2019-2020年高三数学上学期第二次摸底考试试题 文.doc

2019-2020年高三数学上学期第二次摸底考试试题 文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=（x，y）|y=3x，B=（x，y）|y=2x，则AB=( ) A0 B1 C（0，1） D（1，0）2已知复数Z=( ) A.2+i B.2-i C.-l-2i D.-1+2i3函数f（x）=|log2x|+x2的零点个数为（ ）A1 B2C3D44已知数列an是等比数列，且a2+a6=3，a6+a10=12，则a8+a12=（ ）A12B24C24D485若变量x、y满足条件，则z=2xy的取值范围是（ ）A .B（2，4C，sin2=，则cos=（）ABCD8某几何体的三视图如图所示，若其正视图为等腰梯形，侧视图为正三角形，则该几何体的表面积为（）A2+2B6C4+2D8高三文数试题共4页第2页9已知D、E分别是ABC的边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若=x+y，则xy的最大值为（）ABCD10在多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD，AC=AD=CD=DE=2AB，F为棱CE上异于点C、E的动点，则下列说法正确的有（ ）直线DE与平面ABF平行；当F为CE的中点时，BF平面CDE；存在点F使得直线BF与AC平行；存在点F使得DFBCA1个B2个C3个D4个11已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，则|OA|2+|OB|2（O为坐标原点）的最小值为（）A4B8C10D1212已知f（x）为奇函数，当x时，f（x）=12|x|，当x（，1，f（x）=1e1x，若关于x的不等式f（x+m）f（x）有解，则实数m的取值范围为（ ）A（1，0）（0，+） B（2，0）（0，+）C .，ln2，1（0，+）D，ln2，0（0，+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13某商场根据甲、乙两种不同品牌的洗衣粉在周一至周五每天的销量绘制成如图所示的茎叶图，则销量的中位数较大的品牌是 14执行如图所示的程序框图，若输入p的值为31，则输出的k的值为 15定义在区间（m1，m+1）上的函数f（x）=lnxx2在该区间上不是单调函数，则实数m的取值范围是 16设数列an满足a1=5，且对任意整数n，总有（an+1+3）（an+3）=4an+4成立，则数列an的前xx项的和为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤17ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且asinAbsinB=（cb）sinC（1）求A；（2）若B=，点M在边BC上，且BC=3CM，AM=2，求ABC的面积18某次比赛结束后，a、b、c、d死命选手成功晋级四强，在接下来的比赛中，他们取得任何一个名次的机会均相等，且无并列名次，已知c、d两名选手已全部进入前3名，求：（1）选手a取得第一名的概率；（2）选手c的名次排在选手a的名次之前的概率19如图1，已知四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，A=60，C=90，CD=CB=2，将ABD沿BD折起，得到三棱锥ABCD，如图2（1）当AC=2，求证：AC平面BCD；（2）设BD的中点为E，当三棱锥ABCD的体积最大时，求点E到平面ABC的距离20已知离心率为的椭圆C：+=1（ab0）经过点（1，）（1）求椭圆C的方程；（2）P是椭圆C上的一点，点A、A分别为椭圆的左、右顶点，直线PA与y轴交于点M，直线PA与y轴交于点N，求|OM|2+|ON|2（O为坐标原点）的最小值21已知函数f（x）=xlnxx2（aR）（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）x有两个极值点x1、x2，是否存在实数a，使得=g（a）成立，若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题作答【选修4-1：几何证明选讲】22如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23已知曲线C1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是=4cos（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求OAB的面积（O为坐标原点）【选修4-5：不等式选讲】24设函数f（x）=|2x+1|+|xa|（aR）（1）当a=2时，求不等式f（x）4的解集；（2）当a，若存在x使得f（x）+x3成立，求a的取值范围高三文数试题共4页第4页高三文数试题共4页第3页参考答案与试题解析 