2019-2020年高三上学期第二次诊断数学试卷含解析.doc

2019-2020年高三上学期第二次诊断数学试卷含解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上）1若集合M=y|y=xxx，N=y|y=，则MN=2不等式|83x|0的解集是3若函数f（x）=为奇函数，则a=4已知an中a1=3且an=2an1+1；则an=5在ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则C的大小为6设，若恒成立，则k的最大值为7ABC的两条边上的高的交点为H，外接圆的圆心为O，则，则实数m=8已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60，则|3|等于9若实数x，y满足的最小值是10已知函数，则满足不等式f（1x2）f（2x）的x的范围是11已知sin（x+）=，则sin（x）+sin2（x）的值为12在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y26x+5=0，点A，B在圆C上，且AB=2，则|+|的最大值是13已知f（x）是定义在4，4上的奇函数，当x2，0）（0，2时，则方程的解的个数为14设m3，对于项数为m的有穷数列an，令bk为a1，a2，ak（km）中最大值，称数列bn为an的“创新数列”例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7考查正整数1，2，m（m3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列cn，则创新数列为等差数列的cn的个数为二、解答题：（本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在，使不等式f（x0）m成立，求实数m的取值范围16如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACBD于O（）证明：平面PBD平面PAC；（）设E为线段PC上一点，若ACBE，求证：PA平面BED17给定椭圆C：+=1（ab0），称圆C1：x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”已知椭圆C的离心率为，且经过点（0，1）（1）请求出椭圆C的标准方程；（2）若过点P（0，m）（m0）的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值18如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=x2+2（0x）的图象，且点M到边OA距离为（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19已知函数f（x）的定义域为（0，+），若y=在（0，+）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y=在（0，+）上为增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2（1）已知函数f（x）=x32hx2hx，若f（x）1且f（x）2，求实数h的取值范围；xabca+b+cf（x）ddt4（2）已知0abc，f（x）1且f（x）的部分函数值由下表给出，求证：d（2d+t4）0；（3）定义集合=f（x）|f（x）2，且存在常数k，使得任取x（0，+），f（x）k，请问：是否存在常数M，使得f（x），x（0，+），有f（x）M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由20有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为amk（m，k=1，2，3，n，n3），公差为dm，并且a1n，a2n，a3n，ann成等差数列（）证明dm=p1d1+p2d2（3mn，p1，p2是m的多项式），并求p1+p2的值；（）当d1=1，d2=3时，将数列dm分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），（每组数的个数构成等差数列）设前m组中所有数之和为（cm）4（cm0），求数列的前n项和Sn（）设N是不超过20的正整数，当nN时，对于（）中的Sn，求使得不等式成立的所有N的值本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两项评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修4-1：几何证明选讲22（几何证明选讲）如图，以正方形ABCD的顶点C为圆心，CA为半径的圆交BC的延长线于点E、F，且点B为线段CG的中点求证：GEGF=2BEBF选修4-2：矩阵与变换23已知矩阵A=属于特征值的一个特征向量为=（1）求实数b