2019-2020年高三数学最后一次模拟统一考试试题 理（含解析）.doc

2019-2020年高三数学最后一次模拟统一考试试题 理（含解析）【试卷综析】这套试题，具体来说比较平稳，基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，体现了稳中求进的精神。考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、排列组合、概率、复数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，有相当一部分的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，则（ ）A B C D【知识点】交集及其运算.【答案解析】D解析 ：解：集合，故选D【思路点拨】化简集合后，根据两个集合的交集的定义求出AB2. 已知其中是实数，是虚数单位，则的共轭复数为 （ ） A B. C D【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【答案解析】B解析 ：解：由已知得，计算根据复数相等的概念，解得，其共轭复数为故选D【思路点拨】由已知得出，由复数相等的概念求出x，y确定出，再得出共轭复数.3. 直线与直线互相垂直，则的值为 （ ） A B. C D【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系菁【答案解析】C解析 ：解：直线与直线互相垂直，解得故选C【思路点拨】由直线与直线互相垂直，知，由此能求出a4. “”是数列“为递增数列”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列的函数特性【答案解析】A解析 ：解：由“”可得，故可推出“数列为递增数列”，故充分性成立由“数列为递增数列”可得，故，故，不能推出“”，故必要性不成立故“”是“数列为递增数列”的充分不必要条件，故选A【思路点拨】由“”可得 an+1an0，推出“数列为递增数列”由“数列为递增数列”，不能推出“”，由此得出结论5. 已知双曲线的两条渐近线均和圆C:相切,则该双曲线离心率等于 （ ）A. B. C. D. 【知识点】圆与圆锥曲线的综合【答案解析】A解析 ：解：双曲线的渐近线方程为，即,圆C：化为标准方程C（3，0），半径为2双曲线的两条渐近线均和圆C：相切,双曲线离心率等于， 故选：A【思路点拨】先将圆的方程化为标准方程，再根据双曲线的两条渐近线均和圆C：相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可建立几何量之间的关系，从而可求双曲线离心率6. 已知等差数列的前n项和为，且= （ ）A18 B36 C54 D72【知识点】等差数列的性质【答案解析】D解析 ：解：在等差数列中，则故选：A【思路点拨】根据已知中，我们易得，根据等差数列前n项和公式，我们易得，结合等差数列的性质即可得到答案7. 某程序框图如下图所示，则该程序运行后输出的值是 （ ） A5 B. 6 C7 D8【知识点】程序框图【答案解析】C解析 ：解：第一次进入循环后：S=1，k=1第二次进入循环后：S=1+21，k=2第三次进入循环后：S=1+21+22，k=3第七次进入循环后：S=1+21+22+23+24+25+26=127，k=7由于S=127，不满足条件S100，退出循环，输出k=7故选C【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算累加并输出不满足条件S100时的k值，模拟程序的运行结果，即可得到答案盒子中放着编号为1,2,3,4,5的形状和大小完全相同的5个白球和5个黑球，从中 任意取出3个，则取出球的编号互不相同的概率为 （ ） A B. C D【知识点】等可能事件的概率；古典概型及其概率计算公式；排列、组合及简单计数问题【答案解析】D解析 ：解：根据题意，盒子中共有10个球，从中任意取出3个，有种取法，若取出的3个球编号互不相同，可先从5个编号中选取3个编号，有种选法对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，共有23种选法，取出的球的编号互不相同的取法有种，则取出球的编号互不相同的概率；故选D【思路点拨】根据题意，先由组合数公式计算从10个球中取出3个的取法数目，若取出的球的编号互不相同，可以先从5个编号中选取3个编号，对于每一个编号，再选择球的颜色，由分步计数原理可得取出的球的编号互不相同的取法数目，由古典概型公式，计算可得答案9. 在中，为边的三等分点，则 （ ） A B. C D【知识点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算【答案解析】A解析 ：解：在中，根据余弦定理可知由，满足勾股定理可知以C为坐标原点，CA、CB方向为x，y轴正方向建立坐标系，则C（0，0），A（1，0），B（0，）又E，F分别是RtABC中BC上的两个三等分点，则E（0，），F（0，）则=（1，），=（1，），故选A【思路点拨】先判定三角形形状，然后建立直角坐标系，分别求出，向量的坐标，代入向量数量积的运算公式，即可求出答案10函数的大致图象是( )【知识点】函数的图象与图象变化；函数的图象【答案解析】B解析 ：解：由于，且，故此函数是非奇非偶函数，排除；又当x=时，x+cosx=x，即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为 ，排除故选B【思路点拨】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、C两个选项，再看此函数与直线y=x的交点情况，即可作出正确的判断11. 