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12点、线、面之间的位置关系,12.3直线与平面的位置关系,栏目链接,课标点击,1理解空间中直线与平面的位置关系2掌握线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理,栏目链接,典例剖析,栏目链接,直线与平面的位置关系,下列命题中正确的命题的个数为_如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面,栏目链接,解析：对于，直线与平面平行，只是说明直线与平面没有公共点，也就是直线与平面内的直线没有公共点，没有公共点的两条直线其位置关系除了平行之外，还有异面，如右图正方体ABCDA1B1C1D1，A1B1平面ABCD，A1B1与BC的位置关系是异面，并且容易知道，异面直线A1B1与BC所成的角为90，因此命题是错误的,栏目链接,对于，如上图，A1B1AB，A1D1AD且AD、AB平面ABCD，A1D1、A1B1平面ABCD，A1B1平面ABCD，A1D1平面ABCD.可以说明过平面外一点不只有一条直线与已知平面平行，而是无数多条可以想象，经过面A1B1C1D1内一点A1的任一条直线，与平面ABCD的位置关系都是平行的命题也是错误的,栏目链接,对于，我们可以继续借用正方体ABCDA1B1C1D1来举反例如右图，分别取AD、BC的中点E、F，A1D1、B1C1的中点G、H，连接EF、HG.E、F、H、G分别为AD、BC、B1C1、A1D1的中点，可以证明EFHG为正方形，且该截面恰好把正方体一分为二A、D两个点到该截面的距离相等，且AD平面EFHGE，命题也是错误的,对于，把一直角三角板的一直角边放在桌面内，让另一直角边抬起，即另一直角边与桌面的位置关系是相交，可以得出在桌面内与直角边所在的直线平行的直线与另一直角边垂直正确命题的个数只有1个答案：1个,栏目链接,规律总结：正方体(或长方体)是立体几何中的一个重要的，又是最基本的模型，而且立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映因而人们给它以“百宝箱”之称本例中的命题就是利用这个“百宝箱”来判定它们的真假的,栏目链接,变式训练1下列说法中正确的是_(填序号)直线l平行于平面内无数条直线，则l；若直线a在平面外，则a；若直线ab，直线b，则a；若直线ab，直线b，那么直线a就平行于平面内的无数条直线,栏目链接,解析：对于，直线l虽然与平面内无数条直线平行，但l有可能在平面内，l不一定平行于.错误对于，直线a在平面外，包括两种情况：a和a与相交，a和不一定平行错误对于，直线ab，直线b，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面内，a不一定平行于.错误对于，ab，b，那么a或a，a能与平面内的无数条直线平行，从而填.答案：,栏目链接,直线与平面平行的判定定理,已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别是AB、BC、CD的中点求证：平面EFG和AC平行，也和BD平行分析：欲证明AC平面EFG，根据直线和平面平行的判定定理，只需证明AC平行于平面EFG内的一条直线，由图可知，只需证明ACEF.,栏目链接,证明：如右图，连接AC、EG、EF、GF.在ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，ACEF.又AC平面EFG，EF平面EFG，AC平面EFG.同理可证，BD平面EFG.,规律总结：由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的程序是：寻求两直线的平行关系；证明这两条直线中的一条在平面内，另一条在平面外；由判定定理得出结论,栏目链接,变式训练2如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点证明：EF平面PAD.,证明：E、F分别是PB、PC的中点，EFBC.ABCD是矩形，BCAD.EFAD.又EF平面PAD，AD平面PAD，EF平面PAD.,栏目链接,直线与平面平行的性质定理,如图，A，B分别是异面直线a，b上的两点，自AB的中点O作平面与a，b分别平行，M，N分别是a，b上的任意两点，MN与交于点P.求证：P是MN的中点,栏目链接,分析：利用线面平行的性质定理，通过三角形的中位线进行过渡证明：连接AN交于点Q，连OQ、PQ，b，平面ABNOQ，bOQ.