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命题及其关系,1.1.2命题的四种形式,下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？,若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。,观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间分别有什么关系？,若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；,互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。原命题：其中一个命题叫做原命题。逆命题：另一个命题叫做原命题的逆命题。,即原命题:若p,则q,逆命题:若q,则p,例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”。,观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间分别有什么关系？,若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；3.若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数.,原命题:若p,则q,为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作“p”“q”,否命题:若p,则q,互否命题原命题(原命题的)否命题,例如，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是“同位角不相等，两直线不平行”。,观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别有什么关系？,若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；4.若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.,原命题:若p,则q,逆否命题:若q,则p,互为逆否命题原命题(原命题的)逆否命题,例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是“两直线不平行，同位角不相等”。,、互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。,、互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题。,、互逆命题：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。,三个概念,四种命题的关系：,原命题,逆命题,否命题,逆否命题,四种命题形式:原命题:逆命题:否命题:逆否命题:,若p,则q若q,则p若p,则q若q,则p,判断正误,并说明理由:,(1)若原命题是“对顶角相等”,它的否命题是“对顶角不相等”。(2)若原命题是“对顶角相等”,它的否命题是“不成对顶关系的两个角不相等”。,否命题与命题的否定,否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结论不否定条件。对于原命题:若p,则q有否命题:若p,则q。命题的否定:若p，则q。,原命题：若ab，则a+cb+c.,逆命题：,逆否命题：,否命题：,3.知识巩固,原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。,否命题：,逆命题：,逆否命题：,若a+cb+c，则ab.,若ab，则a+cb+c.,若a+cb+c，则ab.,若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。,若四边形不是正方形，则四边形两对角线不垂直。,若四边形两对角线不垂直，则四边形不是正方形。,分别写出下列命题。,若q则p,若p则q,若q则p,一.四种命题的概念,3.知识巩固,一.四种命题的概念,把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出逆命题、否命题、逆否命题。,1.负数的平方是正数,2.正方形的四条边相等,原命题：,否命题：,逆命题：,逆否命题：,原命题：,否命题：,逆命题：,逆否命题：,若一个数是负数，则它的平方是正数。,若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。,若一个数的平方是正数，则它是负数。,若一个数不是负数，则它的平方不是正数。,若一个数的平方不是正数，则它不是负数。,若一个四边形的四条边相等，则它是正方形。,若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。,若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形。,原命题：若ab，则a+cb+c,逆命题：若a+cb+c，则ab,原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。,逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。,原命题：若ab，则ac2bc2,逆命题：若ac2bc2，则ab,原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。,逆命题：若四边形是平行四边形，则四边形对角线相等。,真,真,真,假,假,真,假,假,判断下列命题的真假，并总结规律。,1.互逆命题的真假关系,二.四种命题的关系,原命题与其逆命题的真假是否存在相关性呢?,结论1,原命题的真假和逆命题的真假没有关系。,原命题：若ab，则a+cb+c,否命题：若ab，则a+cb+c,原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。,否命题：若四边形不是正方形，则四边形两对角线不垂直。,原命题：若ab，则ac2bc2,否命题：若ab，则ac2bc2,原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。,否命题：若四边形对角线不相等，则四边形不是平行四边形。,真,真,真,假,假,真,假,假,判断下列否命题的真假，并总结规律。,二.四种命题的关系,2.互否命题的真假关系,原命题与其否命题的真假是否存在相关性呢?,结论2,原命题的真假和否命题的真假没有关系。,原命题：若ab，则a+cb+c,逆否命题：若a+cb+c，则ab,原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。,逆否命题：若四边形两对角线不垂直，则四边形不是正方形。,原命题：若ab，则ac2bc2,逆否命题：若ac2bc2，则ab,原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。,逆否命题：若四边形不是平行四边形，则四边形对角线不相等。,真,真,真,真,假,假,假,假,判断下列逆否命题的真假，并总结规律。,3.互为逆否命题的真假关系,二.四种命题的关系,原命题与其逆否命题的真假是否存在相关性呢?,结论3,原命题和逆否命题总是同真同假。,否命题：若ab，则a+cb+c,逆命题：若a+cb+c，则ab,否命题：若四边形是不正方形，则四边形两对角线不垂直。,逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。,否命题：若ab，则ac2bc2,逆命题：若ac2bc2，则ab,否命题：若四边形对角线不相等，则四边形不是平行四边形。,逆命题：若四边形是平行四边形，则四边形对角线相等。,真,真,假,假,真,真,假,假,观察下列命题的真假，并总结规律。,二.四种命题的关系,4.否命题和逆命题的真假关系,否命题与其逆命题的真假是否存在相关性呢?,结论4,逆命题和否命题总是同真同假。,小结,原命题若p则q,逆命题若q则p,否命题若p则q,逆否命题若q则p,互为逆否同真同假,互为逆否同真同假,例设原命题是“当c0时，若ab，则acbc”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：,解：逆命题：当c0时，若acbc，则ab逆命题为真,否命题：当c0时，若ab，则acbc否命题为真,逆否命题：当c0时，若acbc，则ab逆否命题为真,准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.,不是,不都是,不大于,大于或等于,一个也没有,至少有两个,至多有（n-1)个,至少有（n+1)个,存在某x，不成立,存在某x，成立,练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。,（1）若q1,则方程有实根。（2）若ab=0,则a=0或b=0.,观察与思考,？,你能说出其中任意两个命题之间的关系吗?,2）原命题：若a=0,则ab=0。,逆命题：若ab=0,则a=0。,否命题：若a0,则ab0。,逆否命题：若ab0,则a0。,(真),(假),(假),(真),(真),2.四种命题的真假,看下面的例子：,1）原命题：若x=2或x=3,则x2-5x+6=0。,逆命题：若x2-5x+6=0,则x=2或x=3。,否命题：若x2且x3,则x2-5x+60。,逆否命题：若x2-5x+60，则x2且x3。,(真),(真),(真),3）原命题：若xAB，则xUAUB。,假,假,假,假,四种命题的真假,有且只有下面四种情况:,想一想？,（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。,由以上三例及总结我们能发现什么？,即原命题与逆否命题同真假。,原命题的逆命题与否命题同真假。,（1）原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。,(两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系).,几条结论:,1.判断下列说法是否正确。,1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；,（对）,2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。,（对）,2.四种命题真假的个数可能为（）个。,答：0个、2个、4个。,如：原命题：若AB=A,则AB=。,逆命题：若AB=，则AB=A。,否命题：若ABA，则AB。,逆否命题：若AB，则ABA。,（假）,（假）,（假）,（假）,3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。,（错）,4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。,（错）,练一练,练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。,（1）若q1,则方程有实根。（2）若ab=0,则a=0或b=0.（3）若或，则。（4）若，则x,y全为零。,总结,反证法：,要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的。即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。,小结：四种命题的关系：,原命题若p则q,逆命题若q则p,否命题若p则q,逆否命题若q则p,互为逆否同真同假,互为逆否同真同假,作业：,P8习题2第2题,
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