，的值；（2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C：x2+2y2=2，求曲线C的方程选修4-4：极坐标与参数方程24在极坐标系（，）（02）中，求曲线=2sin与cos=1的交点Q的极坐标选修4-5：不等式选讲25设a，b为互不相等的正实数，求证：4（a3+b3）（a+b）3【必做题】第26题、第27题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤26如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC=90，PD面ABCDAD=1，BC=4（1）求证：BDPC；（2）求直线AB与平面PDC所成角；（3）设点E在棱PC、上，若DE面PAB，求的值27已知数集A=a1，a2，an（1=a1a2an，n2）具有性质P：对任意的k（2kn），i，j（1ijn），使得ak=ai+aj成立（）分别判断数集1，3，4与1，2，3，6是否具有性质P，并说明理由；（）求证：an2a1+a2+an1（n2）；（）若an=72，求数集A中所有元素的和的最小值xx学年江苏省盐城市南洋中学高三（上）第二次诊断数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上）1若集合M=y|y=xxx，N=y|y=，则MN=y|y0考点： 交集及其运算专题： 集合分析： 利用交集的定义求解解答： 解：集合M=y|y=xxx=y|y0，N=y|y=y|y0，MN=y|y0故答案为：y|y0点评： 本题考查交集的求法，解题时要认真审题，是基础题2不等式|83x|0的解集是x|x考点： 绝对值不等式的解法专题： 计算题；不等式的解法及应用分析： 由绝对值的定义，|x|0恒成立，在x0时，|x|0恒成立，可将不等式|83x|0化为83x0，进而得到结论解答： 解：|83x|083x0即x原不等式的解集是x|x故答案为：x|x点评： 本题考查绝对值的解法，正确运用绝对值的定义是关键3若函数f（x）=为奇函数，则a=考点： 函数奇偶性的判断专题： 函数的性质及应用分析： 根据函数f（x）=为奇函数，可得f（x）=f（x），据此列出方程，求出a的值是多少即可解答： 解：因为函数f（x）=为奇函数，所以f（x）=f（x），即f（x）=，可得（2x1）（xa）=（2x+1）（x+a），解得a=故答案为：点评： 本题主要考查了函数的奇偶性质的运用，属于基础题4已知an中a1=3且an=2an1+1；则an=2n1考点： 数列递推式专题： 计算题；等差数列与等比数列分析： 把数列递推式两边加1得到新数列an+1，该数列为等比数列，求出其通项公式，则an可求解答： 解：由an+1=2an+1，得an+1+1=2（an+1），a1+1=20，数列an+1是以2为首项，以2为公比的等比数列an+1=（2）2n1=2n，an=2n1故答案为：2n1点评： 本题考查了数列递推式，对于an+1=pan+q型的数列递推式，常用构造等比数列的方法求解5在ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则C的大小为考点： 两角和与差的余弦函数专题： 计算题分析： 由题意两式相加平方求出sinC，判断C是否满足题意即可解答： 解：两式平方相加可得9+16+24sin（A+B）=37，sin（A+B）=sinC=，所以C=或如果C=，则0A，从而cosA，3cosA1与4sinB+3cosA=1矛盾（因为4sinB0恒成立），故C=故答案为：点评： 本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围的判断，是本题的易错点6设，若恒成立，则k的最大值为8考点： 函数的最值及其几何意义专题： 综合题分析： 令t=，恒成立，等价于tmink恒成立，利用基本不等式求出最小值，即可求k的最大值解答： 解：令t=恒成立，tmink恒成立t=2（2+）2m0，12m0（当且仅当，即m=时取等号）t8k8k的最大值为8故答案为：8点评： 本题考查恒成立问题，考查基本不等式的运用，解题的关键是求函数的最小值7ABC的两条边上的高的交点为H，外接圆的圆心为O，则，则实数m=1考点： 向量在几何中的应用专题： 计算题；数形结合；转化思想分析： 根据题意作出图形，由外心和垂心的性质证明四边形AHCD是平行四边形，由向量加法的三角形法则，由向量相等和向量的减法运算进行转化，直到用 ，和 表示出来为止解答： 解：如图：作直径BD，连接DA、DC，由图得，=，H为ABC的垂心，CHAB，AHBC，BD为直径，DAAB，DCBCCHAD，AHCD，故四边形AHCD是平行四边形，=，又，=，对比系数得到m=1故答案为：1点评： 本题考查三角形的五心，解答本题，关键是根据题意，构造出平行四边形，再利用向量运算，将三个向量的和表示出来，本题中选择入手的位置很关键，此类似于代数中的化简式证明作题时注意构造法思想的运用，向量在几何中的运用8已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60，则|3|等于考点： 