同理PQa.在ABN中，O是AB的中点，OQBN，Q是AN的中点又PQa，点P是MN的中点,栏目链接,规律总结：利用线面平行的性质定理解题的步骤：确定(或寻找)一条直线平行一个平面；确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面；确定交线；由定理得出结论,栏目链接,变式训练3如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：APGH.,栏目链接,证明：如图，连接AC交BD于点O，连接MO，四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点又M是PC的中点，APOM.根据直线和平面平行的判定定理，则PA平面BMD.平面PAHG平面BMDGH，根据直线和平面平行的性质定理，PAGH.,栏目链接,直线与平面垂直的概念,过一点与已知直线垂直的平面只有一个已知：点A和直线a(如下图),栏目链接,求证：过点A和直线a垂直的平面只有一个分析：必须证明存在性和唯一性证明：不论点A是否在直线a上(如上图)，设过点A与直线a垂直的平面为.如果还有一个平面过点A且与直线a垂直，且l.设过点A和直线a且不过l的平面为，且b，c.,栏目链接,a，a，ab，ac.这样在同一平面内，过一点A就有两条直线b，c都与a垂直，这是不可能的所以，过点A和直线a垂直的平面只有一个规律总结：(1)由直线与平面垂直的定义可知，“若直线a平面，则a垂直于内任一条直线”，它也可作为定理来运用(2)本例的结论以及课本上例题的结论“过一点与一个平面垂直的直线有且只有一条”都可作为定理来运用(3)反证法是证明唯一性问题的有效方法,栏目链接,变式训练4给出以下结论：若直线a垂直平面内的无穷多条直线，则直线a垂直平面；无论直线a与平面是否垂直，a总垂直平面内的无穷多条直线；若直线a垂直平面内的两条直线，则直线a垂直平面；若直线a垂直平面内的所有直线，则直线a垂直平面.其中正确的结论为_(填序号),栏目链接,解析：是错的，如果这无数条直线都是互相平行的，即使直线a垂直于这些直线，直线a也不一定垂直平面，可能是斜交或直线a在平面内；也是错的，也可能是与一样的情形答案：,栏目链接,直线与平面垂直的判定定理,如右图，三棱锥ABCD中，BCAC，ADBD，BECD，E为垂足，AHBE于点H.求证：AH平面BCD.分析：若证AH平面BCD，只需利用直线和平面垂直的判定定理，证AH垂直平面BCD内两条相交直线即可证明：取AB中点F，连CF、DF，ACBC，CFAB.又ADBD，DFAB.又CFDFF，AB平面CDF.ABCD.,栏目链接,又BECD，且ABBEB，CD平面ABE.又AH平面ABE，CDAH.又AHBE，且BECDE，AH平面BCD.规律总结：利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的程序是：在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；确定这个平面内的两条直线是相交的直线；根据判定定理得出结论,栏目链接,变式训练5如图，已知PAO所在平面，AB为O的直径，点C是圆周上任一点，过点A作AEPC于点E.求证：AE平面PBC.证明：PA平面ABC，PABC.又AB为圆O直径，ACBC.PAACA，BC平面PAC.AE平面PAC，BCAE.又AEPC，PCBCC，AE平面PBC.,栏目链接,直线与平面垂直的性质定理,设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线(与两异面直线都垂直且相交的直线)证明：(1)若a、b都平行于平面，则AB；(2)若a、b分别垂直于平面、，且c，则ABc.分析：(1)依据直线和平面垂直的判定定理证明AB；(2)证明线与线的平行，由于此时垂直的关系很多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明ABc.,栏目链接,证明：(1)如右图，在内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面的交线为a，设直线b与点P确定的平面与平面的交线为b.a，b，aa，bb.又ABa，ABb，ABa，ABb.AB.,栏目链接,(2)如右图，过点B作BB，则BBa，ABBB.又ABb，AB垂直于由b和BB确定的平面b，bc.