2019-2020年高三高考密卷（四）（数学学科基地命题）数学试题 含解析.doc

2019-2020年高三高考密卷（四）（数学学科基地命题）数学试题 含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.全集，集合，则【答案】【解析】试题分析：因为,，所以.考点：集合的运算.2.已知复数满足，(是虚数单位)，则复数的共轭复数=.【答案】【解析】试题分析：由题意，所以.考点：复数的运算.3.已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是【答案】【解析】试题分析：从这4瓶饮料中随机取2瓶共有种方法，而两瓶中没有果汁饮料的方法只有1种，其概率为，因此两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是.考点：古典概型，对立事件的概率.4.某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图已知从左到右各长方形的高的比为234641，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为【答案】1200【解析】试题分析：总数量为，则，.考点：频率分布直方图.5.如图程序运行的结果是【答案】14【解析】试题分析：依程序框图，的值依次为：，这时，因此输出.考点：程序框图.6.顶点在原点且以双曲线的右准线为准线的抛物线方程是【答案】【解析】试题分析：双曲线中，右准线为，故抛物线中，所以其标准方程为.考点：双曲线的几何性质，抛物线的标准方程.7.给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面则其中所有真命题的序号是【答案】考点：面面平行的性质与面面垂直的性质. 8.已知，若存在，使对一切实数x恒成立，则=【答案】【解析】试题分析：对一切实数x恒成立，则，因此，又，所以.考点：三角函数的性质.9.设实数x，y，b满足，若z2xy的最小值为3， 则实数b的值为【答案】【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图射线，所夹区域且在直线上方(含边界)(待定)，作直线，平移直线，可见当过点时，取得最小值，此时代入得，故有，因此，.考点：简单线性规划问题，已知最值求参数.10.若则的最小值为【答案】【解析】试题分析：，当且仅当时，取等号.考点：基本不等式的应用.11.在RtABC中，CACB2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN，则的取值范围为【答案】【解析】试题分析：以CA、CB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，设M(x,y)，则xy2，y2x，即M(x, 2x)，又MN，所以点N坐标为(x1，2x1)，即N(x1，1x)，于是x(x1)(2x) (1x)2x22x2(0x1)，所以x时取最小值，x0或1时取最大值2，因此的取值范围为.考点：向量的数量积.12.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x1)2y24，P为圆C上一点若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得APB恒为60，则圆M的方程为【答案】考点：直线与圆的位置关系.13.三次函数的两个极值点为且重合，又在曲线上，则曲线的切线斜率的最大值的最小值为_.【答案】【解析】试题分析：设，依题意知，故，由及点Q在其上，可设Q点的坐标为. 由Q为的一个极值点得，显然，存在最大值，数形结合可求得，其最小值为.考点：导数的几何意义，导数与切线，极值.14.设各项均为正整数的无穷等差数列an，满足a54=xx，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为【答案】92【解析】试题分析：易知d=0，成立当d0时，又，所以公差d的所有可能取值之和为92考点：等差数列的综合应用.二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.(本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）求；（2）若ABC的外接圆直径为1,求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)本题属于解三角形问题，已知条件只有，因此我们三角公式进行变形求解，由已知得,即,整理得，由于是三角形的内角，因此有,从而有；(2)由正弦定理得，即，而，由此可得.也可以用来求得结果.试题解析：(1)因为,即, 所以, 即 , 得 ，所以,或(不成立). 即 , 得 ； (2)法一：由. 因, 故，.法二：，.考点：(1)同解三角函数的关系，两角和与差的正弦(余弦)公式，(2)三角函数的性质.16.(本小题满分14分)在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为，为侧棱上的一点.（1）当四面体的体积为时，求的值；（2）在（1）的条件下，若是的中点，求证：【答案】（1）2；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）本题主要是几何体的体积问题，一种方法就是设，我们只要作于，在正四棱锥中可证明平面，是正四棱锥的高，因此，这样我们可求出，从而求出，再利用求得，于是有，另一种方法就是直接用求解；（2）要证明线面平行，根据线面平行的判定定理要在平面中找一条直线与平行，也可应用面面平行的性质定理，过找一个平面与平面平行，由于是中点，是的三等分点，我们取中点，由中位线定理，则有，因此平面平面，从而证得平面.试题解析：（1）设，过作于，且为交线，则，又，在中，解得.（2）取中点，连结，则，则，而为平面内的两条相交直线，而，【注】第（2）问，也可以连结ED，ED交CP于Q，用平几知识证明Q为ED中点，进而证明OQBE，从而获证.