三棱锥的顶点都在同一球面上，且，则该球的体积为 （ ）A B C D 【知识点】球内接多面体；球的体积和表面积【答案解析】B解析 ：解：由题意，所以AC2+SA2=SC2，BC2+SB2=SC2，SC是两个截面圆SAC与SCB的直径，所以SC是球的直径，球的半径为：2所以球的体积为：=故选B【思路点拨】通过已知条件，判断SC为球的直径，求出球的半径，即可求解球的体积12. 若满足，满足，函数，则关于的方程的解的个数是 （ ）ABCD. 【知识点】根的存在性及根的个数判断【答案解析】C解析 ：解：满足，满足，分别为函数与函数，图象交点的横坐标由于与图象交点的横坐标为2，函数，的图象关于对称，函数f（x）=当x0时，关于x的方程，即x2+4x+2=x，即x2+3x+2=0，x=2或x=1，满足题意当x0时，关于x的方程，即x=2，满足题意关于x的方程f（x）=x的解的个数是3,故选C【思路点拨】先根据满足，满足，可得，进而可分类求出关于x的方程的解，从而确定关于x的方程的解的个数第卷本卷包括必考题和选考题两部分第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答第22题第24题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 由曲线和直线所围成的面积为 。【知识点】定积分在求面积中的应用【答案解析】解析 ：解：联立得解得或，设曲线与直线围成的面积为S，则S=31（3x22x）dx= 故答案为.【思路点拨】联立由曲线和两个解析式求出交点坐标，然后在x（3，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可14. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体 的体积是_。【知识点】由三视图求面积、体积【答案解析】解析 ：解：由三视图可得几何体是四棱锥VABCD，其中面VCD面ABCD；底面ABCD是边长为20cm的正方形；棱锥的高是20cm由棱锥的体积公式得V=cm3 【思路点拨】先有三视图得到几何体的形状及度量关系，利用棱锥的体积公式求出体积15. 若点在直线上，过点的直线与曲线只有一个公共点，则的最小值为_。【知识点】直线与圆的位置关系【答案解析】4 解析 ：解：的圆心（5，0），半径为4，则圆心到直线的距离为：=4，点P在直线上，过点P的直线l2与曲线C：只有一个公共点M，则|PM|的最小值：故答案为：4【思路点拨】求出圆心坐标，圆的半径，结合题意，利用圆的到直线的距离，半径，|PM|满足勾股定理，求出|PM|就是最小值16. 观察下列等式：1=1 13=11+2=3 13+23=91+2+3=613+23+33=361+2+3+4=10 13+23+33+43=1001+2+3+4+5=15 13+23+33+43+53=225 可以推测：13+23+33+n3= 。（用含有n的代数式表示）【知识点】进行简单的合情推理【答案解析】解析 ：解：根据所给等式13=12 13+23=32=（1+2）2 13+23+33=62=（1+2+3）2 13+23+33+43=102=（1+2+3+4）2 可以看出，等式左边各项幂的底数的和等于右边的幂的底数推测：13+23+33+n3=（1+2+n）2= 故答案为：【思路点拨】根据所给等式，可以看出，等式左边各项幂的底数的和等于右边的幂的底数，故可推测结论三、解答题：解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤17. （本小题满分12分） 已知函数的图像是由的图像经过如下三步变换得到的：将的图像整体向左平移个单位；将中的图像的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的；将中的图像的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍。 （）求的周期和对称轴； （）在中，分别是的对边，且，且，求的值。