平面向量数量积的运算；向量的模专题： 计算题分析： 由题意并且结合平面数量积的运算公式可得|3|，通过平方即可求解，可得答案解答： 解：因为向量，均为单位向量，它们的夹角为60，所以|3|2=6+9=103=7所以|3|=故答案为：点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握平面向量数量积的运算性质与公式，以及向量的求模公式的应用，此题属于基础题主要细心的运算即可得到全分9若实数x，y满足的最小值是1考点： 简单线性规划专题： 计算题分析： 令t=x+2y，要求z的最小值，只要求解t的最小值，作出不等式组表示的平面区域，由于t=x+2y，可知直线在y轴上的截距越大，t越大，可求t的最小值，进而可求z的最小值解答： 解：令t=x+2y作出不等式组表示的平面区域，如图所示由于t=x+2y可得y=，根据直线在y轴上的截距越大，t越大直线t=x+2y平移到点O（O，0）时，t取得最小值0，此时，z=1故答案为：1点评： 本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是明确目标函数的几何意义10已知函数，则满足不等式f（1x2）f（2x）的x的范围是（1，1）考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析： 由题意f（x）在0，+）上是增函数，而x0时，f（x）=1，故满足不等式f（1x2）f（2x）的x需满足，解出x即可解答： 解：由题意，可得故答案为：点评： 本题考查分段函数的单调性，利用单调性解不等式，考查利用所学知识分析问题解决问题的能力11已知sin（x+）=，则sin（x）+sin2（x）的值为考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数专题： 三角函数的求值分析： 由已知中sin（x+）=，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系公式，可得sin（x）=，sin2（x）=cos2（x+）=1sin2（x+），代入可得答案解答： 解：sin（x+）=，sin（x）=sin（x+）=sin（x+）=，sin2（x）=sin2（x+）=cos2（x+）=1sin2（x+）=，sin（x）+sin2（x）=+=，故答案为：点评： 本题考查的知识是诱导公式和同角三角函数的基本关系公式，其中分析出已知角和未知角的关系，进而选择恰当的公式，是解答的关键12在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y26x+5=0，点A，B在圆C上，且AB=2，则|+|的最大值是8考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 本题可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将转化为，用根据AB=2得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最大值，得到本题答案解答： 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x，y）=，圆C：x2+y26x+5=0，（x3）2+y2=4，圆心C（3，0），半径CA=2点A，B在圆C上，AB=2，即CM=1点M在以C为圆心，半径r=1的圆上OMOC+r=3+1=4，故答案为：8点评： 本题考查了数形结合思想和函数方程的思想，可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将转化为，用根据AB=2得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最大值，得到本题答案13已知f（x）是定义在4，4上的奇函数，当x2，0）（0，2时，则方程的解的个数为2考点： 函数与方程的综合运用专题： 综合题分析： 由已知，g（x）的定义域为x2，6，利用f（x）是定义在4，4上的奇函数，且 通过转化可以 再求出x2，6时解析式，便确定了g（x），最后结合函数大致图象得出交点个数，即为解的个数解答： 解：f（x）是定义在4，4上的奇函数，由x24，4，得g（x）的定义域为x2，6f（x2）=g（x）= x24，0，当x2，6时，2x4，0合起来即为函数g（x）在定义域x2，6上的解析式，结合得出两图象交点个数是2即方程的解的个数为 2故答案为：2点评： 本题考查函数的奇偶性的应用，分段函数，考查转化、计算、分类讨论、函数与方程的思想方法和能力14设m3，对于项数为m的有穷数列an，令bk为a1，a2，ak（km）中最大值，称数列bn为an的“创新数列”例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7考查正整数1，2，m（m3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列cn，则创新数列为等差数列的cn的个数为（m1）!