2019-2020年高考数学 必过关题5 数列2.doc

2019-2020年高考数学 必过关题5 数列2一、填空题【考点一】等差数列的和1.设等差数列的公差不为,其前项和是.若,则_ _.【答案】 5 解析 由知，所以，所以5.2.等差数列前n项和为，已知，,则_【答案】10解析由得或，.3. 设是等差数列的前项和，已知则=_.【答案】18解析 ，.4.在等差数列中，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_【答案】解析 因为，当且仅当时取最大值，可知且同时满足，所以，易得.5.若等差数列满足，则当 时，的前项和最大.【答案】解析 由等差数列的性质，又因为，所以，所以，所以，故数列的前8项最大.6.已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是_【答案】5个解析 由等差数列的前n项和及等差中项，可得，故，为整数7.等差数列an的公差为d，关于x的不等式 的解集为0,22，则使数列an的前n项和Sn最大的正整数n的值是 【答案】11解析 由已知得d0，得n11.5，于是数列的前11项为正数，故所求最大的正整数n的值是11.【考点二】等比数列的和8. 已知为等比数列，Sn是它的前n项和.若， 且与2的等差中项为，则=_.【答案】31解析 由知，即，所以=，所以，所以=31.9. 已知an是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan1(nN*)的取值范围是 .【答案】8，)解析 由a2=2，a5=，得到q=，且a1=4，所以数列anan+1是以8为首项，为公比的等比数列，则a1a2+a2a3+anan+1=，所以a1a2+a2a3+anan+1（nN*）的取值范围是8，).10.正项数列满足,又数列是以为公比的等比数列,则使得不等式成立的最大整数为 .【答案】9解析 由数列是以为公比的等比数列知，即，所以数列中奇数项及偶数项分别成等比数列.因此数列中奇数项及偶数项也分别成等比数列.所以 ，解得最大整数为9.【考点三】等差、等比数列的综合应用11. 设等差数列的前项和为，若，则的最大值为_【答案】解析 等差数列的前项和为，且， 而，故的最大值为.12.设数列是等差数列,数列是等比数列,记数列,的前n项和分别为,.若a5=b5,a6=b6,且,则=_.【答案】解析 因为，所以，所以，所以.13.已知数列的前项和,若对任意正整数,恒成立,则实数的取值范围是_.【答案】解析 当n=1时，a1=S1=1；当n2时，an=SnSn1=（1）nn（1）n-1（n1）=（1）n（2n1）对任意正整数n，（an+1p）（anp）0恒成立，（1）n+1（2n+1）p（1）n（2n1）p0，当n是奇数时，化为p（2n+1）p（2n1）0，解得12np2n1，对任意正奇数n都成立，取n=1时，可得-1p3当n是正偶数时，化为p（2n-1）p（1+2n）0，解得12np2n1，对任意正偶数n都成立，取n=2时，可得-5p3联立，解得-1p3实数p的取值范围是（-1，3）14.对于各项都是正数的数列,定义=为的“靶”值,现知某数列的“靶”值为=,则数列的前n项和的取值范围是_.【答案】,5)解析 由题意得=，变形得，所以，所以，即，所以，利用错位相减法求得.15. 已知数列的通项公式，前n项和为，若，则的最大值是 .【答案】 10解析 ，当各项均为非负数时有最大值10.16. 等差数列的前项和为,已知,则的最小值为_.【答案】 解析 由得，令f（n）=nSn，则f(n)，令f（n）=0，得n=0或n.当n时，时，f（n）0，0n时，f（n）0，当n时，f（n）取最小值，而nN*，又f（6）=48，f（7）=49，当n=7时，f（n）取最小值-49【考点四】递推数列17. 数列an中，a16，且anan1n1(nN*，n2)，则这个数列的通项an_.【答案】(n1)(n2)解析 由已知等式得nan(n1)an1n(n1)(nN*，n2)，则1，所以数列是以3为首项，1为公差的等差数列，即n2，则an(n1)(n2)n1时，此式也成立18.已知是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，yR，都有f(xy)成立数列an满足anf(2n)(nN*)，且a12.则数列的通项公式an_.【答案】解析 由an1f(2n1)2f(2n)2nf(2)2an2n1，得1，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以n，ann2n.二、解答题19.已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数证明：an2an.是否存在，使得an为等差数列？并说明理由解析 证明：由题设，anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1.因为an10，所以an2an.由题设，a11，a1a2S11，可得 a21，由知，a31.