2019-2020年高三上学期周练（8.14）数学试题 含解析.doc

2019-2020年高三上学期周练（8.14）数学试题 含解析一、选择题（共12小题，共60分）1设函数是定义在上的偶函数, 对任意,都有,且当时, 若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根, 则的取值范围是（ ）A B C D2已知分别是双曲线的左、右焦点, 点在双曲线右支上, 且为坐标原点), 若,则该双曲线的离心率为（ ）A B C D3已知双曲线 的离心率为,则的渐近线方程为（ ）A BC D4函数落在区间的所有零点之和为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 55要完成下列3项抽样调查：从15瓶饮料中抽取5瓶进行食品卫生检查.某校报告厅有25排，每排有38个座位，有一次报告会恰好坐满了学生，报告会结束后，为了听取意见，需要抽取25名学生进行座谈.某中学共有240名教职工，其中一般教师180名，行政人员24名，后勤人员36名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是（ ）A简单随机抽样,系统抽样,分层抽样 B简单随机抽样,分层抽样,系统抽样C系统抽样,简单随机抽样,分层抽样 D分层抽样,系统抽样,简单随机抽样6已知分别是双曲线的左、右焦点, 点在双曲线右支上, 且为坐标原点), 若,则该双曲线的离心率为（ ）A B C D7已知函数，则函数的零点个数为（ ） A 2 B 3 C4 D 58设数列首项，为的前项和，若，当取最大值时，（ ）A 4 B2 C 6 D 39已知为函数的导函数，且，若，则方程有且仅有一个根时的取值范围是（ ） A B C D10已知点在双曲线的右支上，分别为双曲线的左、右焦点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A B C D11已知为抛物线上异于原点的两个点，为坐标原点，直线斜率为2，则重心的纵坐标为（ ）A2 B C D112已知点是抛物线与圆在第一象限的公共点，且点到抛物线焦点的距离为，若抛物线上一动点到其准线与到点的距离之和的最小值为，为坐标原点，则直线被圆所截得的弦长为（ ）A2 B C D第II卷（非选择题）二、填空题（4小题，共20分）13已知数列满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .14过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点.若，则双曲线的离心率为_.15关于下列命题：若一组数据中的每一个数据都加上同一个数后，方差恒不变；满足方程的值为函数的极值点； 命题“p且q为真” 是命题“p或q为真”的必要不充分条件；若函数（且）的反函数的图像过点，则的最小值为；点是曲线上一动点，则的最小值是。其中正确的命题的序号是_（注：把你认为正确的命题的序号都填上）。三、解答题（8小题，共70分）17已知函数.（1）求的极值；（2）若,关于的方程有唯一解,求的值.18已知数列的前项和,且.（1）求函数的通项公式；（2）求数列的前项和.19已知函数为自然对数的底数)（1）若,求函数的单调区间；（2）若,且方程在内有解,求实数的取值范围.20如图,四棱锥中,与都是等边三角形.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.21设数列的前项之积为，且（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项之和为若对任意的，总有，求实数的取值范围22已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆E上（1）求椭圆E的方程；（2）设过点的直线与椭圆相交于、两点，若的中点恰好为点，求直线的方程23已知函数的图像两相邻对称轴之间的距离是，若将的图像先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得函数为奇函数.（1）求的解析式；（2）求的对称轴及单调区间；（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.24甲、乙两人约定在中午时到下午时之间到某站乘公共汽车, 又知这段时间内有班公共汽车.设到站时间分别为，.如果他们约定：见车就乘；最多等一辆.试分别求出在两种情况下两人同乘一辆车的概率.假设甲乙两人到达车站的时间是相互独立的，且每人在中午点到点的任意时刻到达车站是等可能的.参考答案1B【解析】试题分析：由得,作出图像如下.关于的方程恰有三个不同的实数根, 就是函数与有三个不同的交点，即，选B.-1考点：函数零点【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.2A【解析】试题分析：,其中M为中点，因此，从而，选A.考点：双曲线定义及离心率【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，双曲线的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.3C【解析】试题分析：因,令,故,所以,应选C.