2019-2020年高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题 含解析.doc

2019-2020年高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题 含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则等于（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由题可知，解得，故集合，解得，故集合，即，因此选D。考点：集合的交并补运算2.已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则“”是“点在第四象限”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条【答案】A【解析】试题分析：由题可知，当时，点M的坐标为，在第四象限，然而当点在第四象限时，有，解得，因此“”是“点在第四象限”的充分而不必要条件；考点：复平面的定义充要条件的判断3.设等比数列的前项和为，满足，且，则=（ ）A63 B48 C42 D36 【答案】A【解析】试题分析：由题可知，有，解得，因此，；考点：等比数列的通项公式等比数列的求和公式4.已知，则（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由题可知，于是，根据，有；考点：三角函数和差化积诱导公式5.已知命题:函数的最小正周期为；命题：若函数为偶函数，则关于对称.则下列命题是真命题的是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：由题可知，根据倍角公式可得，周期，因此 的周期为，命题是假命题；函数的图象关于轴对称，而由的图象向右平移1个单位即可得到的图象，故关于对称，即命题为真命题；因此选B考点：倍角公式函数的奇偶性与对称性6.已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于的概率为（ ）否开始n=1输入xn= n +1x= 3x +1输入x输出x结束是 A BCD【答案】B【解析】试题分析：由题可知，当输入时，进过循环，输出，当输入时，进入循环，输出，当输入时，进入循环，输出，当开始输入大于4的时候，输出的x均满足题意，因此输出的不小于的概率为；考点：程序框图7.已知，则展开式中，项的系数为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：由题可知，于是，即原式变为，则项为，因此项的系数为；考点：定积分运算二项式定理8.甲乙两人从门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有门不相同的选法共有（ ）A30种 B36种 C60种 D72种【答案】A【解析】试题分析：由题可知，至少有门不相同的选法包括有一门不相同的课程和两门都不相同的课程，因此共有种；考点：排列组合9.已知是双曲线的左焦点，过作倾斜角为的直线，直线 与双曲线交于点与轴交于点且，则该双曲线的离心率等于（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：由题可知，设过焦点F作倾斜角为的直线为，故点，设点，由，可得，解得，将点A代入到双曲线方程中，根据，解得，故；考点：双曲线的离心率10.已知方程在有两个不同的解（），则下面结论正确的是（ ）A B C D【答案】C考点：函数零点与方程根的联系11.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集（ ） A B C D【答案】A【解析】试题分析：由题可知，则，即，设，即，为单调递增函数，则不等式，化简为，由于为单调递增函数，因此，解得，又因为，解得，故解集为；考点：函数单调性与导数的关系12.设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是 （ ） A B C D 【答案】B【解析】试题分析：当时，值域为（0,1，所以；当时，值域为，所以；当时，值域为，则，故，当时，值域为,当时，值域为，因为，所以，对称轴为，故在上是增函数，则在上的值域为，即），有题意知，解得，故正实数a的最小值为；考点：指数函数的解析式以及定义第卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.已知 ，的夹角为60，则 【答案】考点：向量的数量积14. 