数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）选：C点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）选：C点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题3（5分）函数f（x）=|log2x|+x2的零点个数为（）A1B2C3D4考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：将方程的解的个数转化为两个函数的交点问题，通过图象一目了然解答：解：函数f（x）=|log2x|+x2的零点个数，就是方程|log2x|+x2=0的根的个数，得|log2x|=2x，令f（x）=|log2x|，g（x）=2x，画出函数的图象，如图：由图象得：f（x）与g（x）有2个交点，方程|log2x|+x2=0解的个数为2个，故选：B点评：本题考查了函数根的存在性问题，考查转化思想，数形结合思想，是一道基础题4（5分）已知数列an是等比数列，且a2+a6=3，a6+a10=12，则a8+a12=（）A12B24C24D48考点：等比数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：设等比数列an的公比为q，利用等比数列的通项公式得出q2=2，再求值即可解答：解：设等比数列an的公比为q，且q0，a2+a6=3，a6+a10=12，q4=4，q2=2，a8+a12=q6（a2+a6）=24故选：B点评：本题考查等比数列的通项公式的灵活应用，以及整体代换思想，属于基础题5（5分）若变量x、y满足条件，则z=2xy的取值范围是（）AB（2，4C，sin2=，则cos=（）ABCD考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系 专题：三角函数的求值分析：由已知可求2，由sin2=，则由同角三角函数关系式可求cos2，由半角公式即可求cos的值解答：解：，2，由sin2=，则cos2=，cos=故选：C点评：本题主要考查了二倍角的正弦公式的应用，同角三角函数间的基本关系，半角公式的应用，属于基本知识的考查8（5分）某几何体的三视图如图所示，若其正视图为等腰梯形，侧视图为正三角形，则该几何体的表面积为（）A2+2B6C4+2D8考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是一个三棱柱，两端去掉一个全等的三棱锥，结合图中数据，求出它的表面积解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是三棱柱，两端去掉一个全等的三棱锥，如图所示；底面ABCD是矩形，AB=2，AD=1，EF平行底面，且EF=1；DE=AE=；过点E作EMAB，垂足为M，则AM=，EM=1；S梯形ABFE=（1+2）1=S梯形CDEF，SADE=SBCF=1=11=，S矩形ABCD=21=2；该几何体表面积S表面积=2+2+2=6故选：B点评：本题考查了利用几何体的三视图求几何体的表面积的应用问题，是基础题目9（5分）已知D、E分别是ABC的边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若=x+y，则xy的最大值为（）ABCD考点：基本不等式；平面向量的基本定理及其意义 专题：不等式的解法及应用；平面向量及应用分析：如图所示，由于点P是线段DE上的任意一点，利用向量共线定理可得：存在实数k使得=k+，与=x+y比较可得2x+y=，再利用基本不等式的性质即可得出解答：解：如图所示，点P是线段DE上的任意一点，存在实数k使得=k+，与=x+y比较可得：，2x+y=，化为xy，当且仅当2x=y=时取等号故选：B点评：本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（5分）在多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD，AC=AD=CD=DE=2AB，F为棱CE上异于点C、E的动点，则下列说法正确的有（）直线DE与平面ABF平行；当F为CE的中点时，BF平面CDE；存在点F使得直线BF与AC平行；存在点F使得DFBCA1个B2个C3个D4个考点：命题的真假判断与应用 