九年级数学上学期一元二次方程暑假导学案人教版.doc

教学资料参考范本九年级数学上学期 一元二次方程暑假导学案 人教版撰写人：_时 间：_【学习目标】1.一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用根的作用的理解 2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念【自主探究一】1.如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 解：只列方程： 。2.再观察下列各式：1. 2. 3. 4. 问题一：上面1、2题目中含有 个未知数？问题二：按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是 次？类比一元一次方程的定义，那么上面的方程叫做 。方程的特点：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；归纳一元二次方程定义：只含有 ，并且未知数的 为 的 方程，叫做一元二次方程【知识梳理】一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项【典例分析】例1.将方程化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数解：去括号得 ，移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式其中二次项系数是3，一次项系数是8，常数项是10【尝试练习】1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数1. (2x-1)=7 2. 【自主探究二】1.什么是一元一次方程的解？一个一元一次方程有几个解？2你能猜测方程的解是什么吗？那一元二次方程应该有几个解？【小试牛刀】1将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项2你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？（1）；（2）【应用拓展】 求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程 22.2降次解一元二次方程（1）（第2课时）【学习目标】1.本节课主要学习运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程2.运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p0）的方程3.通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到解形如（m x+ n）2=p（p0）的方程体会由未知向已知转化的思想方法【复习引入】1求出下列各式中x的值，并说说你的理由（1）x2=9 （2）x2=5 （3）x2=a（a0）【自主探究】一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？解：设， 列方程， 猜想上述方程的解为： 【尝试练习】问题1：对照上述解方程的过程，你能解下列方程吗？从中你能得到什么结论？（1）；（提示：开平方得到）（2）【知识梳理】：1简单的解一元二次方程的思想“降次”把二次降为一次，进而解一元一次方程即在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程2如果方程能化成或的形式，那么直接开平方可得或【巩固练习】解下列方程1x2-3=0 24x2-9=0 3. 4x2+4x+1=1 4. x2-6x+9=0【拓展练习】 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率 22.2降次解一元二次方程（2）配方法（第3课时）【学习目标】1.本节课主要学习运用配方法，即通过变形运用开平方法降次解方程。2.探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程。渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法【复习引入】请同学们解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9知识归纳：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p0）的形式，那么可得x=或mx+n=（p0）如：4x2+16x+16=（2x+4）2【典例分析】例1，要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？分析：设场地的宽为x m，则长为 m，根据矩形面积为16 cm2，得到方程 16，整理得到x2+6x160，如何解方程x2+6x160？只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x3）2，因此方程x2+6x=16可以化为x2+6x9=169，即 25，问题解决。小结：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。例2. （配方法） 解：移项，得 由此可得， 所以，【小试牛刀】1. 2. 【阶段总结】1.利用上面配方法解方程的过程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？（1）x28x + 1 = 0；（2）；（3）（1）中经过移项可以化为，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到，得到（x4）2=15；（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即，方程两边都加上，方程可以化为；2.配方法解方程时应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解【巩固练习】解下列方程 （1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0【应用拓展】 例：如图，在RtACB中，C=90，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半 解：设x秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半 22.2降次解一元二次方程（3）（第4课时）【学习目标】1用公式法解一元二次方程。2掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程3通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性【复习引入】1.用配方法解下列方程 （1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52【自主探索】提出问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？例，已知ax2+bx+c=0（a0）且b2-4ac0，试推导它的两个根为x1=，x2=提示：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去 解：移项，得： 二次项系数化为1，得 配方，得：x2+x+（ ）2=-+（ ）2 即（x+）2= 且4a20 0 直接开平方，得：x+= 即x= x1=，x2=注意： （）即是一元二次方程的求根公式。