考点：（1）几何体的体积；（2）线面平行的判定.17.（本小题满分14分）如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图已知为直径，且km,为圆心，为圆周上靠近 的一点，为圆周上靠近 的一点，且现在准备从经过到建造一条观光路线，其中到是圆弧，到是线段.设，观光路线总长为.（）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；（）求观光路线总长的最大值.(第17题图)【答案】（1），；（2）千米【解析】试题分析：（1）首先由弧度的定义可得，其次，因此，其中，这就是（1）的结论；（2）这个最大值我们用导数来求，时，时，时，可说明就是函数的最大值点，最大值为.试题解析：(1)由题意知，因为为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且，所以,所以，.(2)记,则， 令，得， 列表x(0，)(，)0f (x)递增极大值递减所以函数在处取得极大值，这个极大值就是最大值，即，答：观光路线总长的最大值为千米考点：（1）弧度的定义，弦长；（2）导数与最值. 18.（本小题满分16分）如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，的面积为.（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在满足条件的圆，其方程为.【解析】试题分析：(1)从已知条件可看出，由于，因此，从而，于是得，由勾股定理可得，于是，椭圆方程即得；（2）本题是解析几何中的存在性问题，我们都是假设存在，如图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，,是圆的切线，且，下面就是去计算推理求出圆的方程.由圆和椭圆的对称性，易知,， 由（1）知，所以，再由得，由椭圆方程得，即，解得或，然后结合题设，就不同的的值，求出相应的圆，如能求出圆，就说明存在，不能求出圆，说明不存在.试题解析：（1）设，其中，由,得.从而故.从而，由得，因此.所以，故.因此，所求椭圆的标准方程为.（2）如图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，,是圆的切线，且由圆和椭圆的对称性，易知,， 由（1）知，所以，再由得，由椭圆方程得，即，解得或.当时，重合，此时题设要求的圆不存在.当时，过分别与,垂直的直线的交点即为圆心，设由得而故.圆的半径.综上，存在满足条件的圆，其方程为.考点：椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，圆锥曲线的19.（本小题满分16分）已知函数.（1）若在区间上不是单调函数，求实数的范围；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在. 【解析】试题分析：（1）根据导数怀函数单调性的关系，题意说明不等式与在区间上都有争，简单一点就是函数在区间上的最大值为正，最小值为负；（2）不等式恒成立问题，一般把问题进行转化，首先不等式变为，又当时，故问题转化为恒成立，因此我们只要求出的最小值，然后就有结论；（3）,假设存在两点，则在轴两侧，因此我们可设，则，且,于是题设条件转化为,即，这样问题转化为此方程在且是否有解，有解，说明存在，无解，说明不存在.试题解析：（1）由得，因在区间上不是单调函数.所以在上最大值大于0，最小值小于0,，.(2)由，得,，且等号不能同时取，即.恒成立，即.令，求导得,当时，从而.在上是增函数，.(3)由条件，,假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧,不妨设，则，且,是以为直角顶点的直角三角形，,是否存在等价于方程在且是否有解.当时，方程为，化简，此方程无解；当时，方程为，即设，则,显然，当时，即在上为增函数.的值域为，即，当时，方程总有解.对任意给定的正实数，曲线上存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上.考点：导数与函数的单调性，导数与极值，导数的综合应用.20.（本小题满分16分）已知a，b是不相等的正数，在a，b之间分别插入m个正数a1，a2，am和正数b1，b2，bm，使a，a1，a2，am，b是等差数列，a，b1，b2，bm，b是等比数列（1）若m5，求的值；（2）若ba(N*，2)，如果存在n (nN*，6nm)使得an5bn，求的最小值及此时m的值；（3）求证：anbn(nN*，nm)【答案】（1）4或；（2）最小值为4，此时m为29；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由于是具体的数字，根据已知条件很容易求得之间的关系，公差，公比，（或者直接根据等差数列与等比数列的性质得出），由可得或；（2）本题关键是对等式的处理分析，首先根据等差数列与等比数列的定义可得，从而有，于是等式就是，由于，因此我们得到了的关系，下面对这个等式进行分析，要紧紧抓住条件，等式左边是有理数，左边，要的最小值，可以从最小的允许值进行分析讨论，当时，一定是无理数，不成立，时，这样就要求为有理数，即为整数，因此只有，代入式可解得n15，m29（3）本小题难度较大，关键是与之间的联系是什么？为此我们可以先证明一个命题“设cn0，Sn为数列cn的前n项的和若cn为递增数列，则为递增数列；若cn为递减数列，则为递减数列”.然后，分类讨论，当时，数列是递增数列，是的前项和，则当时，由等比数列前项和公式可得，其中，那么就有，即，同理时也成立.