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3.4.2函数模型及其应用,1.解函数应用题的基本步骤(1)阅读理解、认真审题.(2)引进数学符号,建立函数模型.(3)利用数学方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答,求得结果.(4)根据具体问题作出合理解答.交流1在数学应用题中,所建立的函数如何确定其定义域?提示可从两个方面确定函数的定义域:一是函数自身对自变量的要求;二是实际问题中对自变量的限制,如时间、长度、面积等一般均大于零.,2.常见函数模型一次函数模型:y=kx+b(k0),二次函数模型y=ax2+bx+c(a0),分段函数模型,指数函数模型y=abx+c(a0,b0,且b1),对数函数模型y=mlogax+n(m0,a0,且a1),幂函数模型y=axn+b(a0)以及y=ax+函数模型等.交流2对于具体的数学应用题,应怎样选择函数模型?提示一是根据题目中给出的函数类型,用待定系数法求解;二是根据题目中的对应关系列式表达;三是利用数据拟合法,选择最优函数类型.,3.解实际问题的程序实际问题建立数学模型得到数学结果解决实际问题,其中建立数学模型是关键.交流3(1)某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个现有2个这样的细胞,分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是.(2)汽车的油箱是长方体形状容器,它的长是acm,宽为bcm,高为ccm,汽车开始行驶时油箱内装满汽油.已知汽车的耗油量是ncm3/km,则汽车行驶的路程y(km)与油箱内剩余油量的液面高度xcm的函数关系为.提示(1)y=2x+1,典例导学,即时检测,一,二,三,一、一次、二次函数模型某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(导学号51790119)(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?思路分析(1)由已知可以求出未租出的车辆数,从而可求出租出的车辆数.(2)要求最大收益,可先把收益表示为月租金的函数,建立函数模型再求解该函数的最大值.,典例导学,即时检测,一,二,三,典例导学,即时检测,一,二,三,1.已知A、B两地相距150km,某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地,在B地停留1h后再以50km/h的速度返回A地,把汽车离开A地的距离x表示成时间t的函数,表达式是.,典例导学,即时检测,一,二,三,2.有一批材料可以建成200m的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图),则围成的矩形最大面积为m2.(围墙厚度不计)(导学号51790120)答案:2500解析:设矩形宽为xm,则矩形长为(200-4x)m,则矩形面积为S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2500(0x50).x=25时,S有最大值为2500m2.,典例导学,即时检测,一,二,三,分析与解答应用问题时的思维过程:,典例导学,即时检测,一,二,三,二、指数、对数函数模型燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数,单位是m/s,其中Q表示燕子的耗氧量.(导学号51790121)(1)燕子静止时的耗氧量是多少个单位?(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?思路分析由题意可知,飞行速度是耗氧量的对数型函数,由函数表达式分别给变量赋值,求出另外的量即可.,典例导学,即时检测,一,二,三,典例导学,即时检测,一,二,三,某林区2015年木材蓄积量为200万立方米,由于采取了封山育林、严禁采伐的措施,使木材蓄积量的年平均递增率达到5%.(导学号51790122)(1)若经过x(xN*)年后,该林区的木材蓄积量为y万立方米,求f(x)的解析式.(2)约经多少年后,林区的木材蓄积量达到300万立方米?,典例导学,即时检测,一,二,三,解(1)现有木材蓄积量为200万立方米.经过1年后,木材蓄积量为200+2005%=200(1+5%)万立方米;经过2年后,木材蓄积量为200(1+5%)+200(1+5%)5%=200(1+5%)2万立方米;经过x年后,木材蓄积量为200(1+5%)x万立方米.f(x)=200(1+5%)x(xN*).(2)由题意,若经x年后,林区的木材蓄积量达到300万立方米,则有200(1+5%)x=300,故约经过9年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米.,典例导学,即时检测,一,二,三,指数函数模型在生活中应用比较广泛,如增长率(减少率)、存款利率、复利计算等.指数类型的函数在实际问题中的应用主要有以下两类:平均增长率问题:若原来产值的基数为N,平均增长率为P,则对于时间x的总产值或总产量y=N(1+P)x;储蓄中的复利问题:若本金为a元,每期利率为r,本利和为y,存期为x,则y=a(1+r)x.,典例导学,即时检测,一,二,三,三、模拟函数类型的建立某地西红柿从2月1日起开始上市.通过调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/102kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:(导学号51790123)(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系.Q=at+b;Q=at2+bt+c;Q=abt;Q=alogbt.(2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.,典例导学,即时检测,一,二,三,思路分析分析表格中的数据(50,150),(110,108),(250,150)可知函数模型.(2)当t=150天时,西红柿种植成本最低为100元/102kg.,典例导学,即时检测,一,二,三,经过调查发现,某种新产品在投放市场的100天中,前40天,其价格直线上升(价格是一次函数),而后60天,其价格则呈直线下降趋势.现抽取其中4天的价格如表所示:(导学号51790124)(1)写出价格f(x)关于时间x的函数表达式(x表示投放市场的第x天);(2)若销售量g(x)与时间x的函数关系是g(x)=(1x100,xN),求日销售额的最大值,并求第几天销售额最高.,典例导学,即时检测,一,二,三,典例导学,即时检测,一,二,三,典例导学,即时检测,一,二,三,建立实际情境函数的模型时,可采用以下步骤:,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,1.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由1个分裂成2个),则这种细菌由1个繁殖成4096个需经过().A.2小时B.3小时C.4小时D.5小时答案:B解析:设共分裂了x次,则有2x=4096,2x=212,即x=12.又每15分钟分裂一次,1512=180(分),即3小时.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,2.受国际经济衰退影响,某型号产品今年连续两次降价,单价由原来的2000元降到1280元,则这种产品平均每次降价的百分率是().A.10%B.20%C.30%D.40%答案:B解析:设平均每次降价的百分率为x,则2000(1-x)2=1280,x=0.2=20%.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,3.某种茶杯,每个2.5元,把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数,则y=.答案:2.5x(xN),典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,4.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20 x-0.1x2(0x240,xN*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为台.答案:150解析:设生产者恰好不亏本时的产量为x台,依题意,得25x-3000-20 x+0.1x2=0,即x2+50 x-30000=0.解得x=-200(舍去)或x=150,生产者不亏本时的最低产量为150台.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,5.一家庭(父亲、母亲和孩子们)计划去某地旅游.甲旅行社说:“如果父亲买全票一张,其余人可享受半票优惠.”乙旅行社说:“家庭旅行为集体票,按原价的优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家庭里不同的孩子数,分别建立表达式,计算两家旅行社的收费,并讨论哪家旅行社更优惠.(导学号51790125)解设家庭中孩子数为x(x1,xN*),旅游收费为y,旅游原价为a.,
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