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,指数函数与对数函数的关系,引入,我们现在在同一坐标系下作出，和，的图像，并观察分析它们之间的关系.,X,Y,O,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,7,Y=log2x,Y=X,Y=2x,-1,-1,-2,从图上可以看出：点(0,1)与点(1,0)关于直线y=x对称，点与点关于直线y=x对称.则上的点p(a,b)与上的点(b,a)关于直线y=x对称.,二、新课讲授,问题：指数函数与对数函数有何内在联系？,探究：这种关系是否具有一般性？,对应法则互逆,强调：指数式与对数式互化图像不变，互换引起图像关于直线对称,问题1：第一步变换有没有引起图像变化？为什么？,问题2：第二步变换有没有引起图像变化？为什么？,结论？,指数函数与对数函数之间的这种关系并不是它们所特有的，有大量的函数之间具有这种关系。我们称它们互为反函数。,反函数的定义：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。函数y=f(x)(xA)的反函数.,三、明确定义：,记：y=f1(x),注意：yf1(x)读作：“f逆x”表示反函数，不是-1次幂（倒数）的意思,（1）反函数的定义域与值域正好是原来函数的值域与定义域。如：不是函数的反函数，因为前者的值域显然不是后者的定义域。,（3）反函数也是函数，因为他们符合函数的定义。,（2）对任意一个函数y=f(x),不一定总有反函数；只有当确定一个函数的映射是一一映射时，这个函数才存在反函数。如果有反函数，那么原来函数也是反函数的反函数，即他们互为反函数,概念深化：,问题3：如何求函数的反函数？,求反函数的方法步骤：1）求出原函数的值域；即求出反函数的定义域；2）由y=f(x)反解出x=f1(y)；即把x用y表示出来；3）将x=f1(y)改写成y=f1(x)，并写出反函数的定义域；即对调x=f1(y)中的x、y.,例1求下列函数的反函数：,首先,将y=(x)看作方程,解出x=-1(y)(yC);,其次，将x,y互换,得到y=-1(x)(xC).,最后,指出反函数的定义域,结论?,四、巩固训练，加深概念：,同底的指数函数与对数函数互为反函数,(),A.y轴对称B.x轴对称C.原点对称D.直线yx对称,例2函数y3x的图象与函数ylog3x的图象关于,D,结论?,函数y=f(x)的图象与它的反函数y=f1(x)的图象关于直线y=x对称。,例3已知函数.（求证函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称.,因f(x)的反函数与原函数相同,故结论成立.,证明：,探究：如何证明一个函数的图象本身关于直线y=x对称？,结论?,证明一个函数的图象关于直线y=x对称，只需说明它的反函数与原函数相同,例4函数f(x)loga(x1)(a0且a1)的反函数的图象经过点(1,4)，求a的值.,若函数yf(x)的图象经过点(a,b)，则其反函数的图象经过点(b,a).,结论？,解:依题意,得,若函数y=f（x）存在反函数，且f-1（a）=b，则f（b）=a,结论？,互为反函数的两个函数定义域、值域互换。,练习：求下列函数的反函数：,问题4：练习中函数与函数,比较，有何异同？,结论？,只有一一映射的函数才有反函数,例5：不查表，不使用计算器求值，比较log23与21.5的大小。,图象法,五、互为反函数的函数图象增减速度比较：,问题10：两个函数图象在第一象限增长速度有何关系？,归纳小结：,布置作业：,1.教材第106页练习A第2题；第107页练习B第1、2题；2.教材第118页“思考与交流”的第6题,
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