又BB，BBc.c也垂直于由BB和b确定的平面故cAB.,栏目链接,规律总结：由第(2)问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直如本题中，通过作出辅助线BB，构造出平面，即由相交直线b与BB确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证得,栏目链接,变式训练6如右图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AEFC11.(1)求证：E、B、F、D1四点共面；(2)若点G在BC上，BG，点M在BB1上，GMBF，垂足为H.求证：EM面BCC1B1.,栏目链接,证明：(1)如右图，在DD1上取点N，使DN1，连接EN、CN，则AEDN1，CFND12.因为AEDN，ND1CF，所以四边形ADNE、CFD1N都为平行四边形从而EN綊AD，FD1綊CN.又因为AD綊BC，所以EN綊BC.故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CNBE，从而FD1BE.因此，E、B、F、D1四点共面,栏目链接,栏目链接,直线与平面垂直的性质,如右图，已知矩形ABCD，过点A作SA平面ABCD，再过点A作AESB交SB于点E，过点E作EFSC交SC于点F.(1)求证：AFSC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AGSD.,栏目链接,分析：本题是证线线垂直问题，可通过证线面垂直来实现结合上图，欲证AFSC，只需证SC垂直于AF所在平面，即SC平面AEF，由已知，欲证SC平面AEF，只需证AE垂直于SC所在平面，即AE平面SBC，再由已知只需证AEBC，而要证AEBC，只需证BC平面SAB，而这可由已知得证证明：(1)SA平面AC，BC平面AC，SABC.ABCD是矩形，ABBC.BC平面SAB.AE平面SAB，BCAE.,栏目链接,又SBAE且SBBCB，AE平面SBC.AESC.又EFSC，SC平面AEF.AFSC.(2)SA平面AC，SADC.又ADDC，DC平面SAD.又AG平面SAD，DCAG.又由(1)有SC平面AEF，AG平面AEF.SCAG.AG平面SDC.AGSD.,栏目链接,规律总结：上述直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行的相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们,栏目链接,变式训练7如下图，正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBDO，A1C1B1D1O1.求证：OO1平面ABCD.证明：方法一在正方体中，AA1A1B1，AA1A1D1，且A1B1A1D1A1，A1A平面A1B1C1D1.A1C1面A1B1C1D1，A1AA1C1.同理CC1A1C1.又A1O1O1C1，AA1CC1，AA1O1CC1O1.O1AO1C.,栏目链接,栏目链接,四边形AA1C1C为平行四边形又O、O1分别为AC、A1C1的中点，OO1AA1.OO1平面ABCD.,栏目链接,直线与平面所成的角,已知平面外两点A、B到平面的距离分别为1和2，A、B两点在平面内的射影之间的距离为，求直线AB和平面所成的角分析：平面外两点A、B到平面的距离分别为1和2，首先应想到A、B两点与平面所处的位置关系A、B两点与平面的位置不外乎有以下两种情形：(1)点A、B位于平面的同侧；(2)点A、B位于平面的异侧应按这两种情形来解答直线AB与平面所成角的大小,栏目链接,栏目链接,(2)当点A、B位于平面的异侧时，如图所示，由点A、B分别向平面作垂线，垂足分别为A1、B1.AB与平面相交于点C，A1B1为AB在平面上的射影BCB1或ACA1为直线AB与平面所成的角在RtBCB1中，BB12.在RtAA1C中，AA11.,栏目链接,BCB160.直线AB与平面所成的角为60.综合(1)、(2)可知，直线AB与平面所成的角为30或60.,栏目链接,规律总结：(1)根据问题的具体情况，想到问题可能出现的各种情况，然后分类处理，是解好本题的关键(2)求斜线与平面所成的角的程序作图：作(或找)出斜线在平面的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算,栏目链接,变式训练8如图所示，RtBMC中，斜边BM5，它在平面ABC上的射影AB的长为4，MBC60，求MC于平面CAB所成角的正弦值,
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