考点：双曲线的几何性质.4C【解析】试题分析：因既是函数的对称中心也是函数的对称中心,且函数的周期是,所以函数的图象与函数的图象有四个交点(横坐标依次为),其横坐标关于对称,即,即,则所有的横坐标之和为.故应选C.考点：函数的图象和性质及运用.【易错点晴】函数的图象是函数的定义域和值域在平面直角坐标系中具体体现,是数形结合的平台和桥梁.本题考查的是函数图象在确定函数的图象交点中运用问题.解答时充分利用题设中所提供的有效信息进行分析和判断,其目的是检测运用所学知识分析问题和解决问题的能力及运用数形结合的思想解答问题思维意识.解答本题的关键是能认识到两个函数都中心对称图形而且具有相同的对称中心,进而运用对称性求出了所有交点的横坐标之和.5A【解析】试题分析：由抽样方法的特点可知应用简单随机抽样；应用系统抽样；应用分层抽样较为合适.故应选A.考点：抽样方法.6A【解析】试题分析：,其中M为中点，因此，从而，选A.考点：双曲线定义及离心率【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，双曲线的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.7C【解析】试题分析：作图如下：，所以选C.考点：函数图像【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.8D【解析】试题分析：由题意得，所以当且仅当时取等号，选D.考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9A【解析】试题分析：，因此，从而，令，则，当时，又，此时方程，即有且仅有一个根；当时，负舍，因此先减后增，要使方程，即有且仅有一个根，须时，即，因此的取值范围是，选A.考点：函数零点【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.10D【解析】试题分析：因为，所以，又，所以，选D.考点：双曲线定义及离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11C【解析】试题分析：设，则，因此重心的纵坐标为，选C.考点：直线与抛物线位置关系12C【解析】试题分析：因抛物线上一动点到其准线与到点的距离之和最小值为，又三点共线，且是线段的中点，则圆心到直线的距离为所求的弦长为,故应选C.考点：圆与抛物线的位置关系及运用.【易错点晴】本题考查的是圆与抛物线的位置关系等有关知识的综合运用.解答时充分依据题设条件所提供的有效信息,先利用抛物线的定义将问题进行合理转化,再次运用等价转化的数学思想将最小值问题也进行了转化.从而使得问题简单明了,最后通过将点代入抛物线方程可得,建立的直线方程借助圆心距与半径弦长之间的关系求出弦长.求的值是解答本题的难点也是关键之所在,解决这个难点的方法值得借鉴和学习.13【解析】试题分析：所以，又，当且仅当时取等号，所以考点：数列通项，基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14【解析】试题分析：由题设可得，则双曲线的离心率,故应填.考点：双曲线的几何性质及运用15【解析】试题分析：由，可知数据同增加一个数，平均数也增加相同的数，方差不变。正确；反例为；，不是极值点，错误； 由题“p且q为真”可知命题全为真，可推出“p或q为真”，为充分条件，错误；反函数的图像过点，可得；， ，正确；点是曲线上一动点，则，可看作在抛物线上的点，到准线和点距离和的最小值，可结合抛物线的定义，转化为焦点到的距离为最小值，可得； 。正确；考点：方差的性质，极值，反函数及抛物线的性质。【答案】【解析】试题分析：由题可运用定积分求体积即： 考点：类比推理17(1)；(2).【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用导数求解；(2)借助题设条件运用导数的知识求解.试题解析：（1）,当为奇数时，在上递增，无极值，当为偶数时, 在上单调递减, 上单调递增, 有极小值,.（2）,则,令，.当时, 间在上单调递减, 当时, 间在上单调递增. 又有唯一解, 即-得：.考点：导数在研究函数的单调性及极值等方面的综合运用【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求函数的极值问题,解答时先求导后对自然数进行讨论,判定导函数值的符号,确定函数的单调性,进而求出的极值；第二问运用构造函数,进而将问题等价转化,最后借助题设中的有唯一解建立了方程组求出使得问题获解.18(1)；(2).【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用递推关系式分类求解；(2)借助题设条件运用等比数列求和与错位相减法求解.试题解析：（1）当时,.当时, 综上所述,.（2）由（1）知则 -得：,.考点：等比数列的通项公式与求和公式等有关知识的综合运用19(1)递增区间为,递减区间为；(2)【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用导数求解；(2)借助题设条件运用导数的知识构造函数求解.