泰安市新泰市2016届九年级上期中数学试卷含答案解析.doc

山东省泰安市新泰市2016届九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共20小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）ABCD2如图，点P是ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A0对B1对C2对D3对3如图，ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：BC=2DE；ADEABC；其中正确的有（）A3个B2个C1个D0个4如图，一个高为1m的油筒内有油，一根木棒长1.2m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到底部，另一端正好到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分的长0.36m，则桶内油的高度为（）A0.28mB0.385mC0.4mD0.3m5如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则DEF的面积与BAF的面积之比为（）A3：4B9：16C9：1D3：16在RtABC中，C=90，sinA=，则tanB的值为（）ABCD7已知a为锐角，且sin（a10）=，则a等于（）A50B60C70D808如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC的度数为（）A45B60C90D309有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；长度相等的弧的度数相等其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个10用一把带有刻度的直角尺，可以画出两条平行的直线a与b，如图（1）可以画出AOB的平分线OP，如图（2）可以检验工件的凹面是否成半圆，如图（3）可以量出一个圆的半径，如图（4）上述四个方法中，正确的个数是（）A4个B3个C2个D1个11如图，在O中，A、B、C、D均在圆上，BAC=25，CED=30，则BOD的度数是（）A55B110C125D15012如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（）ACM=DMBCAD=2BDDBCD=BDC13在圆柱形油槽内装有一些油截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（）A6分米B8分米C10分米D12分米14如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，若AOB=120，则大圆半径R与小圆半径r之间满足（）ABR=3rCR=2rD15如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（）A10mBmC15mDm16如图，在RtABC中，A=90，AC=6cm，AB=8cm，把AB边翻折，使AB边落在BC边上，点A落在点E处，折痕为BD，则tanDBE的值为（）ABCD17已知如图，CO、CB是O的弦，O与坐标系x、y轴交于B、A两点，OCB=60，点A的坐标为（0，1），则O的弦OB的长为（）A1B2CD218如图所示，在圆O内有折线OABC，其中OA=6，BC=16，A=B=60，则AB的长为（）A8B10C12D1419如图，已知OAB与OCD是相似比为1：3的位似图形，点O为位似中心，若OAB内一点P（x，y）与OCD内一点P是一对对应点，则点P的坐标是（）A（x，y）B（3x，3y）C（3x，3y）D（3x，3y）20如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），C的圆心坐标为（1，0），半径为1若D是O上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则ABE面积的最大值为（）A2+B2+C1D2二、填空题（本大题共4小题，满分12分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分）212cos30tan45=22如图，在ABC中，D是AB边上一点，连接CD，要使ADC与ABC相似，应添加的条件是23一艘轮船向正东航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60方向，航行2小时到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15方向上，且灯塔P到轮船航线的距离PD是（10+10）海里，则轮船的航行速度为海里/小时24如图，已知O的半径为3，DE是O的直径，过点D作O的切线AD，C是AD的中点，AE交O于B点，四边形BCPE是平行四边形，则AD的长为三、解答题（本大题共5小题，满分48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）25 如图，在平行四边形ABCD中，过点F为线段DE上一点，且AFE=B（1）求证：ADFDEC；（2）若AB=3，AD=2，AE=2，求AF的长26一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，ABCF，F=ACB=90，E=45，A=60，AC=10，试求CD的长27如图，在气象站台A的正西方向320km的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60的BD方向移动，在距离台风中心200km内的地方都要受到其影响（1）台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？（2）台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？