专题：空间位置关系与距离；简易逻辑分析：由AB平面ACD，DE平面ACD，可得DEAB，利用线面平行的判定定理即可得到：直线DE与平面ABF平行，即可判断出正误；当F为CE的中点时，取CD的中点M，连接AM，MF，可得四边形ABFM是平行四边形，BFAM而AMCD，DEAM，可得AM平面CDE即可得出BF平面CDE，即可判断出正误；点C是平面ABF外的一点，因此BF与AC为异面直线，不可能平行，即可判断出正误；由可得：当F为CE的中点时，BFDF，DFCE，利用线面垂直的判定定理可得：DF平面BCE，即可判断出正误解答：解：AB平面ACD，DE平面ACD，DEAB，而DE平面ABF，AB平面ABF，直线DE与平面ABF平行，正确；当F为CE的中点时，取CD的中点M，连接AM，MF，则，又AB，ABMF，四边形ABFM是平行四边形，BFAM而AMCD，DEAM，CDDE=D，AM平面CDEBF平面CDE，因此正确；点C是平面ABF外的一点，因此BF与AC为异面直线，不可能平行，不正确；由可得：当F为CE的中点时，BFDF，DFCE，BFCE=F，DF平面BCE，存在点F使得DFBC，正确综上可得：正确故选：C点评：本题考查了空间线面位置关系的判定与性质定理，考查了空间想象能力，考查了推理能力，属于难题11（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，则|OA|2+|OB|2（O为坐标原点）的最小值为（）A4B8C10D12考点：抛物线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先讨论直线l的斜率不存在的情况，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x1），与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，然后把|OA|2+|OB|2表示为关于k的函数，利用函数求最小值解答：解：当直线l的斜率不存在，即直线l垂直于x轴时，方程为：x=1，则A（1，2），B（1，2）|OA|2+|OB|2=5+5=10当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x1），设A（x1，y1），B（x2，y2）由得：k2x2（2k2+4）x+k2=0，x1x2=1，|OA|2+|OB|2=设，则t2|OA|2+|OB|2=t2+4t2=（t+2）26 （t2）所以|OA|2+|OB|210综上可知：|OA|2+|OB|2的最小值为10故选：C点评：本题主要考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识在解题过程中思维的严谨性，要考虑直线的斜率不存在的情况12（5分）已知f（x）为奇函数，当x时，f（x）=12|x|，当x（，1，f（x）=1e1x，若关于x的不等式f（x+m）f（x）有解，则实数m的取值范围为（）A（1，0）（0，+）B（2，0）（0，+）C，ln2，1（0，+）D，ln2，0（0，+）考点：奇偶性与单调性的综合 专题：函数的性质及应用分析：根据函数的奇偶性求出函数f（x）的解析式，然后作出函数的图象，对m进行分类讨论进行求解即可解答：解：若x，则x，则f（x）=12|x|=12|x+|，f（x）是奇函数，f（x）=12|x+|=f（x），则f（x）=2|x+|1，x，若x，则f（x）=1e1+x=f（x），则f（x）=e1+x1，x分析：由已知利用递推思想求出数列an是以4为周期的数列，且a1+a2+a3+a4=，由此能求出数列an的前xx项的和解答：解：数列an满足a1=5，且对任意整数n，总有（an+1+3）（an+3）=4an+4成立，8（a2+3）=24，解得a2=0，3（a3+3）=4，解得a3=，解得a4=5，2（a5+3）=16，解得a5=5数列an是以4为周期的数列，且a1+a2+a3+a4=，xx=5034+3，Sxx=503（）+5+0=835故答案为：835点评：本题考查数列an的前xx项的和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数列的周期性质的合理运用三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤17（12分）ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且asinAbsinB=（cb）sinC（1）求A；（2）若B=，点M在边BC上，且BC=3CM，AM=2，求ABC的面积考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：（1）由asinAbsinB=（cb）sinC，由正弦定理可得：a2b2=c2bc，再利用余弦定理即可得出（2）由B=，A=可得ABC是等边三角形，设AB=a，则BM=在ABM中，由余弦定理可得：AM2=AB2+BM22BABMcosB，解出即可解答：解：（1）asinAbsinB=（cb）sinC，由正弦定理可得：a2b2=c2bc，化为b2+c2a2=bc，由余弦定理可得：cosA=，又A（0，），A=（2）B=，A=ABC是等边三角形，设AB=a，则BM=在ABM中，由余弦定理可得：AM2=AB2+BM22BABMcosB，化为a2=36，解得a=6SABC=点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）某次比赛结束后，a、b、c、d死命选手成功晋级四强，在接下来的比赛中，他们取得任何一个名次的机会均相等，且无并列名次，已知c、d两名选手已全部进入前3名，求：（1）选手a取得第一名的概