资源描述
对由 . . 技术研究所 弗赖堡大学 03 D - 79110,德国弗赖堡 。我们 着 于一个人 如何 独立的 从 在 +上 实现 的 执行模型中提取所需的信息 ，而不用依靠特别的专业人士，我们将利用 与结构力学和热 力学 有限元模型 相关 的实例 来讨论 计算成本。 大型线性动态系统模型降阶已经是相当成熟的领域 1。许多论文（见参考文献 2） 指出 ，模型降价的优势已在各种科学和工程应用上被证实。我们目前的工作 是 集中讨论 工程师如何将该技术与现有的商业有限元软件相结合，以达到如下目的： 加快 对 瞬变电压、 谐 波 的 分析； 自动生成系统级仿真的紧凑模型； 在设计阶段纳入有限元程序包。 通常大规模动态系统模型降阶第一步如下 =u ( y=中 A 和 E 是系统矩阵， B 是输入矩阵， C 是输出矩阵。模型降阶的目的是产生一个低维 式以 逼近（ ， Y= (此式 描述了输入向量 因此 ,同一时间 降阶后 向量 对由偏 微分描述的用户模型方程进行空间离散化后，有限元程序包通常产生一个常微分方程系统。在这阶段，它有可能直接适用于模型降阶的方法 1。然而，从商业包装 过的 系统矩阵 里 提取却不是这样 ，我们将介绍我们是怎么用 3。 我们选择了市场矩阵形式来表示简化模型（ 4。我们假设在另一个包如 价模型在数学方面的运作是可行的 。 非线性系统矩阵 的维数高并且可降阶。 因此 ,实施一个模型降阶 的 算法通常取决于特定的 可降阶矩阵存储方案。我们讨论 了一个 C + +接口， 这 使我们能够完全忽略模型降阶求解 时的一些 微不足道的开销。 最后，我们分析了计算成本绩效和 用有限元分析软件 模型比原模型更准确。 业有限元软件 包含两个几乎独立的模块（见图 1） 6。第一个模块用于读取一阶动态系统 或二阶系统 二进制文件和装载有限元分析软件 +u. ( y=其中 M， 是三个系统矩阵。第二个模块适用于模型降阶算法式（ 或式（ 也就是说，它找到一个低维的 式 V， X = V Z + （ 以便让我们在误差范围内保证重现逼近原始状态向量的瞬态行为。 从 原方程的子空间投影 可以 发现，例如（ 我们有 T T T B, V ，我们支持三种方法来看待二阶系统。当仿照瑞利阻尼阻尼矩阵 E= M+ K，我们 可以 保存 为以 系数和作为参数的简化模型 7。在一般情况下， 我们 可以 把 二阶系统转换为一阶系统 ，或者用二阶阿诺尔迪算法 8。 入原系统矩阵 的 矩阵市场格式 4。大量的模型降阶基准已 由 定 9。 图 1 生成 第一个模块是相当困难的，因为商业有限元程序包中的大多数用户并不 是 有能力去提取动力系统式（ 式（ 因此，这不是一个简单的操作。 行为并不是完全一致的。例如，下面描述的信息是不适用流体动力学模块的 进制 以组装全局系统矩阵，记录文件格式，为 10。通过例子可以发现更多的 6。 为 部分解决带动完全求 解 ， 可以不通过真正的解决方案阶段， 评价矩阵的元素 。这让我们对一个给定的模型 拥有 有效 的 然而，这需要克服以下问题： - 利克雷边界条件 或等式约束的信息。他们应分别提取。 - 元素矩阵 有 贡献 的 载荷向量。如果应用的负载 是 节点力或加速度，这个信息也应该被单独提取。 - 这矩阵要 有必要 的组装 完整 矩阵 的 元素。 在解决方案阶段， 配 。当我们开始用 该文件不包含负载向量 （输入矩阵）。 而 从那时起，已经有许多变化。 荷向量，文件中的 完整的文件。 出装配 （相当于一个 就书 写完整的文件。现在也可以 把信息从完整文件转化为此 ， 自 它可以有效地使用完整的文件。然而，根据分析类型的完整文件可能包含原来的 非 刚度矩阵，而 不 是一个系统矩阵的线性组合。 当前版本 的 多的 构造 式（ 式（ 主要来源。