一概率论的基本概念.ppt

第一章,概率论的基本概念,第一节随机事件、样本空间,在个别试验中其结果出现不确定性；在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，称之为随机现象。,1、随机试验,概率论是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。,则把这一试验称为随机试验，常用E表示。,对随机现象进行的观察或实验称为试验。,（2）每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验的所有可能结果。,（3）进行一次试验之前，不能确定会出现哪一个结果。,若一个试验具有下列三个特点：,（1）在相同条件下可重复进行。,例1:从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数，则这一试验的样本空间为：,=0，1，2，3，4，5，6，7，8,引入下列随机事件:,A=正品件数不超过3=0，1，2，3,B=取到2件至3件正品=2，3,C=取到2件至5件正品=2，3，4，5,D=取到的正品数不少于2且不多于5=2，3，4，5,E=取到的正品数至少为4=4，5，6，7，8,F=取到的正品数多于4=5，6，7，8,2、随机事件与样本空间,随机事件（简称事件）：在随机试验中，可能发生也可能不发生的结果。通常用大写字母A、B,表示。,基本事件（或称为样本点）：随机试验中的每一个基本结果是一个随机事件。,样本空间：随机试验E的全体基本事件组成的集合。记为。,随机事件中有两个极端情况：每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件。每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件。,基本事件是样本空间的单点集。复合事件是由多个样本点组成的集合。必然事件包含一切样本点，它就是样本空间。不可能事件不含任何样本点，它就是空集。,表示事件A包含于事件B或称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件B发生。,3、事件间的关系及其运算,事件A1，A2，An的和记为,或A1A2An,表示事件A与事件B中至少有一个事件发生,称此事件为事件A与事件B的和（并）事件。,表示事件A与事件B同时发生,称为事件A与事件B的积（交）事件，或记为AB。积事件AB是由A与B的公共样本点所构成的集合。,可列个事件A1,A2,An的积记为A1A2An或A1A2An，也可简记为。,在可列无穷的场合，用表示事件“A1、A2诸事件同时发生。”,事件A发生但事件B不发生,称为事件A与事件B的差事件。,显然有：,对于任意两事件A，B总有如下分解：,则称A和B是互不相容的或互斥的,指事件A与B不可能同时发生。,则称A和B互为对立事件，或称A与B互为逆事件。事件A的逆事件记为,表示“A不发生”这一事件。,基本事件是两两互不相容的。,A,B,B,A,A,B,B,A,A,B,B,A,事件的运算律,（1）交换律：AB=AB，AB=BA,（2）结合律（AB）C=A（BC）,（3）分配律：A（BC）=（AB）（AC）,（AB）C=A（BC）,A（BC）=（AB）（AC）,（4）德摩根律（DeMorgan）：,例2:设A，B，C为三个事件，试用A，B，C表示下列事件：（1）A发生且B与C至少有一个发生；（2）A与B都发生而C不发生；（3）A，B，C恰有一个发生；（4）A，B，C中不多于一个发生；（5）A，B，C不都发生；（6）A，B，C中至少有两个发生。,第二节概率、古典概率,1、概率,定义1:在相同条件下，进行了n次试验.若随机事件A在这n次试验中发生了k次，则比值称为事件A的频率，记为,频率具有下列性质：,(1)对于任一事件A，有,(2),历史上著名的统计学家蒲丰（Buffon）和皮尔逊（Pearson）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表所示.,可见出现正面的频率总在0.5附近摆动.随着试验次数的增加,它会逐渐稳定于0.5.,定义2:设事件A在n次重复试验中发生了k次,n很大时,频率稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数n的增加，波动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的概率，记为,定义3：,2、概率的公理化定义,概率的性质：,3、古典概型,定义4：设随机试验E满足如下条件:试验的样本空间只有有限个样本点，即(2)每个样本点的发生是等可能的，即则称试验为古典概型，也称为等可能概型。,例3：从0,1,2,9共10个数字中随机地有放回地接连取4个数字,并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概率,例4：(一个古老的问题)一对骰子连掷25次.问出现双6与不出现双6的概率哪个大?,4、几何概型,若试验具有如下特征:,例5(约会问题)甲、乙两人相约在某一段时间T内在预定地点会面。先到者等候另一人，经过时间t(t0时,有：P(AB)=P(B)P(AB),2、乘法定理,乘法定理可推广至任意有限个事件的情形:,例2：设袋中有a只白球,b只黑球.任意取出一球后放回,并再放入与取出的球同色的球c只,再取第二次,如此继续,共取了n次,问前n1次取出黑球,后n2=n-n1次取白球的概率是多少?,3、全概率公式与贝叶斯公式,全概率公式,贝叶斯公式,例3：某工厂由甲,乙,丙三台机器生产同一型号的产品,它们的产量各占30%,35%,35%,废品率分别为5%,4%,3%.产品混在一起.(1)从该厂的产品任取一件,求它是废品的概率.(2)若取出产品是废品,求它是由甲,乙,丙三台机器生产的概率各是多少?,例4：对以往的数据分析结果表明,当机器调整良好时,产品的合格率为90%,而机器未调整良好时,其合格率为30%.每天机器开动时,机器调整良好的概率为75%.试求已知某日生产的第一件产品是合格品,机器调整良好的概率是多少?,解:设A=机器调整良好,B=生产的第一件产品为合格品.已知,第四节独立性,1、事件的独立性,定理,定义7:,定义8:,定义9:,例1：假设我们掷两次骰子,并定义事件A=第一次掷得偶数,B=第二次掷得奇数,C=两次都掷得奇数或偶数,证明A,B,C两两独立,但A,B,C不相互独立.,证明：容易算出,例2：甲、乙两射手射击同一目标,他们击中目标的概率分别为0.9与0.8,求在一次射击中(每人各射一次)目标被击中的概率.,2.贝努里试验模型,定义10:,定理1:,例3:一副扑克牌(52张)，从中任取13张，求至少有一张“A”的概率。,解:设A=任取的13张牌中至少一张“A”，并设Ai=任取的13张牌中恰有i张“A”，i=1，2，3，4则,