率；（2）选手c的名次排在选手a的名次之前的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：概率与统计分析：（1）列举总的基本事件的情况，找出满足条件的事件情况即可；（2）由（）再找出满足条件的事件情况即可解答：解：（）总的事件：bcda，bdca，cbda，adba，dbca，dcba，acdb，adcb，cadb，cdab，dacb，dcab共12种情形，而选手a获得第一名的情形有：acdb，adcb共2种情形所有选手a获得第一名的概率为（）由（）知，选手a的名次排在选手c的名次之后，有acdb，adcb，dacb共3种，故所求概率为点评：本题考查列举法计算基本事件数及概率问题，属基础题19（12分）如图1，已知四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，A=60，C=90，CD=CB=2，将ABD沿BD折起，得到三棱锥ABCD，如图2（1）当AC=2，求证：AC平面BCD；（2）设BD的中点为E，当三棱锥ABCD的体积最大时，求点E到平面ABC的距离考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）由题意可得：AB=AD=BD=2，AC=BC=CD=2，利用勾股定理的逆定理可得：ACBC，ACCD，即可证明；（2）当三棱锥ABCD的体积最大时，则平面ABD平面BCD，连接AE，由AEBD，可得AE平面BCD，过点E作EFBC于F，连接AF，则AFBC；过点E作EMAF于M，则EM平面ABC，EM即为所求的距离利用直角三角形的面积即可得出解答：（1）证明：由题意可得：AB=AD=BD=2，AC=BC=CD=2，AC2+BC2=AB2，AC2+CD2=AD2，ACBC，ACCD，BCCD=CAC平面BCD（2）解：当三棱锥ABCD的体积最大时，则平面ABD平面BCD，连接AE，由AEBD，可得AE平面BCD，过点E作EFBC于F，连接AF，则AFBC；过点E作EMAF于M，则EM平面ABC，EM即为所求的距离在RtEFA中，EF=1，则EM=点E到平面ABC的距离为点评：本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、勾股定理的逆定理，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题20（12分）已知离心率为的椭圆C：+=1（ab0）经过点（1，）（1）求椭圆C的方程；（2）P是椭圆C上的一点，点A、A分别为椭圆的左、右顶点，直线PA与y轴交于点M，直线PA与y轴交于点N，求|OM|2+|ON|2（O为坐标原点）的最小值考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由离心率的值、椭圆经过点（1，），及a、b、c之间的关系，求出a、b的值，进而得到椭圆C的方程（2）由于P是椭圆C上的一点，得到P点的坐标满足的关系式，求出直线PA与直线PA的方程，进而得到点M，N的坐标，即可得到|OM|2+|ON|2的最小值解答：解：（1）由于椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，则a=2c，b=c，又由椭圆C：+=1（ab0）经过点（1，），则c2=1，故a=2，b=，所以椭圆方程为（2）设P（m，n），由于P是椭圆C上的一点，则，即4m2=，又由点A、A分别为椭圆的左、右顶点，直线PA与y轴交于点M，直线PA与y轴交于点N，则直线PA：y=（x+2），直线PA：y=（x2），令x=0，得M（0，），N（0，），则|OM|2+|ON|2=（）2+（）2，将代入得|OM|2+|ON|2=，由于0m24，故当m2=0时，|OM|2+|ON|2取最小值6点评：本题考查椭圆的标准方程和简单性质，考查直线的圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答21（12分）已知函数f（x）=xlnxx2（aR）（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）x有两个极值点x1、x2，是否存在实数a，使得=g（a）成立，若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用分析：（1）求出导数，求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出g（x）的导数，由题意可得即g（x）=0有两个不同的实根设h（x）=lnxax，求出导数，对a讨论，当a0时，当a0时，求得单调区间得到最大值，令最大值大于0，解得a的范围0a，即可判断不存在实数a解答：解：（1）若a=2，则f（x）=xlnxx2，导数f（x）=1+lnx2x，又f（1）=1，f（1）=1，即有曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y+1=（x1），即为y=x；（2）g（x）=