我们已经开发的 含 如果不 使用完整的文件，这 将 是困难的，例如，在 有 加速负载的情况下提取载荷向量 ， 示 负荷向量 ， 当 有多个输入 时，如 输入式（ 式（ 时 用户应该： - 删除以前应用的负载， - 申请一个新的负载， - 生成矩阵。 为了 改进 这一过程 ， 第二个策略也被允许用户 不 删除以前的负载 ， 在这种情况下， 正在第一阶段结束 的 每一个新的负载向量 （ 包含所有先前的载体 ） 。 算法 在 克 雷洛夫空间的基础上，我们可以通过一个非常有效的计算 11,8，获得具有优良逼近性质的低维子空间（ 当前版本的 法 11，以支持多个输入，块大小等于输入数量。 每一步迭代 需要我们计算矩阵向量积为一阶系统，例如， （ 其中 量 ，该系统矩阵高维并且可降阶， 是一个不明确的计算 结果 。唯一可行的解决方案是解决如下的线性方程组的一个 h (这主要是为降低系统计算成本，这以后，与正交化过程中相关的额外费用也 将 计算在内。 这里有许多可降阶求解法以及许多可降阶矩阵的存储方案。我们的目标是 让 实现它们的方式不依赖于一个特定的求解模型降阶算法。此外，我们希望在运行时允许改变求解，就是允许运行时的多态性。因此，我们选择了虚函数 图 2有限元 设计模型 和系统仿真 机制， 这项开销可以忽略不计，我们 的例子都是紧凑型计算。 我们的做法就像 12 和 13 的做法 ,为了涵盖许多不同的场景，抽象的 紧凑型克雷洛夫子空间，向量存储在连续的空间。 目前，我们可以从 4直接求解并获得 支持 15,16，而 已被用来生成优化的 7。我们发现 达 500万自由度的矩阵因子可以直接用来求解，它们被存放在 4 使我们能够重复使用分解， 并取得良好的业绩。 3模型降阶算法 的成本 通过实验我们观察到的许多 阶模型以 30为秩就足以正确地描述原 高维系统 5。因此，为了简单起见，我们 要 限制这种情况下计算分析的成本。 降阶到秩为 30的方程组成的系统仿真时间是非常短的，我们可以忽略它。因此，在 有几个不同的 且 必要的输入函数情况进行仿真 （系统级仿真的情况下） 时 ，减少模型的优势 便 出了问题。 然而，在设计阶段，应减少模型生成的次数。用户 可能 会多次更改原始模型的几何形状或材料的性能，在这种情况下，降阶模型可能只使用一次。然而， 即使在这种情况下的模拟模型还原时间也小于原来的系统时间。这两种不同的情况已经在图 2中反映，下面我们考虑第二个案例。 表 0的 维数 节点 由 由 决 阵 因子 第一次降阶 到秩 30 4 267 20861 1445 93781 0360 265113 16 15 12 14 79171 2215638 304 230 190 120 152943 5887290 130 95 91 120 180957 7004750 180 150 120 160 375801 15039875 590 490 410 420 如果 我们有一个 可 直接求解 、 适用 于 维数为 30的解法来减少系统维数就足够了 。 降阶 模型的时间等于式（ 变秩为 30后 式（ 替代步骤所需的时间。表 1列出 的 一行对应的 值为 模拟 值 18，后三行对应的为券 丝结构 7。 每个案件都指定了其尺寸 和刚度矩阵非零元素的数目 ， 以 注意，在 中真实特定 的 ，因为它包括读 /写文件以及其他一些操作。 时间因子 由 0向量生成 14。后者主要是由式（ 决方案通过回代 得出的 。由于产生的第一和第三十届载体 的 差异低于 10我们可以说，正交成本相对较小。 请注意，多波 阶 模型总时间 的 两倍 多 。在同一时间，减少模型可以准确地再现瞬态和 谐波 所 模拟 出的 任何一个合理的频率范围内的原始模型。 谐波分析的仿真时间 由 一个复杂非线性系统所需的频率数量 所决定 。解决非线性系统 的 矩阵因不能被重新使用。为解决一个复杂的非线性系统 花费 两倍左右的时间比较昂贵。