若an为等差数列，则2a2a1a3，解得4，故an2an4.由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得数列an为等差数列20.若正项数列的前项和为,首项,点在曲线上.求；求数列的通项公式；设,表示数列的前n项和,若恒成立,求及实数的取值范围.解析 因为点在曲线上,所以. 分别取和,得到, 由解得,. 由得. 所以数列是以为首项,1为公差的等差数列， 所以, 即 ，由公式,得 ，所以. (3)因为,所以, ， 显然是关于的增函数, 所以有最小值, 由于恒成立,所以, 于是的取值范围为 .21.已知数列的前项和为，且 N.求数列的通项公式；若是三个互不相等的正整数，且成等差数列，试判断是否成等比数列？并说明理由.解析 ， 当时，有 解得 . 由, 得, - 得: . 由式得：， 得. 当时, -得：. 由，得，. 数列是以为首项，2为公比的等比数列. . 成等差数列， . 假设成等比数列，则， 即，化简得：. （*） ，这与（*）式矛盾，故假设不成立.不是等比数列. 22.对于项数为n的有穷数列，如果满足，其中，则称为的“生成数列”.若数列的“生成数列”为：5，2,7,2，求；若为偶数，且的“生成数列”是，证明：的“生成数列”是；若为奇数，且的“生成数列”是，且的“生成数列”是，依次将数列，的第项取出构成数列.证明：是等差数列.解析 由题意得： ，数列. 证明：因为 ， ， ， ， 由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得 即，. 由于，根据“生成数列”的定义知，数列是的“生成数列”. 证明：因为 ，所以 .所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可. 对于数列及其“生成数列”，因为 ， ，由于为奇数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得， 即. 设数列的“生成数列”为，因为 ，所以 ， 即成等差数列. 同理可证，也成等差数列. 即是等差数列.所以, 成等差数列. 23.对于数列,定义数列为的“差数列”.若,、为非零常数,求证:数列 的“差数列”是等差数列并求出其公差；若的“差数列”的通项为,求数列的通项公式以及前n项和；对于中的数列,若数列满足且,求数列(为偶数)的通项公式.解析 令的“差数列”为,则,，所以数列 的“差数列”是等差数列,其公差为； 依题意 所以 而 从而是公比数为2的等比数列, 所以 由,得到 两式相除得所以数列是公比为的等比数列， 由, 所以数列的通项为,其中为偶数. 24.已知各项均为正数的两个无穷数列、满足当数列是常数列（各项都相等的数列），且时，求数列的通项公式；设、都是公差不为0的等差数列，求证：数列有无穷多个，而数列惟一确定；设，求证：解析 数列是常数列，且， 得 ，数列中序号为奇数的项及序号为偶数的项均按原来顺序构成公差为2的等差数列，又，.设、的公差分别为，将其通项代入得，因为它是关于的恒等式， ，由于可以取无穷多个正实数，所以数列有无穷多个，而数列惟一确定.，及，即，得，又由得，.三课本改编题：1原题xx年第4版必修5教材42页练习4在等差数列中，已知,试求.【答案】876解析由成等差数列，易得.变式1：各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则_.【答案】30解析 设，则由题意，得2，成等比数列于是由及，得，所以.变式2：xx辽宁卷设等比数列an的前n项和为，若，则=_.【答案】 解析设公比为q,则1q33 q32, 于是变式3：设等差数列的前项和为，则，成等差数列类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列【答案】 解析对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，,成等比数列说明通过知识的迁移，理解等差、等比数列的一些共性.2原题xx年第4版必修5教材59页习题8设是等比数列的前项和，成等差数列，求证：成等差数列. 解析 成等差数列，,即，q3，成等差数列.变式1：xx江西一模已知等比数列an的公比为q（q为实数），前n项和为Sn，且S3、S9、S6成等差数列，则q3等于_【答案】解析 成等差数列，,即，q3. 变式2：设数列an是公差不为零的等差数列，它的前n项和为Sn，且S1、S2、S4成等比数列，则等于_【答案】解析 S22a1+d，S44a1d4a1+6d，S1，S2，S4成等比数列，(2a1+d)2a1(4a1+6d)，解得d=2a1,a4= a1+3d=7 a1.变式3：xx天津卷设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为_【答案】解析 S22a11，S44a1(1)4a16，S1，S2，S4成等比数列，(2a11)2a1(4a16)，解得a1.说明通过变式理解等差、等比内在联系.