+1考点： 数列的应用专题： 综合题；等差数列与等比数列分析： 分类讨论：当d=0时，em为常数列，满足条件；数列cn是首项为m的任意一个排列，共有个数列当d=1时，符合条件的数列em只能是1，2，3m，此时数列cn是1，2，3m，有1个d2时，em 不存在由此得出结论解答： 解：设数列cn的创新数列为em，因为em为前m个自然数中最大的一个，所以em=m若 em为等差数列，设公差为d，因为 ek+1ek （k=1，2，3m1），所以 d0且dN* 当d=0时，em为常数列，满足条件，即为数列 em=m，此时数列cn是首项为m的任意一个排列，共有个数列； 当d=1时，符合条件的数列em只能是1，2，3m，此时数列cn是1，2，3m，有1个；当d2时，em=e1+（m1）de1+2（m1）=e1+m+m2 又 m3，m20emm 这与 em=m矛盾，所以此时em 不存在 综上满足条件的数列cn的个数为（m1）!+1个 故答案为：（m1）!+1点评： 本题主要考查等差关系的确定，等比关系的确定，创新数列的定义，属于中档题二、解答题：（本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在，使不等式f（x0）m成立，求实数m的取值范围考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值专题： 计算题分析： （1）利用三角函数的恒等变换化简函数函数f（x）的解析式为，从而求出它的最小正周期（2）根据，可得 ，f（x0）的值域为1，2，若存在，使不等式f（x0）m成立，m需大于f（x0）的最小值解答： 解：（1）=最小正周期T=（2），f（x0）的值域为1，2，使f（x）m成立，m1，故实数m的取值范围为（1，+）点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，三角函数的值域，注意理解“存在，使不等式f（x0）m成立，”的意义，属于中档题16如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACBD于O（）证明：平面PBD平面PAC；（）设E为线段PC上一点，若ACBE，求证：PA平面BED考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定专题： 空间位置关系与距离分析： （I）利用线面垂直的性质定理可得PABD，再利用线面垂直的判定定理可得BD平面PAC，利用面面垂直的判定定理即可证明结论；（II）利用线面垂直的判定定理可得AC平面BED，可得ACOE在同一平面内，PAAC，于是得到OEPA，再利用线面平行的判定定理即可证明解答： 证明：（I）PA平面ABCD，PABD又BDAC，ACPA=A，BD平面PACBD平面PBD，平面PBD平面PAC（II）ACBE，ACBD，BEBD=B，AC平面BEDACOE在平面PAC中，PAAC，OEAC，PAOE而PA平面BED，OE平面BED，PA平面BED点评： 熟练掌握线面垂直的判定和性质定理、面面垂直的判定定理、在同一平面内垂直与同一条直线的两条直线平行的性质、线面平行的判定定理是解题的关键17给定椭圆C：+=1（ab0），称圆C1：x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”已知椭圆C的离心率为，且经过点（0，1）（1）请求出椭圆C的标准方程；（2）若过点P（0，m）（m0）的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值考点： 椭圆的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）记椭圆C的半焦距为c由题意，得b=1，=，由此能求出a，b（2）由（1）知，椭圆C的方程为+y2=1，圆C1的方程为x2+y2=5设直线l的方程为y=kx+m，由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0由此利用根的判别式、弦长公式、圆心到直线的距离，结合知识点能求出m解答： 解：（1）记椭圆C的半焦距为c，由题意，得b=1，=，c2=a2+b2，解得a=2，b=1，故椭圆C的标准方程为：+y2=1（2）由（1）知，椭圆C的方程为+y2=1，圆C1的方程为x2+y2=5显然直线l的斜率存在设直线l的方程为y=kx+m，即kxy+m=0因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，故方程组（*）有且只有一组解由（*）得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0从而=（8km）24（1+4k2）（ 4m24）=0化简，得m2=1+4k2因为直线l被圆x2+y2=5所截得的弦长为2，所以圆心到直线l的距离d=即= 由，解得k2=2，m2=9因为m0，所以m=3点评： 本题主要考查实数值的求法，考查直线与椭圆、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，属于中档题18如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=x2+2（0x）的图象，且点M到边OA距离为（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？