例2利用公式法解下列方程，从中你能发现什么？（1）（2）（3）总结步骤：1.确定的值、2.算出的值、3.代入求根公式求解（1）一元二次方程的根是由一元二次方程的系数确定的；（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在的前提下，把的值代入 （）中，可求得方程的两个根；（3）我们把公式（）称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；（4）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根【巩固练习】用公式法解下列方程（1）x2-5x-6=0 （2）7x2+2x-1=0 （3）3x2-5x+2=0（4）5x2+2x-6=0 （5）4x2-7x+2=0 （6）2x2-x-=0【应用拓展】例：某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下面的问题若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程22.2降次解一元二次方程（4）（第5课时）【学习目标】1.用根的判别式b2-4ac来判别ax2+bx+c=0（a0）的根的情况及其运用。2.掌握b2-4ac0，ax2+bx+c=0（a0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac0，方程有 ；（2）b2-4ac=12-12=0，方程 ；（3）b2-4ac=-441=0（0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=x1=，即有两个不相等的实根当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等实数根即x1=，x2= （2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等实数根即x1=x2= （3）当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）没有实数根22.2降次解一元二次方程（5）（第6课时）【学习目标】1应用分解因式法解一些一元二次方程2能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法3体会“降次”化归的思想。【复习引入】解下列方程（1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法）【自主探究】例题，仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？（1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x= ，3x2+6x= 因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 所以x=0或2x+1=0，因此，x1=0，x2=-你知道为什么吗？我认为： 。（2）3x（x+2）=0解：【知识梳理】1.上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法2.归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次这种解法叫作因式分解法【小试牛刀】通过解下列方程，你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么？（1）；（2）； （3）；（4）【巩固练习】1根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为 你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？2 解下列方程112（2-x）2-9=0 2x2+x（x-5）=022.2降次解一元二次方程（6）（第7课时）十字相乘法分解因式【阅读理解】阅读：我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0 提示：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由xx而成，常数项ab是由-a（-b）而成的，而一次项是由-ax+（-bx）交叉相乘而成的根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式 【巩固练习】 1. 2.【阅读】配方法、公式法、因式分解法联系与区别：联系：降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次公式法是由配方法推导而得到配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程区别：配方法要先配方，再开方求根公式法直接利用公式求根因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0。 22.24一元二次方程根与系数之间的关系（第8课时） 【学习目标】（1）掌握一元二次方程根与系数的关系。（2）能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数； 根据方程求代数式的值。（3）学生经历观察发现猜想证明的思维过程，培养学生的分析能力和解决问 【探索新知】1.请同学们完成下面的表格：方程xxx2.观擦上面的规律，运用你发现的规律填空：（1）已知方程x的根是x和x，则= ；= （2）已知方程x+3x5=0的根是x和x，则= ；= 猜想：如果方程的根是x和x，则= ；= 【典例分析】1.证明猜想： 如果方程的根是x和x，那么=m，=n 证明：方程的=m 当=m0时，方程的根是x=，x= =+=m=n2.提出疑问：如果一元二次方程的一般式的根是x和x，那么 ， = ；= 【应用新知】例1 已知方程的一个根是3，求方程的另一个根及c的值。解.设方程的另一个根是，则 3+=2 解之得=1。 3=c 3（1）=c c=3 故：方程的另一个根是1，c=3。【尝试练习】1.求下列方程两个根的和与积 （1） x23x+2=0 （2） 2x2+3x4=0 2.方程2的两个根是x和x，则= ； = 3.已知方程的一个根是2，求方程的另一个根及的值。【应用拓展】例，已知方程的根是x和x，求下列式子的值： （1）+ （2）解.由一元二次方程根与系数的关系知：=5，=6 （1）原式=+2 = =5（6） =31（2）原式= = = =【巩固练习】（1）已知方程的两个根分别是x和x，则= = （2）已知方程的两个根是2与3，则 ， 2已知方程的一个根是2，求另一个根及c的值。3已知方程2的两个根分别是x和x，求下列式子的值：（1）（x+2）（x+2） （2）22.3实际问题与一元二次方程（1）（第9课时）【学习目标】1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。【自主探究】回顾：列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？ 【问题情境】例，有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？（1）本题中有哪些数量关系？（2）如何理解“两轮传染”？23 / 23