2019-2020年高三上学期月考（六）（理）数学试题 含答案.doc

2019-2020年高三上学期月考（六）（理）数学试题 含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则下列结论中正确的是（ ）A的虚部为 B C为纯虚数 D2.已知条件；条件若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）A B C D3.已知，且，则的值为（ ）A B C D4.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的等于（ ）A B C D5.用，这九个数字组成无重复数字的三位数，记为，其中，三个数字之积能被整除的三位数共有（ ）A个 B个 C个 D个6.已知某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）A B C D7.已知函数（，）在一个周期内的图象如图所示，则（ ）A B C D8.某公司近六年投入某种产品的年宣传费（单位：万元）和年销售量（单位：万件）之间的样本数据如下表所示：则当年宣传费为万元时，年销售量的预报值为（ ）A万件 B万件 C万件 D万件参考公式：在回归直线方程中，10.如图，边长为的正方形的顶点，分别在两条互相垂直的射线，上滑动，则的最大值为（ ）A B C D11.设双曲线（，）的两条渐近线分别为，左焦点为若点关于直线的对称点在上，在双曲线的离心率为（ ）A B C D12.对于区间上的函数，若存在，使得成立，则称为函数在区间上的一个“积分点”那么函数在区间上的“积分点”为（ ）A B C D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在中，角，所对的边长分别为，若，且，则角的大小为 14.已知，满足约束条件，若目标函数（，）的最大值为，则的最小值为 15.设直线与椭圆相交于，两点，为椭圆的左顶点，若的重心在轴右侧，则的取值范围是 16.如图，记棱长为的正方体为，以各个面的中心为顶点的正八面体为，以各面的中心为顶点的正方体为，以各个面的中心为顶点的正八面体为，以此类推则正方体的棱长为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设数列的前项和为，若存在非零常数，使对任意都有成立，则称数列为“和比数列”（1）若数列是首项为，公比为的等比数列，判断数列是否为“和比数列”；（2）设数列是首项为，且各项互不相等的等差数列，若数列是“和比数列”，求数列的通项公式18.（本小题满分12分）某工厂有名工人，其年龄都在岁之间，各年龄段人数按，分成四组，其频率分布直方图如下图所示工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每个工人都要参加、两项培训，培训结束后进行结业考试已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响 （1）若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为的样本，求四个年龄段应分别抽取的人数；（2）根据频率分布直方图，估计全厂工人的平均年龄；（3）随机从年龄段和中各抽取人，设这两人中、两项培训结业考试成绩都优秀的人数为，求的分布列和数学期望19.（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，底面，各侧棱长和底边长都为，为侧棱的延长线上一点，且（1）求二面角的大小；（2）设点在线段上，若面，求的值20.（本小题满分12分）如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上，准线与轴的交点为过点作圆的两条切线，两切点分别为，且（1）求抛物线的标准方程；（2）如图，过抛物线的焦点任作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于，两点和，两点，分别为线段和的中点，求面积的最小值21.（本小题满分12分）已知函数，其中为常数且（1）若曲线与直线相切，求的值；（2）设，为两个不相等的正数，若，证明：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在的内接四边形中，过点作的切线，交的延长线于点（1）证明：；（2）若，求的长23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，求直线被曲线所截得的线段长24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，其中为常数（1）当时，求不等式的解集；（2）设实数，满足，若函数的最小值为，证明：湖南师大附中xx届高三月考试卷（六）数学（理科）答案1C【解析】由已知，则的虚部为，为纯虚数，选C2.B【解析】设集合，因为是的必要不充分条件，则是的真子集，所以或，即或，选B3.A，选A4