2019-2020年高三下学期高考南通密数学试题 含解析.doc

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.设，其中是虚数单位，则 【答案】【解析】试题分析：考点：复数相等2.已知集合，若，则实数的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：恒成立，因此考点：集合包含关系，不等式恒成立3.为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中株树木的底部周长（单位：)，所得数据如图则在这株树木中，底部周长不小于的有 株第3题图【答案】【解析】试题分析：底部周长不小于的概率为，所以底部周长不小于的有株考点：频率分布直方图4.设向量，且，若，则实数 【答案】【解析】试题分析：，又，所以考点：向量垂直，向量数量积5.如图所示的流程图的运行结果是 第5题图【答案】【解析】试题分析：第一次循环：，第二次循环：，结束循环，输出考点：循环结构流程图6.将边长为的正方形沿对角线折起，使，则三棱锥的体积为 【答案】【解析】试题分析：取中点，则，即,因为,所以,三棱锥的体积为考点：三棱锥体积7.设等差数列的前项和为，若， 当取最大值时， 【答案】【解析】试题分析：设公差为则，因此，所以当时，取最大值考点：等差数列前项和公式，二次函数最值8.已知，且，则 【答案】【解析】试题分析：因为，而，又，因此考点：二倍角公式9.若在区间内任取实数，在区间内任取实数，则直线与圆相交的概率为 【答案】【解析】试题分析：由直线与圆相交得，又，所以，其区域为梯形OABC,其中,而在区间内任取实数，在区间内任取实数构成一个矩形,其中因此所求概率为梯形OABC面积与矩形面积的比值，即考点：几何概型概率10.设函数的值域是，则实数的取值范围为 【答案】【解析】试题分析：因为，所以考点：三角函数性质11.已知函数满足：当时，当时，若在区间内，函数恰有一个零点，则实数的取值范围是 【答案】【解析】考点：函数零点12.设椭圆和圆，若椭圆上存在点，使得过点引圆的两条切线，切点分别为、，满足，则椭圆的离心率的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：在四边形中，由题意得，即，化解得，又在椭圆中，考点：圆的切线，椭圆离心率13.设数列的通项公式为，则满足不等式的正整数的集合为 【答案】1，2，3【解析】试题分析：由于数列的通项公式为，所以数列为等比数列，首项为，公比；数列也是等比数列，首项为，公比不等式等价于，即，解之得，只能取考点：等比数列求和14.设函数，则满足的的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：，函数在上单调递增，且，或，解得或考点：利用导数解不等式二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）在中，的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）设，为垂足，若，求的值【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由正弦定理，将边角关系统一化为角：，再利用两角差正弦公式及诱导公式进行化简：解得（2）先利用化简得：,因此关键求，这可利用余弦定理解出，再根据面积公式求出高：试题解析：（1）， 由正弦定理，得, 又在中， ， 即， 又， ， 又，； （2） 由余弦定理， ， ，即， ， . 考点：正余弦定理，向量数量积16.（本小题满分14分）如图，四棱锥中，底面为矩形，为上一点（1）求证：平面平面；（2）若平面，求证：为的中点【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证面面垂直，关键证线面垂直，由于，又底面为矩形，因此平面，进而平面平面；（2）先根据线面平行性质定理，将转化为线线平行：连接，交于，连接， 平面，再根据中位线性质得为的中点.试题解析：（1）底面为矩形，又， 平面， 又， 平面平面； （2）连接，交于，连接， 平面，平面平面， ， ，底面为矩形， 是的中点，即， 为的中点. 考点：面面垂直判定定理，线面平行性质定理17.（本小题满分14分）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的位于该市的某大学与市中心的距离，且现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站，在OB上设一站B，铁路在部分为直线段，且经过大学其中，（1）求大学与站的距离；（2）求铁路段的长LABOMLLab【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）在中，已知两边一角，利用余弦定理求第三边：（2）在中，可利用正弦定理求出角，这样在中，已知两角及一边，可利用正弦定理求其余两边：试题解析：（1）在中，且， 由余弦定理得， ，即大学与站的距离为； （2），且为锐角， 在中，由正弦定理得，, 即， ， ， ，又， ， 在中， 由正弦定理得， 即，即铁路段的长为 考点：三角函数应用，正余弦定理18.