【知识点】解三角形；函数y=Asin（x+）的图象变换【答案解析】（）T=; x=+ （）a=2，b=解析 ：解：（）由变换得：f（x）=2sin（2x+），=2，T=；由2x+=k+，kZ，得对称轴为x=+，kZ；（）由f（C）=2得：2sin（2C+）=2，即sin（2C+）=1，又C为三角形内角，2C+=，即C=，cosC=，又c=1，ab=2，在ABC中，根据余弦定理，有c2=1=a2+b22abcosC=a2+b222，整理得：a2+b2=7，与ab=2联立，且ab，解得：a=2，b=【思路点拨】（）得到f（x）的解析式y=2sin（2x+），找出的值，代入周期公式，即可求出f（x）的最小正周期；根据正弦函数的对称轴为k+，kZ，列出关于x的方程，求出方程的解得到f（x）的对称轴；（）由f（C）=2，将x=C代入f（x）解析式中，使其值等于2，整理后根据C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值，求出C的度数，利用余弦定理得到c2=a2+b22abcosC，利用完全平方公式变形后，将c，cosC及ab的值代入，求出a2+b2=7，与ab=2联立，根据a大于b，即可求出a与b的值18. （本小题满分12分） 某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图： （）补全频率分布直方图并求、的值；（）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，记选取的名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和期望。【知识点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列【答案解析】（）补全频率分布直方图见解析；n=1000,a=60,p=0.65（）分布列见解析；=2解析 ：解：（）第二组的频率为1（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）5=0.3，所以高为频率直方图如下：第一组的人数为，频率为0.045=0.2，所以由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为10000.3=300，所以第四组的频率为0.035=0.15，所以第四组的人数为10000.15=150，所以a=1500.4=60（）因为40，45）岁年龄段的“低碳族”与45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，40，45）岁中有12人，45，50）岁中有6人随机变量X服从超几何分布，所以随机变量X的分布列为X0123P数学期望【思路点拨】（I）由题意及统计图表，利用图表性质得第二组的频率为1（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）5=0.3，在有频率定义知高为，在有频率分布直方图会全图形即可；（II）由题意及（I）因为40，45）岁年龄段的“低碳族”与45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，40，45）岁中有12人，45，50）岁中有6人，并且由题意分出随机变量X服从超几何分布，利用分布列定义可以求出分布列，并利用分布列求出期望【典型总结】此题考查了频率分布直方图及其性质，还考查了统计中的分层抽样及离散型随机变量的定义及分布列，并考查了应用其分布列求其期望，重在考查学生的理解及计算能力19. （本小题满分12分） 如图，在直三棱柱中，是棱上的一点，是的延长线与的延长线的交点，且平面 （）求证： （）求二面角的平面角的余弦值； 【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的距离计算【答案解析】（）见解析（）解析 ：解：（）由题意作出如下图形并建立图示的空间直角坐标系：以A1点为原点，A1B1，A1C1，A1A所在的直线分别为x，y，z轴，建立图示的空间直角坐标系，则A1（0，0，0）B1（1，0，0）C1（0，1，0）B（1，0，1）（I）设C1D=x，ACPC1,可设D（0，1，x），=（0，1，x），设平面BA1D的一个法向量为=（a，b，c），则 令a=1，则=（1，x，1）PB1平面BA1D0=0x=；故CD=C1D（II）由（I）知，平面BA1D的一个法向量为又=（1，0，0）为平面AA1D的一个法向量，cos故二面角AA1DB的平面角的余弦值为【思路点拨】（I）由题意及图形建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用ACPC1，建立点D的汗有未知数x的坐标，利用PB1平面BDA1建立x的方程，解出即证出所求；（II）由题意及（I）所建立的坐标系，利用平面法向量与二面角的大小之间的关系求出二面角的大小（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，左顶点，离心率，F为右焦点，过焦点F的直线交椭圆C于P、Q两点（不同于点A）。（）求椭圆C的方程；（）当时，求直线PQ的方程；（）判断能否成为等边三角形，并说明理由。