28一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长29已知：如图，在ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分ABC交AE于点M，经过B，M两点的O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为O的直径（1）求证：AE与O相切；（2）当BC=4，cosC=时，求O的半径山东省泰安市新泰市2016届九年级上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共20小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）ABCD【考点】相似三角形的判定【专题】网格型【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，A、三角形三边2，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边，4，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误故选：B【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用2如图，点P是ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A0对B1对C2对D3对【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质【分析】利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ABDC，ADBC，EAPEDC，EAPCPB，EDCCBP，故有3对相似三角形故选：D【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键3如图，ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：BC=2DE；ADEABC；其中正确的有（）A3个B2个C1个D0个【考点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质【分析】若D、E是AB、AC的中点，则DE是ABC的中位线，可根据三角形中位线定理得出的等量条件进行判断【解答】解：D、E是AB、AC的中点，DE是ABC的中位线；DEBC，BC=2DE；（故正确）ADEABC；（故正确），即；（故正确）因此本题的三个结论都正确，故选A【点评】此题主要考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定和性质4如图，一个高为1m的油筒内有油，一根木棒长1.2m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到底部，另一端正好到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分的长0.36m，则桶内油的高度为（）A0.28mB0.385mC0.4mD0.3m【考点】相似三角形的应用【分析】利用相似三角形的判定方法得出ADEABC，进而利用相似三角形的性质得出答案【解答】解：如图所示：DECB，ADEABC，=，AC=1m，AB=1.2m，BD=0.36m，=，解得：EC=0.3，即桶内油的高度为：0.3m故选：D【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出相似三角形是解题关键5如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则DEF的面积与BAF的面积之比为（）A3：4B9：16C9：1D3：1【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质【分析】可证明DFEBFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，DCAB，DFEBFA，DE：EC=3：1，DE：DC=3：4，DE：AB=3：4，SDFE：SBFA=9：16 故选：B【点评】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方6在RtABC中，C=90，sinA=，则tanB的值为（）ABCD【考点】锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解【解答】解：由题意，设BC=4x，则AB=5x，AC=3x，tanB=故选B【点评】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义通过设参数的方法求三角函数值7已知a为锐角，且sin（a10）=，则a等于（）A50B60C70D80【考点】特殊角的三角函数值【分析】根据sin60=得出a的值【解答】解：sin60=，a10=60，即a=70故选C【点评】本题考查特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值的计算在2016届中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主8如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC的度数为（）A45B60C90D30【考点】等腰直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可【解答】解：根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=（）2+（）2=（）2AC2+BC2=AB2ABC是等腰直角三角形ABC=45故选A【点评】本题考查了勾股定理，判断ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键9有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；长度相等的弧的度数相等其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个【考点】命题与定理【分析】分析是否正确，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案【解答】解：直径是弦，正确；经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，故原命题错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，正确；长度相等的弧的度数不一定相等，故原命题