2019-2020年高中数学 圆锥曲线与方程综合题专练 北师大版选修1-1.doc

2019-2020年高中数学 圆锥曲线与方程综合题专练 北师大版选修1-11(xx湖南文，20)已知抛物线C1：x24y的焦点F也是椭圆C2：1(ab0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且A与B同向(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直线l的斜率解析(1)由C1：x24y知其焦点F的坐标为(0,1)，因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2b21 ；又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为：x24y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为(，)，1，联立得a29，b28，故C2的方程为1.(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，因与同向，且|AC|BD|，所以，从而x3x1x4x2，即x3x4x1x2，于是(x3x4)24x3x4(x1x2)24x1x2设直线l的斜率为k，则l的方程为ykx1，由得x24kx40，由x1，x2是这个方程的两根，x1x24k，x1x24由得(98k2)x216kx640，而x3，x4是这个方程的两根，x3x4，x3x4 将、代入，得16(k21).即16(k21)，所以(98k2)2169，解得k，即直线l的斜率为.2(xx安徽文，20)设椭圆E的方程为1(ab0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，b)，N为线段AC的中点，证明：MNAB.解析(1)|BM|2|MA|且A(a,0)，B(0，b)，M(a，b)又OM的斜率为，e.(2)由题意可知N点的坐标为(，)，kMN，kAB，kMNkAB1.MNAB.3(xx广东文，20)已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由解析(1)圆C1：x2y26x50化为(x3)2y24，所以圆C1的圆心坐标为(3,0)(2)设线段AB的中点M(x0，y0)，由圆的性质可得C1M垂直于直线l.设直线l的方程为ymx(易知直线l的斜率存在)，所以kC1Mm1，y0mx0，所以1，所以x3x0y0，即2y.因为动直线l与圆C1相交，所以2，所以m2，所以ym2xx，所以3x0xx，解得x0或x00，又因为0x03，所以x03.所以M(x0，y0)满足2y，即M的轨迹C的方程为2y2.(3)由题意知直线L表示过定点T(4,0)，斜率为k的直线结合图形，2y表示的是一段关于x轴对称，起点为按逆时针方向运动到的圆弧根据对称性，只需讨论在x轴下方的圆弧设P，则kPT，而当直线L与轨迹C相切时，解得k.在这里暂取k，因为，所以kPTk.可得对于x轴下方的圆弧，当0k或k时，直线L与x轴下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知k或k.综上所述：当k或k时，直线L：yk(x4)与曲线C只有一交点4(xx陕西文，20)如图，椭圆E：1(ab0)经过点A(0，1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.解析(1)由题意知，b1，综合a2b2c2，解得a，所以，椭圆的方程为y21.(2)由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2，从而直线AP与AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)()2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.5(xx天津文，19)已知椭圆1(ab0)的上顶点为B，左焦点为F，离心率为.(1)求直线BF的斜率；(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B)，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)，直线PQ与y轴交于点M，|PM|MQ|.(i)求的值；(ii)若|PM|sinBQP，求椭圆的方程解析(1)F(c,0)，由已知离心率及a2b2c2，可得ac，b2c，又因为B(0，b)，F(c,0)故直线BF的斜率k2.(2)设点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)(i)由(1)可得椭圆方程为1，直线BF的方程为y2x2c，两方程联立消去y，得3x25cx0，解得xP.因为BQBP，所以直线BQ的方程为yx2c，与椭圆方程联立，消去y，得21x240cx0，解得xQ.又因为，及xM0，得.(ii)由(i)得，所以，即|PQ|PM|，又因为|PM|sinBQP，所以|BP|PQ|sinBQP|PM|sinBQP.又因为yP2xP2cc，所以|BP|c，因此c，c1，所以椭圆方程为1.6(xx新课标卷文，20)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值解析(1)由题意有，1，解得a28，b24，所以椭圆C的方程为1.(2)设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，把ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280.故xM，yMkxMb，于是直线OM的斜率kOM，即kOMk，所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值