考点： 基本不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 不等式的解法及应用；直线与圆分析： （）求当t=时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=x2+2（0x）在x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（）求出x=t时的抛物线y=x2+2（0x）的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0t）上的极大值，也就是最大值解答： 解：（I）y=x2+2，y=2x，过点M（t，t2+2）的切线的斜率为2t，所以，过点M的切线方程为y（t2+2）=2t（xt），即y=2tx+t2+2，当t=时，切线l的方程为y=x+，即当t=时，直路l所在的直线方程为12x+9y22=0；（）由（I）知，切线l的方程为y=2tx+t2+2，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令y=0，得x=，故切线l与线段OC交点为（）地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=（2）2=4t=4（t+）2当且仅当t=1时，取等号 当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为xx0平方米点评： 本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值属中档题型19已知函数f（x）的定义域为（0，+），若y=在（0，+）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y=在（0，+）上为增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2（1）已知函数f（x）=x32hx2hx，若f（x）1且f（x）2，求实数h的取值范围；（2）已知0abc，f（x）1且f（x）的部分函数值由下表给出，求证：d（2d+t4）0；xabca+b+cf（x）ddt4（3）定义集合=f（x）|f（x）2，且存在常数k，使得任取x（0，+），f（x）k，请问：是否存在常数M，使得f（x），x（0，+），有f（x）M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由考点： 利用导数求闭区间上函数的最值专题： 导数的综合应用分析： （1）根据：f（x）1且f（x）2，可得y=x22hxh，利用二次函数的单调性可得=h0；由=，y=x+，对h分类讨论可得：当h0，此时f（x）2；当h0时，函数在x（0，+）有极值点，可得f（x）2即可得出（2）由f（x）1，取0x1x2x1+x2，可得由表格可知：f（a）=d，f（b）=d，f（c）=t，f（a+b+c）=4，0abca+b+c，利用“一阶比增函数”可得，再利用不等式的性质即可得出（3）根据“二阶比增函数”先证明f（x）0对x（0，+）成立再证明f（x）=0在（0，+）上无解即可得出解答： （1）解：y=x22hxh，若f（x）1，则h0；=，y=x+，当h0，x0时，y0，此时f（x）2，不符合题意，舍去；当h0时，此时函数在x（0，+）有极值点，因此f（x）2综上可得：当h0时，f（x）1且f（x）2因此h的取值范围是（，0）（2）证明：由f（x）1，若取0x1x2，则由表格可知：f（a）=d，f（b）=d，f（c）=t，f（a+b+c）=4，0abca+b+c，d0，2d+t4，d（2d+t4）0（）集合合=f（x）|f（x）2，且存在常数k，使得任取x（0，+），f（x）k，存在f（x），存在常数k，使得 f（x）k 对x（0，+）成立我们先证明f（x）0对x（0，+）成立假设存在x0（0，+），使得f（x0）0，记=m0f（x）是二阶比增函数，即是增函数当xx0时，=m0，f（x）mx2，一定可以找到一个x1x0，使得f（x1）mx12k，这与f（x）k 对x（0，+）成立矛盾即f（x）0对x（0，+）成立存在f（x），f（x）0对x（0，+）成立下面我们证明f（x）=0在（0，+）上无解假设存在x20，使得f（x2）=0，f（x）是二阶增函数，即是增函数一定存在x3x20，使=0，这与上面证明的结果矛盾f（x）=0在（0，+）上无解综上，我们得到存在f（x），f（x）0对x（0，+）成立存在常数M0，使得存在f（x），x（0，+），有f（x）M成立又令f（x）=（x0），则f（x）0对x（0，+）成立，又有=在（0，+）上是增函数，f（x），而任取常数k0，总可以找到一个xn0，使得xxn时，有f（x）kM的最小值 