f（x）1=lnxax，g（x）=f（x）x有两个极值点x1、x2，即g（x）=0有两个不同的实根设h（x）=lnxax，h（x）=a，当a0时，h（x）0，h（x）递增，g（x）=0不可能有两个实根；当a0时，若0x，h（x）0，h（x）递增，若x，h（x）0，h（x）递减则h（）取得极大值，也为最大值，且为1lna0，即有0a，g（a）=lnaa20，不妨设x2x10，g（x1）=g（x2）=0，lnx1ax1=lnx2ax2=0，lnx1lnx2=a（x1x2），即=a0，故不存在实数a，使得=g（a）成立点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间及极值，主要考查导数的几何意义和构造函数运用单调性，运用分类讨论的思想方法是解题的关键请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题作答【选修4-1：几何证明选讲】22（10分）如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题；立体几何分析：（1）利用PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，证明：DGP=PDG，即可证明PC=PD；（2）若AC=BD，证明DE为圆的一条直径，即可证明线段AB与DE互相平分解答：证明：（1）PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，PDA=DBA，BDA=90，DBA+DAB=90，PEAB在RtAFG中，FGA+GAF=90，FGA+DAB=90，FGA=DBAFGA=DGP，DGP=PDA，DGP=PDG，PG=PD；（2）连接AE，则CEAB，AB为圆的一条直径，AE=AC=BD，EDA=DAB，DEA=DBA，BDAEAD，DE=AB，DE为圆的一条直径，线段AB与DE互相平分点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查圆的切线的性质，比较基础【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23已知曲线C1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是=4cos（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求OAB的面积（O为坐标原点）考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：（1）把消去化为普通方程，由极坐标方程=4cos化为直角坐标方程得x2+y2=4x，联立求出交点的直角坐标，化为极坐标得答案；（2）画出两圆，数形结合得到A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大，求出|AB|及O到AB的距离代入三角形的面积公式得答案解答：解：（1）由，得，两式平方作和得：x2+（y2）2=4，即x2+y24y=0；由=4cos，得2=4cos，即x2+y2=4x两式作差得：x+y=0，代入C1得交点为（0，0），（2，2）其极坐标为（0，0），（）；（2）如图，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大此时|AB|=，O到AB的距离为OAB的面积为S=点评：本题考查了参数方程化普通方程，极坐标与直角坐标的互化，考查了数形结合的解题思想方法，是基础的计算题【选修4-5：不等式选讲】24设函数f（x）=|2x+1|+|xa|（aR）（1）当a=2时，求不等式f（x）4的解集；（2）当a，若存在x使得f（x）+x3成立，求a的取值范围考点：绝对值不等式的解法 专题：不等式的解法及应用；不等式分析：对第（1）问，将a=2代入f（x）中，分“x2”“”“x”去掉绝对值符号进行讨论，化简不等式f（x）4，即得其解集；对第（2）问，令g（x）=f（x）+x，因存在x，使得f（x）+x3成立，即g（x）有解，只需min3，作出g（x）的图象，用a表示g（x）的最小值，解关于a的不等式即可得a的取值范围解答：解：（1）令|2x+1|=0，得；令|x2|=0，得x=2当x2时，原不等式化为2x+1+x24，即x，得x；当时，原不等式化为2x+1+2x4，即x1，得；当x时，原不等式化为2x1+2x4，即x1，得1x综合、，得原不等式的解集为x|1x1（2）令g（x）=f（x）+x，当x时，g（x）=|xa|x1，由a，得g（x）=，由于存在x，使f（x）+x3成立，即g（x）3在（，内有解，只需min3即可作出g（x）的大致图象，易知，min=g（a）=a1，a13，得a4点评：本题考查了含绝对值不等式的解法，以及含参数的不等式有解问题的求解，关键是善于运用分类讨论思想及数形结合思想进行求解（1）分类讨论时，同一类中取交集，类与类之间取并集（2）常数 mg（x）有解，只需mmin；mg（x）有解，只需mmax