试题解析：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则d，qa3a3d，b3aq3因为，所以2a52b0，解得4或（2）因为aa(m1)d，所以da，从而得anaan因为aaqm1，所以q，从而得bna因为an5bn，所以aaa因为a0，所以1（*）因为，m，nN*，所以1为有理数要使（*）成立，则必须为有理数因为nm，所以nm1若2，则为无理数，不满足条件同理，3不满足条件当4时，42要使2为有理数，则必须为整数又因为nm，所以仅有2nm1满足条件所以12，从而解得n15，m29综上，最小值为4，此时m为29(3)证法一：设cn0，Sn为数列cn的前n项的和先证：若cn为递增数列，则为递增数列证明：当nN*时，bn1因为Sn1Snbn1SnSn，所以，即数列为递增数列同理可证，若cn为递减数列，则为递减数列当ba时，q1当nN*，nm时，即，即因为baqm1，bnaqn，d，所以d，即andbn，即anbn当ba时，0q1，当nN*，nm时，即因为0q1，所以以下同综上， anbn(nN*，nm)考点：等差数列与等比数列的定义、通项公式，方程的整数解，数列的单调性，数列与不等式的综合.第卷（附加题，共40分）21.本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答A（选修：几何证明选讲）如图，O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为O上一点，AE=AC，求证：PDE=POC(第21-A题图)ABPOEDC【答案】证明见解析.【解析】试题分析：本题证明两角相等，从图中可看出PDE是圆内接四边形的外角，根据外角定理有PDE，而由圆的性质及条件，有，命题得证.试题解析：因AE=AC，AB为直径， 故OAC=OAE所以POC=OAC+OCA=OAC+OAC=EAC 又EAC=PDE，所以，PDE=POC考点：圆外接四边形的性质，圆的性质.B（选修：矩阵与变换）若二阶矩阵满足：.(）求二阶矩阵；(）若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线，求曲线的方程.【答案】(）；(）【解析】试题分析：（1）这是矩阵运算，我们设，只要求出其逆矩阵，则有；（2）本题是矩阵变换（平面变换）问题，由可解得，代入原方程即可得新方程.试题解析：（1）设，则，(2），即 代入可得，即，故曲线的方程为考点：矩阵运算，矩阵变换（平面变换）.C（选修：坐标系与参数方程）已知点（其中，点的轨迹记为曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点在曲线上()求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;()当时，求曲线与曲线的公共点的极坐标【答案】()；（2）【解析】试题分析：()由点坐标，消去参数得曲线的直角普通方程，再由公式代入可得极坐标方程为，同样由此公式代入的极坐标方程可得其直角坐标方程；() 由曲线与曲线的直角坐标方程联立方程组可得其公共点的坐标为，化为极坐标为试题解析：()曲线：，极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为；() 曲线与曲线的公共点的坐标为，极坐标为考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化. D（选修：不等式选讲）已知x，y，z均为正数求证：【答案】见解析.【解析】试题分析：这种类型的不等式可用基本不等式来证明，由已知，三式相加再除以2可得要证不等式.试题解析：因为x，y，z都是为正数，所以同理可得将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得考点：不等式的证明，基本不等式.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22.（本小题满分10分）从集合中任取三个元素构成子集（1）求中任意两数之差的绝对值不小于2的概率；（2）记三个数中相邻自然数的组数为（如集合中3和4相邻，4和5相邻，），求随机变量的分布率及其数学期望.【答案】（1）；（2）012P【解析】试题分析：（1）本题是古典概型问题，从9个不同的元素中任取3个不同元素的取法共有种，而这三个数中任意两数之差的绝对值不小于2可以这样去取，先取6个位置，然后再在这6个数之间（可以在两端）插入3个位置，这样9个位置依次对应了9个数，而插入的3个位置的对应的数就是，这样共有种方法，概率即为；（2）因为是3个数，相邻组数可能值分别为，“”就是第（1）题的情形，“”即只有1组相邻数，选取的方法数为，“”即有两组相邻数，选取的方法数为7种，因此可得颁布列，数学期望. 试题解析：（1）从9个不同的元素中任取3个不同的元素，为古典概型.记“中任意两数之差的绝对值均不小于2”为事件A，其基本事件总数为由题意，均不相邻，利用插空法得，事件A包含基本事件数，所以，中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率为（2）012P.考点：古典概型，随机变量的分布列与数学期望.23.（本小题满分10分）设整数3，集合P1，2，3，n，A，B是P的两个非空子集记an为所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A，B)的个数（1）求a3；（2）求an【答案】（1）5；（2）an【解析】试题分析：（1）用列举法求出结果，时，它的所有非空子集有7个，按A中的最大数小于B中的最小数配对共有5对，即；（2）设中最大数为，则中必有元素，另元素可在中也可不在中，这样的个数为，集合中一定没有元素，而元素可在，但不能全不在中，这样的个数为，于是集合对的个数为，于是有.试题解析：（1）当3时，P1，2，3 ，其非空子集为：1，2，3，1，2，1，3，2，3，1，2，3，则所有满足题意的集合对(A，B)为：(1，2)，(1，3)，(2，3)， (1，2，3），（1，2，3)共5对， 所以a3；（2）设A中的最大数为k，其中,整数3， 则A中必含元素k，另元素1，2，k可在A中，故A的个数为：，B中必不含元素1，2，k，另元素k1，k2，n可在B中，但不能都不在B中，故B的个数为：， 从而集合对(A，B)的个数为，所以an考点：子集，列举法，二项式系数的性质.