错误；其中正确的有2个，故选：B【点评】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理10用一把带有刻度的直角尺，可以画出两条平行的直线a与b，如图（1）可以画出AOB的平分线OP，如图（2）可以检验工件的凹面是否成半圆，如图（3）可以量出一个圆的半径，如图（4）上述四个方法中，正确的个数是（）A4个B3个C2个D1个【考点】切线的性质；圆周角定理【专题】作图题；压轴题【分析】根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出正确个数【解答】解：根据平行线的判定：同位角相等，两直线平行，可知正确；可以画出AOB的平分线OP，可知正确；根据90的圆周角所对的弦是直径，可知正确；此作法正确正确的有4个故选A【点评】此题主要考查图形中平行线、角平分线的画法，90的圆周角所对的弦是直径，圆的切线的性质等知识此题综合性较强，有一定的灵活性11如图，在O中，A、B、C、D均在圆上，BAC=25，CED=30，则BOD的度数是（）A55B110C125D150【考点】圆周角定理【分析】首先连接BE，由圆周角定理即可得BEC的度数，继而求得BED的度数，然后由圆周角定理，求得BOD的度数【解答】解：连接BE，BEC=BAC=25，CED=30，BED=BEC+CED=55，BOD=2BED=110故选B【点评】此题考查了圆周角定理注意准确作出辅助线是解此题的关键12如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（）ACM=DMBCAD=2BDDBCD=BDC【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系【分析】根据垂径定理判断求解【解答】解：AB是O的直径，弦CDAB，由垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧知，CM=DM，；由圆周角定理知，BCD=BDC，故只有C错误故选C【点评】本题考查了垂径定理和圆周角定理13在圆柱形油槽内装有一些油截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（）A6分米B8分米C10分米D12分米【考点】垂径定理的应用【专题】压轴题【分析】如图，油面AB上升1分米得到油面CD，依题意得AB=6，CD=8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE=AB=3，CF=CD=4，设OE=x，则OF=x1，在RtOAE中，OA2=AE2+OE2，在RtOCF中，OC2=CF2+OF2，由OA=OC，列方程求x即可求半径OA，得出直径MN【解答】解：如图，依题意得AB=6，CD=8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE=AB=3，CF=CD=4，设OE=x，则OF=x1，在RtOAE中，OA2=AE2+OE2，在RtOCF中，OC2=CF2+OF2，OA=OC，32+x2=42+（x1）2，解得x=4，半径OA=5，直径MN=2OA=10分米故选C【点评】本题考查了垂径定理的运用关键是利用垂径定理得出两个直角三角形，根据勾股定理表示半径的平方，根据半径相等列方程求解14如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，若AOB=120，则大圆半径R与小圆半径r之间满足（）ABR=3rCR=2rD【考点】切线的性质；含30度角的直角三角形；垂径定理【专题】压轴题【分析】首先连接OC，根据切线的性质得到OCOB，再根据等腰三角形的性质可得到COB=60，从而进一步求出B=30，再利用直角三角形中30角所对的边等于斜边的一半，可得到R与r的关系【解答】解：连接OC，C为切点，OCAB，OA=OB，COB=AOB=60，B=30，OC=OB，R=2r故选C【点评】此题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题15如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（）A10mBmC15mDm【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【专题】压轴题【分析】由河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，可得到BAC=30，所以求得AB=2BC，得出答案【解答】解：河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，即tanBAC=，BAC=30，AB=2BC=25=10m，故选：A【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，关键是先由已知得出BAC=30，再求出AB16如图，在RtABC中，A=90，AC=6cm，AB=8cm，把AB边翻折，使AB边落在BC边上，点A落在点E处，折痕为BD，则tanDBE的值为（）ABCD【考点】翻折变换（折叠问题）【分析】先由勾股定理求得BC=10，然后由翻折的性质可知CE=2，设AD=x，则DE=x，CD=6x，在RtDCE中，利用勾股定理可求得DE的长，从而可求得tanDBE的值【解答】解：在RtABC中，由勾股定理得：BC=10由翻折的性质可知：AB=BE=8，AD=ED，DEB=DAB=90，CE=2，DEC=90设DE=AD=x，则CD=6x在RtDCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2，即（6x）2=x2+22，解得：x=DE=tanDBE=故选：A【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义，在RtDCE中，由勾股定理的到关于x的方程是解题的关键17已知如图，CO、CB是O的弦，O与坐标系x、y轴交于B、A两点，OCB=60，点A的坐标为（0，1），则O的弦OB的长为（）A1B2CD2【考点】圆周角定理；坐标与图形性质；垂径定理【分析】首先连接AB，由AOB=90，可得AB是直径，又由OAB=OCB=60，然后根据含30的直角三角形的性质，求得AB的长，然后根据勾股定理，求得OB的长【解答】解：连接AB，AOB=90，AB是直径，OAB=OCB=60，ABO=30，点A的坐标为（0，1），OA=1，AB