为0点评： 本题考查了函数的单调性、导数的几何意义，掌握导数法在确定函数单调性和最值时的答题步骤是解答的关键，考查了推理能力与计算能力，本题难度较大20有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为amk（m，k=1，2，3，n，n3），公差为dm，并且a1n，a2n，a3n，ann成等差数列（）证明dm=p1d1+p2d2（3mn，p1，p2是m的多项式），并求p1+p2的值；（）当d1=1，d2=3时，将数列dm分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），（每组数的个数构成等差数列）设前m组中所有数之和为（cm）4（cm0），求数列的前n项和Sn（）设N是不超过20的正整数，当nN时，对于（）中的Sn，求使得不等式成立的所有N的值考点： 等差数列的性质；数列与不等式的综合专题： 综合题；压轴题分析： （）先根据首项和公差写出数列的通项公式，利用通项公式表示出数列a1n，a2n，a3n，ann中的第项减第2项，第3项减第4项，第n项减第n1项，由此数列也为等差数列，得到表示出的差都相等，进而得到dn是首项d1，公差为d2d1的等差数列，根据等差数列的通项公式表示出dm的通项，令p1=2m，p2=m1，得证，求出p1+p2即可；（）由d1=1，d2=3，代入dm中，确定出dm的通项，根据题意的分组规律，得到第m组中有2m1个奇数，所以得到第1组到第m组共有从1加到2m1个奇数，利用等差数列的前n项和公式表示出之和，从而表示出前m2个奇数的和，又前m组中所有数之和为（cm）4（cm0），即可得到cm=m，代入中确定出数列的通项公式，根据通项公式列举出数列的前n项和Sn，记作，两边乘以2得到另一个关系式，记作，即可得到前n项和Sn的通项公式；（）由（）得到dn和Sn的通项公式代入已知的不等式中，右边的式子移项到左边，合并化简后左边设成一个函数f（n），然后分别把n=1，2，3，4，5代入发现其值小于0，当n6时，其值大于0即原不等式成立，又N不超过20，所以得到满足题意的所有正整数N从5开始到20的连续的正整数解答： 解：（）由题意知amn=1+（n1）dm则a2na1n=1+（n1）d21+（n1）d1=（n1）（d2d1），同理，a3na2n=（n1）（d3d2），a4na3n=（n1）（d4d3），anna（n1）n=（n1）（dndn1）又因为a1n，a2n，a3n，ann成等差数列，所以a2na1n=a3na2n=anna（n1）n故d2d1=d3d2=dndn1，即dn是公差为d2d1的等差数列所以，dm=d1+（m1）（d2d1）=（2m）d1+（m1）d2令p1=2m，p2=m1，则dm=p1d1+p2d2，此时p1+p2=1（4分）（）当d1=1，d2=3时，dm=2m1（mN*）数列dm分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），按分组规律，第m组中有2m1个奇数，所以第1组到第m组共有1+3+5+（2m1）=m2个奇数注意到前k个奇数的和为1+3+5+（2k1）=k2，所以前m2个奇数的和为（m2）2=m4即前m组中所有数之和为m4，所以（cm）4=m4因为cm0，所以cm=m，从而所以Sn=12+322+523+724+（2n3）2n1+（2n1）2n.2Sn=122+323+524+（2n3）2n+（2n1）2n+1故2Sn=2+222+223+224+22n（2n1）2n+1=2（2+22+23+2n）2（2n1）2n+1=（32n）2n+16得：Sn=（2n3）2n+1+6（9分）（）由（）得dn=2n1（nN*），Sn=（2n3）2n+1+6（nN*）故不等式，即（2n3）2n+150（2n1）考虑函数f（n）=（2n3）2n+150（2n1）=（2n3）（2n+150）100当n=1，2，3，4，5时，都有f（n）0，即（2n3）2n+150（2n1）而f（6）=9（12850）100=6020，注意到当n6时，f（n）单调递增，故有f（n）0因此当n6时，（2n3）2n+150（2n1）成立，即成立所以，满足条件的所有正整数N=6，7，20（14分）点评： 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，会利用错位相减的方法求数列的通项公式，考查了利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道中档题本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两项评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修4-1：几何证明选讲22（几何证明选讲）如图，以正方形ABCD的顶点C为圆心，CA为半径的圆交BC的延长线于点E、F，且点B为线段CG的中点求证：GEGF=2BEBF考点： 