.D【解析】第次运行到判断框时，；第次运行到判断框时，；第次运行到判断框时，；第次运行到判断框时，此时，终止循环所以输出，选D5.B【解析】据题意，三个数字中有一个数是，另两个数至少有一个偶数第一类，分别从，和，中各选一个数，连同组成三位数，有个；第二类，从，中任选两个数，连同组成三位数，有个，所以符合条件的三位数共有个，选B6.C【解析】因为正视图、侧视图和俯视图都是边长为的正方形，将三棱锥按如图所示放在正方体中，则其外接球的直径等于正方体的对角线长因为正方体的对角线长为，则外接球半径为，其体积，选C7.A【解析】由图知，且，则周期，所以因为，则，从而所以，故，选A8.C【解析】由样本数据得，则，所以回归直线方程为当时，选C9.D【解析】令，得设，则由图知，方程有两解，且，从而方程有两解，方程也有两解所以方程有个解，选D10.D【解析】取的中点，设向量与的夹角为，则所以当时，选D11.A【解析】不妨设，点，因为，则，即因为的中点在上，则，即所以，即所以，选A12.B【解析】因为，则因为，则，所以，即，选B13.【解析】由，得又，则，即所以，故14.【解析】作可行域，得当，时，目标函数取得最大值由已知，则，当且仅当，时取等号，所以15.【解析】将代入椭圆方程，得，即由，得，即设点，则，从而因为的重心在轴右侧，点，则，所以，即综上，的取值范围是16.【解析】设正多面体（）的棱长为，则因为正八面体由两个同底的正四棱锥组成，公共底面是正方形，其对角线长为正方体的棱长，则因为正方体的各顶点是正八面体各个面的中心，则同理，由此猜想，数列，是首项为，公比为的等比数列，所以17.【解析】（1）由已知，则（2分）设数列的前项和为，则，（4分）所以，故数列是“和比数列” （5分）（2）设数列的公差为（），前项和为，则，所以（8分）因为是“和比数列”，则存在非零常数，使恒成立即，即恒成立（10分）所以因为，则，所以数列的通项公式是（12分）18.【解析】（1）由频率分布直方图可知，年龄段，的人数的频率分别为，（1分）因为，所以年龄段，应抽取的人数分别为，（3分）（2）因为各年龄组的中点值分别为，对应的频率分别为，则由此估计全厂工人的平均年龄约为岁（6分）（3）因为年龄段的工人数为，从该年龄段任取人，由表知，此人项培训结业考试成绩优秀的概率为，项培训结业考试成绩优秀的概率为，所以、两项培训结业考试成绩都优秀的概率为（7分）因为年龄段的工人数为，从该年龄段任取人，由表知，此人项培训结业考试成绩优秀的概率为，项培训结业考试成绩优秀的概率为，所以、两项培训结业考试成绩都优秀的概率为（8分）由题设，的可能取值为，其中，（10分）所以的分布列是（11分）期望（12分）19.【解析】（1）取的中点，连结，因为，则，所以同理，所以为二面角的平面角（2分）由已知，是边长为的正三角形，则在中，则（3分）在中，则（4分）连结，在中，则（5分）显然，则为等腰直角三角形，所以，故二面角的大小为（6分）（2）分别以，为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，则，（8分）设为平面的法向量，则，即取，则（9分）设，则（10分）因为面，则，即，所以，解得（11分）所以，故（12分）20.【解析】（1）由对称性知，轴，设与轴的交点为，则连，则中，则（1分）因为为圆的切线，则由射影定理，得，则（3分）因为圆心的坐标为，则，所以，即，得所以抛物线的标准方程为（5分）（2）设直线的斜率为，因为过焦点，则直线的方程为代入，得设点，则因为为线段的中点，则点（7分）因为，则直线的方程为同理可得点（8分）直线的方程为，即，显然过定点（10分）设的面积为，与轴的交点为，则，当且仅当时取等号所以的面积的最小值为（12分）21.【解析】（1）（）（1分）因为，由，得则在内单调递减，在内单调递增，所以为的唯一极值点（2分）因为曲线与直线相切，则，即因为，则（3分）设，则，所以在内单调递增因为，所以（5分）（2）证法一：不妨设，因为，则，即，所以（7分）从而所证不等式化为因为，则不等式再化为，即，即，即（9分）令（），则只要证，即证（10分）设，则当时，则在内单调递增，所以，故原不等式成立（12分）证法二：不妨设，因为，在内单调递减，在内单调递增，则（6分）要证，即证因为，则只要证，即证（7分）设，则只要证当时，因为，（10分）则当时，从而在内单调递减所以，故原不等式成立（12分）22.【解析】（1）因为，则劣弧，所以因为是的切线，则，从而（3分）因为是四边形的一个外角，则所以（5分）（2）由（1）知，则，所以因为，则（8分）因为，则由切割线定理，所以（10分）23.【解析】（1）由消去参数，得（2分）将，代入，得，即，即，所以曲线的极坐标方程是（5分）（2）由，得所以直线的直角坐标方程为，即（6分）显然，直线过点，倾斜角为，则其参数方程为（为参数）（7分）代入，得，即设方程的两根为，则，故直线被曲线所截得的线段长为（10分）24.【解析】（1）当时，（3分）由，得或，即或所以不等式的解集为（5分）（2）因为，当且仅当，即时取等号，则由已知，则（7分）解法一：由题设，则，（10分）解法二：由题设，据柯西不等式，有，即，所以（10分）