=2OA=2，OB=故选C【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理注意准确作出辅助线是解此题的关键18如图所示，在圆O内有折线OABC，其中OA=6，BC=16，A=B=60，则AB的长为（）A8B10C12D14【考点】垂径定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理【分析】延长AO交BC于D，过O作BC的垂线，设垂足为E，根据A、B的度数易证得ABD是等边三角形，设AB的长为x，由此可表示出OD、BD和DE的长；在RtODE中，根据ODE的度数，可得出OD=2DE，进而可求出x的值【解答】解：延长AO交BC于D，作OEBC于E，如图所示：设AB的长为x，A=B=60，ADB=60；ADB为等边三角形；BD=AD=AB=x；OA=6，BC=16，BE=BC=8，DE=x8，OD=x6，又ADB=60，DE=OD，x8=（x6），解得：x=10故选：B【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及勾股定理的应用解答此题时，通过作辅助线将半径OB置于直角三角形OBE中，从而利用勾股定理求得19如图，已知OAB与OCD是相似比为1：3的位似图形，点O为位似中心，若OAB内一点P（x，y）与OCD内一点P是一对对应点，则点P的坐标是（）A（x，y）B（3x，3y）C（3x，3y）D（3x，3y）【考点】位似变换；坐标与图形性质【分析】利用若位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k，进而得出答案【解答】解：OAB与OCD是相似比为1：3的位似图形，点O为位似中心，OAB内一点P（x，y）与OCD内一点P是一对对应点，点P的坐标是：（3x，3y）故选：D【点评】此题主要考查了位似变换的性质，正确把握对应点坐标的性质是解题关键20如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），C的圆心坐标为（1，0），半径为1若D是O上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则ABE面积的最大值为（）A2+B2+C1D2【考点】切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征【分析】由题意可得当AD和C相切时，ABE的面积最大，画出此时的图形，然后由已知条件和三角形的相似，可以求得此时的ABE面积的最大值【解答】解：由题意可得，当AD与C相切时，ABE的面积最大，此时点D在D1的位置，如下图所示，连接CD1，则CD1A=90，CD1AOE1A，OA=2，AC=3，CD1=1，=2+，故选B【点评】本题考查切线的性质、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的相似、最值，解题的关键是明确题意画出相应的图形，求出相应的图形的面积二、填空题（本大题共4小题，满分12分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分）212cos30tan45=0【考点】特殊角的三角函数值【专题】计算题【分析】根据特殊角的三角函数值得到原式=21|1|，然后去绝对值后合并即可【解答】解：原式=21|1|=1+1=0故答案为0【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：cos30=；tan45=1； tan60=22如图，在ABC中，D是AB边上一点，连接CD，要使ADC与ABC相似，应添加的条件是ACD=B，ADC=ACB，【考点】相似三角形的判定【专题】开放型【分析】ACD和ABC中，已知了公共角A，若两个三角形相似，则需添加一组对应角相等，或夹A的两组对应边成比例【解答】解：ABC和ACD中，DAC=CAB，若要ADC与ABC，需添加的条件为：ADC=ACB；ACD=B；，或AC2=ABAD【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定方法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似23一艘轮船向正东航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60方向，航行2小时到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15方向上，且灯塔P到轮船航线的距离PD是（10+10）海里，则轮船的航行速度为20海里/小时【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】过点B作BCAP于点C，先求出AC=BC，PC=BC，再根据PD=10+10，求出AP，根据AP=AC+PC=BC+BC，求出BC，从而求出AB，最后根据路程、速度、时间之间的关系得出轮船的航行速度【解答】解：过点B作BCAP于点C，在RtABC，ACB=90，BAC=30，MAP=60，BAC=30，AB=2BC，AP=2PD=20+20，tan30=，AC=BC，ABP=105，APB=45，PC=BC，AP=AC+PC=BC+BC=20+20，BC=20，AB=40，航行2小时到达B处，轮船的航行速度为：402=20（海里/小时）故答案为：20【点评】本题考查解直角三角形的应用，有一定的难度，注意在解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线24如图，已知O的半径为3，DE是O的直径，过点D作O的切线AD，C是AD的中点，AE交O于B点，四边形BCPE是平行四边形，则AD的长为6【考点】切线的性质；平行四边形的性质【分析】连接BD，由ED为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到DBE为直角，由BCOE为平行四边形，得到BC与OE平行，且BC=OE=3，在直角三角形ABD中，C为AD的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出AD的长即可【解答】解：连接BD，DE是直径，DBE=90，四边形BCOE为平行四边形，BCOE，BC=OE=3，在RtABD中，C为AD的中点，BC=AD=3，AD=6，故答案为6【点评】此题考查了切线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键三、解答题（本大题共5小题，满分48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）25 