（本小题满分16分）设椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于不同的两点，以线段为直径作圆若圆与轴相交于不同的两点，求的面积；（3）如图，、是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点设的斜率为，的斜率为，求证：为定值第18题图【答案】（1）（2）（3）详见解析【解析】试题分析：（1）两个独立条件可求出椭圆标准方程，一个根据直线与圆相切得，再利用解得（2）本题实质求圆中弦长，先求出，确定圆心及半径，再根据垂径定理得，从而可得面积（3）本题实质研究的斜率与的斜率的关系：解题思路可为利用的斜率表示的斜率，先用的斜率分别表示出，及，再表示的斜率，这里有一定运算量试题解析：（1）圆的方程为， 直线与圆O相切，即，又， ， 椭圆的方程为； （2）由题意，可得， 圆的半径， 的面积为； （3）由题意可知，的斜率为，直线的方程为，由，得，其中， 则直线的方程为，令，则， 即， 直线的方程为，由，解得， 的斜率 ，（定值） 考点：直线与圆位置关系，直线与椭圆位置关系19.（本小题满分16分）已知函数，其中函数的图象在点处的切线平行于轴（1）确定与的关系；（2）若，试讨论函数的单调性； （3）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，求证：【答案】（1）（2）当时，在单调减函数，在单调增；当时，在上单调减；在和单调增；当时，在单调增；当时在和单调增；在单调减（3）详见解析【解析】试题分析：（1）利用导数几何意义，确定与的关系：（2）根据导函数零点分布情况依次讨论：由知需分，四种情况讨论（3）先分析所证不等式结构，设， （3）由题设， 令，则，时， 函数在是减函数，而，时， ，即， 令，则， 时， 在是增函数， 时， ，即 由得 考点：导数几何意义，利用导数求函数单调性，利用导数证不等式20.（本小题满分16分）设数列的前项和为，满足 （1）当时，设，若，求实数的值，并判定数列是否为等比数列； 若数列是等差数列，求的值；（2）当时，若数列是等差数列，且，求实数的取值范围【答案】（1），数列是等比数列；3；（2）【解析】试题分析：（1）由，列出关于两个独立条件，解出，利用解出递推关系式，再根据，构造，从而得证数列是等比数列；从数列是等差数列出发，将条件转化为关于恒等式：，消去，得出关系，即可求出的值；（2）本题实质求和，难点为配方：，以下就简单了，一是裂项相消求和，二是恒成立转化为最值求解试题解析：（1），令，可得，即，令，可得，即，,， 当时， -，得， ，即， 又， 数列是等比数列； 数列是等差数列，设， ，； （2）当时，数列是等差数列， ， ，即， ，令， ，当时， 在上是增函数，而， 考点：等比数列定义，裂项相消求和，数列最值 若点在矩阵对应变换的作用下得到点，求矩阵的逆矩阵2019-2020年高三下学期高考南通密数学试题 含解析附加题21.A（选修：几何证明选讲） 如图，设、是圆的两条弦，直线是线段的垂直平分线已知，求线段的长度【答案】【解析】试题分析：因为AB是线段CD的垂直平分线，所以AB是圆的直径，在直角三角形ABC中由射影定理得的长度试题解析：连接BC，相交于点因为AB是线段CD的垂直平分线，所以AB是圆的直径，ACB90设，则，由射影定理得AEEB，又，即有，解得（舍）或 所以，AEAB5630，考点：射影定理21.B（选修：矩阵与变换） 【解析】试题分析：先由矩阵对应关系求出，再根据逆矩阵公式求逆矩阵试题解析：，即， 解得， 解法一：， . 解法二:设，由，得 解得 考点：逆矩阵21.C（选修：坐标系与参数方程）在极坐标系中，设圆经过点，圆心是直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程【答案】【解析】试题分析：先求出圆心坐标，再利用余弦定理求半径，最后写出圆的极坐标方程是试题解析：因为圆心为直线与极轴的交点，所以令，得，即圆心是， 又圆经过点， 圆的半径，圆过原点，圆的极坐标方程是 （说明：化为普通方程去完成给相应的分数）考点：圆极坐标方程21.D（选修：不等式选讲） 设均为正数，求证：【答案】详见解析【解析】试题分析：根据均值不等式，得，三式相加即得试题解析：由为正数，根据平均值不等式，得， 将此三式相加，得，即 由，则有所以，考点：均值不等式【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22.22（本小题满分10分）已知数列满足，（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当，时，【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）由等比数列定义知即证比值为非零常数，代入化简即可（2）由（1）得，即证，这可利用数学归纳法进行论证试题解析：（1）令，则， ，数列，即是等比数列； （2）由（1）得， 下面用数学归纳法证明当，时，当时，不等式的左边，右边，而，时，不等式成立； 假设当时，不等式成立，即；当时， 当时，不等式也成立 由可得，当，时， 考点：等比数列定义，数学归纳法23.（本小题满分10分）如图，已知点，直线，为平面内的动点，过作的垂线，垂足为，且 （1）求动点的轨迹的方程；（2）设是上的任意一点，过作轨迹的切线，切点为、 求证：、三点的横坐标成等差数列；若，求的值l【答案】（1）（2）详见解析或. 【解析】试题分析：（1）直接法求轨迹：设点坐标，将条件用坐标表示并化简即可得（2）用点横坐标分别表示、横坐标，及，所以是方程的两根，得出关系是解题目标，再由或.试题解析：（1）设，则， ， ，即动点的轨迹的方程为； 另解：设，则，以为邻边的平行四边形是菱形， ，即动点的轨迹的方程为； （2）设，则 切线的方程， 同理， 方法1:得， ，即、三点的横坐标成等差数列. 方法2：由得是方程的两根， ，即、三点的横坐标成等差数列. 由得是方程的两根， ， ，或. 考点：直接法求曲线轨迹，直线与抛物线位置关系