设实数满足则的最大值为 【答案】【解析】试题分析：由题可知，做出函数的可行域如图，当目标函数经过点A时，取得最大值，即；考点：简单的线性规划15.棱锥的三视图如上图所示，且三个三角形均为直角三角形，则的最小值为 【答案】【解析】试题分析：由图可知，根据三视图得到三棱锥如图，OC=2，AC=y，BC=1，在中，即，由于，故，由题，；考点：几何体的三视图均值不等式16.球为边长为的正方体的内切球，为球的球面上动点，为中点，则点的轨迹周长为 【答案】【解析】试题分析：由题可知，要有，利用三垂线定理，只需考虑DP在平面的射影与垂直，由平面几何知识可知为的中点，如图2所示，此时，的轨迹即为过与平面垂直的平面与球O面相交截得的圆，此时球心O到此圆面的距离即为到的距离，由正方体的边长为4，如图3，与,可得,在中，为的中点，所以，即球心O到此圆面的距离为，又球O的半径为1，所以圆（的轨迹）的半径为，因此所求P的轨迹周长（即为此圆的周长）为.考点：柱、锥、台、球的结构特征三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知公比为负值的等比数列中，（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和【答案】（1）；（2）；【解析】试题分析：（1）由题可知，等比数列的通项公式为，通过，求得公比q为，首项，代入到通项公式中，即可得到；（2）通过裂项相消法，解出的通项公式为，故数列由等差数列和等比数列组成，根据等差数列与等比数列的前n项和，得出前项和；试题解析：（）因为数列是等比数列，所以，则或，因为数列的公比为负值，所以，故，则，故即数列的通项公式为6分（）由条件知， 9分则故。12分考点：等比数列的通项公式等比数列的前n项和裂项相消法18.(本小题满分12分）湖南卫视“我是歌手”这个节目深受广大观众喜爱，节目每周直播一次，在某周比赛中歌手甲、乙、丙竞演完毕，现场的某位大众评审对这位歌手进行投票，每位大众评审只能投一票且把票投给任一歌手是等可能的，求： （）恰有人把票投给歌手甲的概率； （）投票结束后得票歌手的个数的分布列与期望【答案】（1）；（2）分布列如下，；【解析】试题分析：（1）由题可知，每位大众评审投给3位歌手的任一歌手是等可能的，因此所有可能的投票方式有种，恰有2人把票投给歌手甲的方式种，故此时的概率；（2）由独立重复试验中事件恰发生次的概率计算公式知，的所有可能值为，分别算出此时的概率P，列出分布列，再由数学期望公式计算期望即可；试题解析：（）解法一：所有可能的投票方式有种，恰有2人把票投给歌手甲的方式种，从而恰有2人把票投给歌手甲的概率为5分解法二：设对每位投票人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验. 记“把票投给歌手甲”为事件，则，从而，由独立重复试验中事件恰发生次的概率计算公式知，恰有2人把票投给歌手甲的概率为（）的所有可能值为：11分综上知，有分布列 1 2 3P 从而有12分+考点：独立重复试验的分布列以及数学期望19.(本小题满分12分）在如图所示的几何体中，平面，是的中点，（）证明 平面；（）求二面角的余弦值的大小【答案】（1）证明如下；（2）；【解析】试题分析：（1）由题可知，证明线面垂直可采用线面垂直的判定定理，也可建立空间坐标系，通过向量法，证明，从而得到 平面；（2）平面，从而以点C为原点建立空间直角坐标系，标出相关点的坐标，求二面角的余弦值即为平面与平面法向量的余弦值，故根据向量的相关知识，可求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，由数量积公式，解得；试题解析：解法一（1）取的中点，连结、因为，所以又因为，所以所以四边形是平行四边形， 分在等腰中，是的中点，所以因为平面，平面，所以而，所以平面又因为，所以平面 分（2）因为平面，平面，所以平面平面过点作于，则平面，所以过点作于，连结，则平面，所以所以是二面角的平面角 分在中，因为，所以是等边三角形又，所以，在中，所以二面角的余弦值是分解法二（1）因为平面，所以平面故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是，分所以，因为，所以，而，所以平面分（2）由（）知，设是平面的一个法向量，由 得即取，则设是平面的一个法向量，由得即取，则分二面角为锐二面角，设二面角的大小为，则 故二面角的余弦值是分 考点：线面垂直的判定定理向量的相关计算20.