与圆有关的比例线段专题： 综合题分析： 先利用切割线定理，再利用RtABERtFBA，结合，即可得证解答： 证明：连接AG，AE、AF，因为AB垂直且平分CG，所以AG=AC，由切割线定理得AG2=GEGF，（3分） 由RtABERtFBA得到AB2=BEBF，（5分）因为，所以AG2=2AB2，（7分） 由得，GEGF=2BEBF（10分）点评： 本题主要考查相似三角形、圆的相关几何知识，考查推理论证能力选修4-2：矩阵与变换23已知矩阵A=属于特征值的一个特征向量为=（1）求实数b，的值；（2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C：x2+2y2=2，求曲线C的方程考点： 几种特殊的矩阵变换专题： 计算题；矩阵和变换分析： （1）由矩阵的特征向量的定义，即可求出b=0，=2；（2）设曲线C上任一点M（x，y）在矩阵A对应的变换作用后变为曲线C上一点P（x0，y0），由矩阵变换的特点，即可得到它们的关系式，再代入已知曲线方程即可解答： 解：（1）因为矩阵A=属于特征值的一个特征向量为=，所以=，即=，从而2b=，2=，解得b=0，=2（2）由（1）知，A设曲线C上任一点M（x，y）在矩阵A对应的变换作用后变为曲线C上一点P（x0，y0），则=，从而因为点P在曲线C上，所以x02+2y02=2，即（2x）2+2（x+3y）2=2，从而3x2+6xy+9y2=1所以曲线C的方程为3x2+6xy+9y2=1点评： 本题考查矩阵的特征值和特征向量，以及矩阵变换下的曲线方程，属于中档题选修4-4：极坐标与参数方程24在极坐标系（，）（02）中，求曲线=2sin与cos=1的交点Q的极坐标考点： 简单曲线的极坐标方程专题： 计算题分析： 先将原极坐标方程=2sin与cos=1（0）化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程求出交点，最后再转化成极坐标解答： 解：将直线cos=1与圆=2sin分别化为普通方程得，直线x=1与圆x2+（y1）2=1，（6分）易得直线x=1与圆x2+（y1）2=1切于点Q（1，1），所以交点Q的极坐标是（10分）点评： 本题主要考查直线与圆的极坐标方程，考查运算求解能力选修4-5：不等式选讲25设a，b为互不相等的正实数，求证：4（a3+b3）（a+b）3考点： 综合法与分析法(选修）专题： 证明题分析： 利用分析法，从结论入手，寻找结论成立的条件，即可得到证明解答： 证明：因为a0，b0，所以要证4（a3+b3）（a+b）3，只要证4（a+b）（a2ab+b2）（a+b）3，即要证4（a2ab+b2）（a+b）2，（5分）只需证3（ab）20，而ab，故3（ab）20成立4（a3+b3）（a+b）3（10分）点评： 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力【必做题】第26题、第27题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤26如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC=90，PD面ABCDAD=1，BC=4（1）求证：BDPC；（2）求直线AB与平面PDC所成角；（3）设点E在棱PC、上，若DE面PAB，求的值考点： 直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的性质；与二面角有关的立体几何综合题专题： 计算题；证明题分析： （1）根据余弦定理求出DC的长，而BC2=DB2+DC2，根据勾股定理可得BDDC，而PD面ABCD，则BDPD，PDCD=D，根据线面垂直判定定理可知BD面PDC，而PC在面PDC内，根据线面垂直的性质可知BDPC；（2）在底面ABCD内过D作直线DFAB，交BC于F，分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立空间坐标系，根据（1）知BD面PDC，则就是面PDC的法向量，设AB与面PDC所成角大小为，利用向量的夹角公式求出即可（3）先求出向量，设=（x，y，z）为面PAB的法向量，根据=0，=0，求出，再根据DE面PAB，则=0求出即可解答： 解：（1）DAB=90，AD=1，AB=，BD=2，ABD=30，BCADDBC=60，BC=4，由余弦定理得DC=2，（3分）BC2=DB2+DC2，BDDC，PD面ABCD，BDPD，PDCD=D，BD面PDC，PC在面PDC内，BDPC（5分）（2）在底面ABCD内过D作直线DFAB，交BC于F，分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立如图空间坐标系，（6分）由（1）知BD面PDC，就是面PDC的法向量，（7分）A（1，0，0），B（1，0），P（0，0，a）=（0，0），=（1，0），（8分）设AB与面PDC所成角大小为，cos=，（9分）（0，90）=30（10分）（3）在（2）中的空间坐标系中A、（1，0，0），B、（1，0），P（0，0，a）C、（3，0），（11分）=（3，a），=（3，a），=+=（0，0，a）+（3，a）=（3，aa）（12分）=（0，0），=（1，0，a），设=（x，y，z）为面PAB的法向量，由=0，得y=0，由=0，得xaz=0，取x=a，z=1，=（a，0，1），（14分）由D、E面PAB得：，=0，3a+aa=0，=（15分）点评： 