【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；三角形的形状判断；直线的一般式方程；椭圆的标准方程【答案解析】（）（）x+y1=0或xy1=0（）APQ不可能是等边三角形解析 ：解：（）设椭圆方程为（ab0），由已知a=2，c=1，b2=a2c2=3椭圆方程为（）椭圆右焦点F（1，0）设直线PQ方程为x=my+1（mR）由得（3x2+4）y2+6my9=0显然，方程的0设，则有=，=解得m=1直线PQ方程为x=y+1，即x+y1=0或xy1=0（）APQ不可能是等边三角形如果APQ是等边三角形，必有|AP|=|AQ|，（x1+2）2+y12=（x2+2）2+y22，（x1+x2+4）（x1x2）+（y1+y2）（y1y2）=0，m（y1+y2）+6m（y1y2）+（y1+y2）（y1y2）=0，y1y2，m=0，或（无解）而当m=0时，不能构成等边三角形APQ不可能是等边三角形【思路点拨】（）设出椭圆的标准方程根据题意可a，利用离心率求得c，则b可求得，椭圆的方程可得（）设出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，设出P，Q的坐标，进而根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，则利用弦长公式可表示出|PQ|求得m，直线的方程可得（）假设APQ是等边三角形，必有|AP|=|AQ|，利用两点间的距离公式表示出等式，求得关于m的方程，求得m，验证不符合题意21. （本小题满分12分） 设 （）若在上存在单调递增区间，求的取值范围； （）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值。【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【答案解析】（）（）解析 ：解：（）f（x）=x2+x+2af（x）在存在单调递增区间f（x）0在有解 f（x）=x2+x+2a对称轴为递减 解得（）当0a2时，0；f（x）=0得到两个根为；（舍）时，f（x）0；时，f（x）0当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8af（1）当x=4时最小=解得a=1，所以当x=时最大为【思路点拨】（）利用函数递增，导函数大于0恒成立，求出导函数的最大值，使最大值大于0（）求出导函数的根，判断出根左右两边的导函数的符号，求出端点值的大小，求出最小值，列出方程求出a，求出最大值选考题（本小题满分10分）（请考生在22,23,24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）22. 选修41：几何证明选讲如图，已知直线与圆相切于点，经过点的割线交圆于点和点，的平分线分别交，于点和。（）证明：= ；（）若 ,求的值 。【知识点】弦切角；相似三角形的性质【答案解析】（）见解析（）解析 ：解：（）PA是切线，AB是弦，BAP=C又APD=CPE，BAP+APD=C+CPEADE=BAP+APD，AED=C+CPE，ADE=AED（5分）（） 由（）知BAP=C，APC=BPA，AC=AP，APC=CAPC=C=BAP由三角形内角和定理可知，APC+C+CAP=180BC是圆O的直径，BAC=90APC+C+BAP=18090=90在RtABC中，即，在APC与BPA中BAP=C，APB=CPA，APCBPA （10分）【思路点拨】（）根据弦切角定理，得到BAP=C，结合PE平分APC，可得BAP+APD=C+CPE，最后用三角形的外角可得ADE=AED；（）根据AC=AP得到APC=C，结合（I）中的结论可得APC=C=BAP，再在APC中根据直径BC得到PAC=90+BAP，利用三角形内角和定理可得利用直角三角形中正切的定义，得到，最后通过内角相等证明出APCBPA，从而23. 选修44：坐标系与参数方程已知某圆的极坐标方程是，求（）圆的普通方程和一个参数方程 ；（）圆上所有点中的最大值和最小值。【知识点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程【答案解析】（）x2+y24x4y+6=0； （为参数）（）最小值是1；最大值是9.解析 ：解：（）普通方程：x2+y24x4y+6=0（2分）；参数方程： （为参数）（4分）（）xy=（2+cos）（2+sin）=4+2（sin+cos）+2sincos（5分）令sin+cos=t，2sincos=t21，则xy=t2+2t+3（6分）当t=时，最小值是1；（8分）当t=时，最大值是9；（10分）【思路点拨】（）圆的极坐标方程是，化为直角坐标方程即 x2+y24x4y+6=0，从而进一步得到其参数方程（）因为 xy=（2+cos）（2+sin）=4+2（sin+cos）+2sincos，再令sin+cos=t，则xy=t2+2t+3，根据二次函数的最值，求得其最大值和最小值24. 选修45：不等式选讲设函数（）解不等式；（）求函数的最小值。【知识点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义【答案解析】（）x|x8，或x2（）解析 ：解：（）不等式f（x）4，即|2x+1|x3|4，可得，或，或解可得x8，解可得 2x3，解可得x3再把的解集取并集可得不等式f（x）4的解集为x|x8，或x2（）函数y=f（x）=，如图所示：故当x=时，函数f（x）取得最小值为【思路点拨】（）不等式即|2x+1|x3|4，可得 三个不等式组分别求得各自的解集，再取并集，即得所求（）画出函数y=f（x）的图象，数形结合可得函数f（x）的最小值