（小题满分12）椭圆的方程为，、分别是它的左、右焦点，已知椭圆过点，且离心率（）求椭圆的方程；（）如图，设椭圆的左、右顶点分别为、，直线的方程为，是椭圆上异于、的任意一点，直线、分别交直线于、两点，求的值；（）过点任意作直线（与轴不垂直）与椭圆交于、两点，与交于点， 求证： 【答案】（1）；（2）；（3）证明如下；【解析】试题分析：（1）由题可知，根据椭圆的离心率有，可求出a,c的关系为，将椭圆经过的点（0,1）代入，即可解出，从而得到椭圆方程；（2）根据点斜式方程解出直线、的方程，分别解出点D，点E的坐标，于是得到，化简可得；（3）由，的关系，可得，两式相减，即可得到；试题解析：（）由题，在椭圆中，即有，解得，椭圆过点，代入椭圆方程，解得，即4分（）设，则直线、的方程分别为，将分别代入可求得两点的坐标分别为，. 由（），,所以，又点在椭圆上，.8分（）设，,，由得所以，代入椭圆方程得 同理由得 消去，得，所以12分考点：椭圆的几何性质向量坐标的运算21.（本大题满分12分）已知函数，图象与轴异于原点的交点处的切线为，与轴的交点N处的切线为， 并且与平行（）求的值； （）已知实数，求的取值范围及函数的最小值；（）令，给定，对于两个大于的正数，存在实数满足：，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）取值范围为，当时，最小值为，当时，最小值为，当时，最小值为；（3）【解析】试题分析：（1）由题可知，图像在交点M处的切线斜率为，与轴的交点N处的切线斜率为，由于与平行，因此解得，故；（2）对函数求导，于是当时，故函数在上单调递增，其值域为；运用换元法，得根据二次函数对称轴法，对对称轴的位置进行讨论，分别求出最小值即可；（3）根据导数法，判断出函数为递增函数，将实数m分成三段，分别进行验证，只有当m在（0,1）时满足题意，即m的取值范围为试题解析：（1） 图象与轴异于原点的交点，图象与轴的交点，由题意可得，即， 2分， 3分（2）=令，在 时，在单调递增， 4分图象的对称轴，抛物线开口向上当即时， 5分当即时，6分当即时， 7分,所以在区间上单调递增 时，当时，有，得，同理， 由的单调性知 、从而有，符合题设. 9分当时，由的单调性知 ，与题设不符 11分 当时，同理可得，得，与题设不符. 综合、得 12分考点：导数的几何意义导数法证明单调性二次函数最值得讨论方法PABCDE22题图O22.(本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，内接于直径为的圆，过点作圆的切线交 的延长线于点，的平分线分别交和圆于点 ，若（）求证：； （）求的值【答案】（1）证明如下；（2）50；【解析】试题分析：（1）根据相似三角形的判定定理可知，有相似比即可求得；（2）根据割线定理可求得直径为15，再由相交弦定理求得；试题解析：（1）PA是圆O的切线 又是公共角 2分 4分（2）由切割线定理得： 又PB=5 6分又AD是的平分线 8分 又由相交弦定理得：10分考点：相似三角形的判定定理割线定理相交弦定理23.(本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程是以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数（）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（）若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值【答案】（1）；（2）或；【解析】试题分析：（1）根据题意有，将两端分别乘以，得到，可化简为；（2）将直线的参数方程代入到圆的方程中，得到有关参数t的一元二次方程，由韦达定理可得到参数的关系为，代入到弦长公式中，即可得到，从而或.试题解析：（1）由得，于是有，化简可得3分（2）将代入圆的方程得，化简得. 设、两点对应的参数分别为、,则, 7分,或.10分考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化参数方程的几何意义24.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲设函数 （）当时，解不等式；（）若的解集为，求证：【答案】（1）；（2）证明如下；【解析】试题分析：（1）将代入，于是有，将x分为三部分进行讨论，即，分别解出不等式的解集，最后取交集即可；（2）由子集的相关性质，可得，即a=1，于是有，再根据均值不等式即可证明；试题解析：（1）当a=2时，不等式为，不等式的解集为；5分（2）即，解得，而解集是，解得a=1,所以所以. 10分考点：求解不等式均值不等式