如图，在平行四边形ABCD中，过点F为线段DE上一点，且AFE=B（1）求证：ADFDEC；（2）若AB=3，AD=2，AE=2，求AF的长【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质【分析】（1）由平行四边形的性质可知：ADCD，B=ADC，由平行线的性质可得到ADE=DEC，然后由三角形的外角和的性质和AFE=B可证明DAF=CDE，从而可得到ADFDEC；（2）在RtAED中，由勾股定理先求得DE的长，然后由ADFDEC可求得AF的长【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，ADBC，B=ADCADBC，ADE=DEC又AFE=B，AFE=ADCAFE=ADF+DAF，ADF+EDC=ADC，DAF=EDCADFDEC（2）AEBC，ADBC，AEAD在RtAED中，由勾股定理得：ED=4ADFDEC，解得：AF=【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质、勾股定理，证得DAF=EDC是解题的关键26一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，ABCF，F=ACB=90，E=45，A=60，AC=10，试求CD的长【考点】解直角三角形；平行线的性质【专题】计算题【分析】过点B作BMFD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在EFD中可求出EDF=45，进而可得出答案【解答】解：过点B作BMFD于点M，在ACB中，ACB=90，A=60，AC=10，ABC=30，BC=ACtan60=10，ABCF，BM=BCsin30=10=5，CM=BCcos30=15，在EFD中，F=90，E=45，EDF=45，MD=BM=5，CD=CMMD=155【点评】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答27如图，在气象站台A的正西方向320km的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60的BD方向移动，在距离台风中心200km内的地方都要受到其影响（1）台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？（2）台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？【考点】勾股定理的应用；方向角【分析】（1）过A作AEBD于E，线段AE的长即为台风中心与气象台A的最短距离，由含30角的直角三角形的性质即可得出结果；（2）根据题意得出线段CD就是气象台A受到台风影响的路程，求出CD的长，即可得出结果【解答】解：（1）过A作AEBD于E，如图1所示：台风中心在BD上移动，AE的长即为气象台距离台风中心的最短距离，在RtABE中，ABE=9060=30，AE=AB=160，即台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是160km（2）台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60的BD方向移动，在距离台风中心200km内的地方都要受到其影响，线段CD就是气象台A受到台风影响的路程，连接AC，如图2所示：在RtACE中，AC=200km，AE=160km，CE=120km，AC=AD，AECD，CE=ED=120km，CD=240km台风影响气象台的时间会持续24020=12（小时）【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用、垂径定理、含30角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理，求出CD是解决问题（2）的关键28一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长【考点】相似三角形的应用【分析】根据矩形性质得PNBC，PQ=DE，则可证明APNABC，根据相似的性质得出对应边成比例，分两种情况：若PQ为长，PN为宽，设PQ=3k，PQ=2k；PN为6，PQ为宽，设PN=3k，PQ=2k；分别由比例式得出方程，解方程即可【解答】解：如图所示：四边形PQMN是矩形，BCPQ，APQABC，由于矩形长与宽的比为3：2，分两种情况：若PQ为长，PN为宽，设PQ=3k，PQ=2k，则，解得：k=2，PQ=6cm，PN=4cm；PN为6，PQ为宽，设PN=3k，PQ=2k，则，解得：k=，PN=cm，PQ=cm；综上所述：矩形的长为6cm，宽为4cm；或长为cm，宽为cm【点评】本题考查了相似三角形的应用：在实际问题中抽象出几何图形，通过证明三角形相似，利用相似比表示线段之间的关系和计算线段的长29已知：如图，在ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分ABC交AE于点M，经过B，M两点的O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为O的直径（1）求证：AE与O相切；（2）当BC=4，cosC=时，求O的半径【考点】切线的判定；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形【专题】几何综合题【分析】（1）连接OM，证明OMBE，再结合等腰三角形的性质说明AEBE，进而证明OMAE；（2）结合已知求出AB，再证明AOMABE，利用相似三角形的性质计算【解答】（1）证明：连接OM，则OM=OB1=2BM平分ABC1=32=3OMBCAMO=AEB在ABC中，AB=AC，AE是角平分线AEBCAEB=90AMO=90OMAE点M在圆O上，AE与O相切；（2）解：在ABC中，AB=AC，AE是角平分线BE=BC，ABC=CBC=4，cosC=BE=2，cosABC=在ABE中，AEB=90AB=6设O的半径为r，则AO=6rOMBCAOMABE解得O的半径为【点评】本题是小综合题，考查等腰三角形，平行线，角平分线，直线和圆的位置关系，相似三角形等知识点