本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及直线与平面所成角和与二面角有关的立体几何综合题，属于中档题27已知数集A=a1，a2，an（1=a1a2an，n2）具有性质P：对任意的k（2kn），i，j（1ijn），使得ak=ai+aj成立（）分别判断数集1，3，4与1，2，3，6是否具有性质P，并说明理由；（）求证：an2a1+a2+an1（n2）；（）若an=72，求数集A中所有元素的和的最小值考点： 数列的求和专题： 证明题；综合题；新定义分析： （）利用性质P的概念，对数集1，3，4与1，2，3，6判断即可；（）利用集合A=a1，a2，an具有性质P，可分析得到aiak1，ajak1，从而ak=ai+aj2ak1，（k=2，3，n），将上述不等式相加得a2+an1+an2（a1+a2+an1）即可证得结论；（）首先注意到a1=1，根据性质P，得到a2=2a1=2，构造A=1，2，3，6，9，18，36，72或者A=1，2，4，5，9，18，36，72，这两个集合具有性质P，此时元素和为147再利用反证法证明满足S=ai147最小的情况不存在，从而可得最小值为147解答： 解：（）因为 31+1，所以1，3，4不具有性质P因为 2=12，3=1+2，6=3+3，所以1，2，3，6具有性质P （4分）（）因为集合A=a1，a2，an具有性质P：即对任意的k（2kn），i，j（1ijn），使得ak=ai+aj成立，又因为1=a1a2an，n2，所以aiak，ajak所以aiak1，ajak1，所以ak=ai+aj2ak1即an12an2，an22an3，a32a2，a22a1（6分）将上述不等式相加得a2+an1+an2（a1+a2+an1）所以an2a1+a2+an1（9分）（）最小值为147首先注意到a1=1，根据性质P，得到a2=2a1=2所以易知数集A的元素都是整数构造A=1，2，3，6，9，18，36，72或者A=1，2，4，5，9，18，36，72，这两个集合具有性质P，此时元素和为147下面，我们证明147是最小的和假设数集A=a1，a2，an（a1a2an，n2），满足最小（存在性显然，因为满足的数集A只有有限个）第一步：首先说明集合A=a1，a2，an（a1a2an，n2）中至少有8个元素：由（）可知a22a1，a32a2又a1=1，所以a22，a34，a48，a516，a632，a76472，所以n8第二步：证明an1=36，an2=18，an3=9：若36A，设at=36，因为an=72=36+36，为了使得最小，在集合A中一定不含有元素ak，使得36ak72，从而an1=36；假设36A，根据性质P，对an=72，有ai，aj，使得an=72=ai+aj显然aiaj，所以an+ai+aj=144而此时集合A中至少还有5个不同于an，ai，aj的元素，从而S（an+ai+aj）+5a1=149，矛盾，所以36A，进而at=36，且an1=36；同理可证：an2=18，an3=9（同理可以证明：若18A，则an2=18）假设18A因为an1=36，根据性质P，有ai，aj，使得an1=36=ai+aj显然aiaj，所以an+an1+ai+aj=144，而此时集合A中至少还有4个不同于an，an1，ai，aj的元素从而San+an1+ai+aj+4a1=148，矛盾，所以18A，且an2=18同理可以证明：若9A，则an3=9假设9A因为an2=18，根据性质P，有ai，aj，使得an2=18=ai+aj显然aiaj，所以an+an1+an2+ai+aj=144而此时集合A中至少还有3个不同于an，an1，an2，ai，aj的元素从而San+an1+an2+ai+aj+3a1=147，矛盾，所以9A，且an3=9）至此，我们得到了an1=36，an2=18，an3=9ai=7，aj=2根据性质P，有ai，aj，使得9=ai+aj我们需要考虑如下几种情形：ai=8，aj=1，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素ak，才能得到元素8，则S148；，此时集合中至少还需要一个大于4的元素ak，才能得到元素7，则S148；ai=6，aj=3，此时集合A=1，2，3，6，9，18，36，72的和最小，为147；ai=5，aj=4，此时集合A=1，2，4，5，9，18，36，72的和最小，为147（14分）点评： 本题考查数列的求和，突出考查反证法的应用，考查分类讨论思想与转化思想，考查构造函数的思想，an1=36，an2=18的证明是难点，属于难题