试题解析：（1）当,所以, 时, 的单调递减区间为；时, 的单调递增区间为,递减区间为；时, 的单调递增区间为,递减区间为.（2）由得.由得,设,则 在内有零点. 设为在内的一个零点, 则由、知在区间和上不可能单调递增,也不可能单调递减,设,则在区间和上均存在零点, 即在上至少有两个零点.当时, 在区间上递增,不可能有两个及以上零点；当时, 在区间上递减,不可能有两个及以上零点；当时, 得所以在区间上递减, 在上递增, 在区间上存在最小值,若有两个零点, 则有：.,设,则,令,得,当时, 递增, 当时, 递减, 恒成立.由,得.当时, 设的两个零点为,则在递增, 在递减, 在递增, 所以,则在内有零点.综上,实数的取值范围是.考点：导数在研究函数的单调性和极值最值等方面的综合运用【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求函数的单调区间问题,由于,因此解答时先求导后对参数进行讨论,判定导函数值的符号,确定函数的单调性,进而求出的单调区间；第二问运用,将两个参数变为一个,然后构造函数,进而将问题进行等价转化,最后借助题设条件求出参数的取值范围是.20(1)证明见解析；(2)【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用线面垂直的性质定理推证；(2)借助题设条件运用空间向量的数量积公式求解.试题解析：（1）取的中点,连接,则为正方形过作平面,垂足为连,由和都是等边三角形可知,即点为正方形对角线的交点, 故,从而平面,是的中点, 是的中点, 因此.（2）由（1）可知, 方向为轴正方向, 方向为轴正方向, 方向为轴正方向, 建立如图所示的直角坐标系,设,则,设平面的法向量,取,得,即,因为平面,设平面的法向量为,取.由图象可知二面角的大小为锐角, 所以,二面角的余弦值为.考点：空间的直线与平面的位置关系及空间向量的数量积公式等有关知识的综合运用21（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由，得，再由可得数列的通项公式；（2）先求出，然后，再根据对任意的可得实数的取值范围.试题解析：（1）由，得，所以，所以又，所以.（2）由，得，所以因为对任意的，故所求的取值范围是考点：1、等比数列的性质和通项公式；2、等比数列前 项和公式.22（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由题得，又，解出即可得出；（2）设直线的斜率为，可得，两式相减再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出试题解析：（1）由题得，又 ，解得，椭圆方程为： ；（2）设直线的斜率为， ， ，两式相减得，是AB中点， ，代入上式得： ，解得 ，直线 .考点：（1）椭圆的方程；（2）直线与椭圆的位置关系.【方法点晴】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、斜率计算公式、中点坐标坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题在（1）中直接根据题意得到关于的方程组，得解，属于基础题；在直线与圆锥曲线的综合中，当涉及到直线与圆锥曲线相交，与交点的中点以及直线的斜率时，主要采用“点差法”，即设出交点坐标，故其满足圆锥曲线的方程，代入得到两个等式，然后两式相减，构造出直线所对应的斜率.23(1)；(2)增区间为，减区间为；(3).【解析】试题分析：(1)借助题设条件待定求解；(2)借助题设条件运用正弦函数的图象求解；(3)依据题设条件将不等式中的参数分离出来求解.试题解析：（1）， 1分又为奇函数，且，则， 3分故； 4分（2）对称轴：， 6分增区间为，减区间为；8分（3）由于，故 10分 恒成立，整理可得，12分由，得：，故，即取值范围是. 14分考点：正弦函数的图象和性质及图象的变换等有关知识的综合运用【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要的内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先借助题设条件求出函数解析表达式中的参数,这是解答本题的关键和突破口,只有求出参数的值,才能再去解决题设中提供的其它几个问题.求解时先利用两个对称轴之间的距离是,确定函数的最小正周期,进而求出;再运用题设条件可得,由是奇函数,并借助奇函数的定义可得,即,所以求得.24.【解析】试题分析：借助题设条件运用古典概型和几何概型的计算公式分别求解.试题解析：设分别表示甲、乙两人在分钟内到达车站的时刻，则样本空间 2分记事件表示“见车就乘，两人同乘一辆车”，则：，；7分记事件表示“最多等一辆，且两人同乘一辆车”，则： 12分考点：古典概型和几何概型的计算公式等有关知识的综合运用，两式平方相加，得，曲线的普遍方程是它表示以为圆心，1为半径的圆 . （）设圆上的动点，则当时， 考点：参数方程与普通方程的互化运用；两点间的距离公式.