因此，我们 要降阶模型仿真时间 ， 谐响应频率 应 接近 这 个 估计频率 。例如，如果估计必要传递函数频率 为 10， 降阶 模型的速度大约比原有系统的仿真系统 快 10倍。 而瞬时 仿真情况更难以分析，因为这取决于一体化战略。原则上，上述模型还原时间可以说是相当于作为这个矩阵因子利用同样的策略 所 用时间 的 30倍 。然而，在 我们的经验 中 ， 为 达到表 1中的例子，一个准确的积分结果，或者需要至少 600个 同样间隔的时间步长或需要使用自适应的一体化计划， 而 再利用的因子频率是不可能的。在这两种情况下，降 阶 系统的仿真模型 速度 快十倍以上。这表明 降阶模式 也可以被看作是甚至可以在优化阶段采用 的 快速求解。 4结论 我们已经 发现 ，在非线性动力学系统（ 、 （ 情况下，现代模型降阶技术可以显着加快有限元瞬态谐波模拟。对于非线性系统， 在 非线性多项式型的情况下的理论成果 也有较大发展 前途 19。然而，在非线性的情况下，除了许多理论 问题 外 ，提取非线性系统（ 对于商业的有限元分析工具本身就是一个挑战。 鸣谢 运用有限元分析软件 系统 模型和 经 分别 由 T. J. 成了。 我们也愿意接受一个匿名的评论员提出的非常有益的意见和建议 。意大利研究理事会、中国北车、意大利特伦托的 盟省（赠款 供 了部分资金， 还要 对弗赖堡大学表示感谢。 参考 C. D. C. 用数学和计算机科学 ,11(5):1093 - 1121页 ,2001。 B. J. G. 。新传感器 ,11:3002年。 , R. K. A. 矩阵交换市场格式的初始设计。 ,5935,1996年。 , J. G. 算机辅助设计及系统仿真研究模型降阶对微机电系统 (有效作用。第 16届比利时数学网络和信息系统理论国际研讨会， 7月 5 - 9日 ,2004年。规模系统模型降阶。 6. E. B. J. G. 用大型通用有限元分析软件 对紧凑型模型的降 阶。用户手册 ,2004。 , J. A. J. G. 用有限元分析软件 奈米科技会议和展览的技术论文集 ,奈米科技， 2004年 12月 7 - 11日 ,2004,萨诸塞州 ,美国。 8. Z. J. K. Y. F. 少二阶动力学系统维度。 阿诺尔迪结构保持二阶动力系统的降维方法 。 9. J. G. E. B. 型系统的降 阶 ,在计算科学与工程的课堂讲稿。斯普林格 出 版 社 , 柏林 / 德 国 海 德 堡 市 ,2005 。 。 出版社。 2001年。 11. R. W. 拟 电 路上 的 应用 。计算与应用数学学报 ,123:395 - 421页 ,2000。 12. S. V. W. D. L. C. B. F. 对 面向对象并行数值分析软件的有效管理。现代科学计算工具 ,163 - 202页 ,1997。 ,13. M. R. V. R. J. et 山迪亚国家实验室报告， 2927页 ,2003。 , S. 设计 并 施实一个新的 核心稀疏 可降阶 的 30 1942004年。 。 832算法： 法 。 30 196 - 199页 ,2004。 。 非对称格局多波 算法 预先 计算 的方法策略 。 30 165 - 195页 ,2004。 17. R. C. A. J. 优化软件的 开发和阿特拉斯项目的自动化经验。并行计算 ,27(1 - 2) 32001年。 , E. B. J. G. 型降阶的要求与基准。 线性代数及其应用， 2004年。 19. J. R. 基于投影的方法 对 非线性 瞬 变系统模型 的降阶 。集成电路计算机辅助设计与 22 171 2003年 。 J. K. 和 J. 主编 ): 004, 732, 349 356,页 2006. 海德堡 2006年柏林 斯普林格出版社
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