，代入利用已知条件求解【题文】18（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，ADBC，ABBC，AD=2，AB=3，BC=BE=7，DCE是边长为6的正三角形。 （1）求证：平面DEC平面BDE； （2）求二面角CBED的余弦值。【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法 G5,G11【答案解析】（1）略 （2）解析：解（1）证明：因为四边形ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，AD=2，AB=3，所以BD=，又因为BC=7，CD=6，所以根据勾股定理可得BDCD，因为BE=7，DE=6，同理可得BDDE因为DECD=D，DE平面DEC，CD平面DEC，所以BD平面DEC因为BD平面BDE，所以平面DEC平面BDE；（2）解：在CBE中，BC=7，CE=6，BE=7，SCBE=6，在BED中，BD=，DE=6，BE=7，SBED=3，二面角CBED的余弦值为=【思路点拨】（1）根据勾股定理证明BDCD，BDDE，可得BD平面DEC，利用平面与平面垂直的判定定理，即可证明平面DEC平面BDE；（2）求出SCBE、SBED，即可求二面角CBED的余弦值【题文】19某班共有24人参加同时开设的数学兴趣小组和物理兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有6名女生，10名男生；参加物理兴趣小组的有3名女生，5名男生，现采用分层抽样方法从两组中抽取3人。 （1）求抽取的3人中恰有一名女生来自数学兴趣小组的概率； （2）记X表示抽取3人中男生的人数，求X的分布列和数学期望。【知识点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差 K6【答案解析】(1) P（A）=(2) X的分布列为： X 0 1 2 3 PEX=解析：解：（1）设事件A表示“抽取的3人中恰有一名女生来自数学兴趣小组”，P（A）=（2）由题意，知X=0，1，2，3，现采用分层抽样方法从两组中抽取3人，则从甲组中抽取2人，从乙组抽取1人，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=+=，P（X=3）=，X的分布列为： X 0 1 2 3 PEX=【思路点拨】1）利用古典概型概率公式能求出抽取的3人中恰有一名女生来自数学兴趣小组的概率（2）由题意，知X=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX【题文】20（13分）已知数列满足，前n项和为Sn，Sn=。 （1）求证：是等比数列； （2）记，当时是否存在正整数n，都有？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由。【知识点】数列递推式 D1【答案解析】（1）略 （2）存在m=4，满足题意 解析：解（1）证明：，Sn1=（1+an1）两式相减得，故an是等比数列（2）解：，lna0，若存在满足条件的正整数m，则m为偶数，当，即时，b2k+2b2k，又b4b2，k2时b4b6b8存在m=4，满足题意【思路点拨】（1）由已知推导出，由此能证明an是等比数列（2）由，得若存在满足条件的正整数m，则m为偶数，由此能求出存在m=4，满足题意【题文】21（14分）设函数，其中。 （1）若，求在1,4上的最值；（2）若在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；（3）求证：不等式恒成立。【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值 B12【答案解析】(1) f（x）在1，2上为减函数，在2，4上为增函数f（x）min=f（2）=26ln2，f（1）=0，f（4）=126ln40f（x）max=f（4）=126ln4=12（1ln2）； (2)0a(3)略解析：解：（1）当a=6时，f（x）=x2x6lnx（x0），=，令（舍），当1x2时，f（x）0f（x）在1， 2上为减函数，在2，4上为增函数f（x）min=f（2）=26ln2，f（1）=0，f（4）=126ln40f（x）max=f（4）=126ln4=12（1ln2）；（2）f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，即f（x）=0在（0，+）有两不等根，即2x2x+a=0在（0，+）有两不等实根，令g（x）=2x2x+a，则，解得0a；（3）令函数h（x）=x3f（x）=x3x2+ln（x+1）则h（x）=3x22x+=，当x0，+）时，h（x）0函数h（x）在0，+）上单调递增，又h（0）=0，x（0，+）时，恒有h（x）h（0）=0即x2x3+ln（x+1）恒成立取x=（0，+），则有ln（+1）恒成立即不等式ln（nN*）恒成立【思路点拨】1）当a=6时，由f（x）=0得x=2，可判断出当x1，2）时，f（x）单调递减；当x（2，4时，f（x）单调递增，从而得到f（x）在1，4上的最值（2）要使f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，即f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点，即使f（x）=0在（0，+）有两个不等实根，即2x2x+a=0在（0，+）有两不等实根，可以利用一元二次函数根的分布，即可求a的范围（3）先构造函数h（x）=x3x2+ln（x+1），然后研究h（x）在0，+）上的单调性，求出函数h（x）的最小值，从而得到ln（x+1）x2x3，最后令x=，即可证得结论