2019-2020年高三数学上学期第二次摸底考试试题 理.doc

2019-2020年高三数学上学期第二次摸底考试试题 理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=（x，y）|y=3x，B=（x，y）|y=2x，则AB=( ) A0 B1 C（0，1） D（1，0）2已知复数Z=( ) A.2+i B.2-i C.-l-2i D.-1+2i3函数f（x）=（x+1）|log2x|1的零点个数为A1B2C3D44下列说法中，不正确的是( ) A已知 ，命题“若 ，则a3”是“x2”的充分不必要条件5现有四个函数：; 的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )AB C D6已知数列an的前n项和为Sn，过点P(n，Sn)和Q(n1，Sn1)(nN*)的直线的斜率为3n2，则a2a4a5a9的值等于A52 B40 C26 D207 执行如图所示的程序框图，若输出的k值为5，则输入的整数p的最大值为（） A7B15C31D63 高三理数试题共4页第2页8. 某几何体的三视图如图所示，若其正视图为等腰梯形，侧视图为正三角形，则该几何体的表面积为（ ）A2+2B4+2C6D 89若函数f（x）=sin（x）（0）在区间（0，）上单调递增，则的取值范围是（）A（0，BCD（0，210已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，且与抛物线y2=x交于A、B两点，若OAB（O为坐标原点）的面积为2，则椭圆C的方程为（）A+=1B+y2=1C+=1D+=111已知各项都是正数的等比数列an中，存在两项am，an(m，nN*)使得4a1，且a7a62a5，则的最小值是( ) A . B. C. D .12已知a、bR，当x0时，不等式ax+blnx恒成立，则a+b的最小值为（）A1B0CD1本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13若变量x、y满足条件，则z=2xy的最小值为_14已知双曲线C1：=1（a0，b0）与C2：=1（a0，b0），给出下列四个结论：C1与C2的焦距相等；C1与C2的离心率相等；C1与C2的渐近线相同；C1的焦点到其渐近线的距离与C2的焦点到其渐近线的距离相等其中一定正确的结论是（填序号）_15已知D、E分别是ABC边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若=x+y，则xy的最大值为_16已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，M、N分别为棱BB1，B1C1的中点，由M，N，A三点确定的平面将该三棱柱分成体积不相等的两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤17如图，在ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知， BC=1（）若ABC是锐角三角形，求角A的大小； （）若BCD的面积为，求边AB的长 18 已知某种集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为 ，且每个电子元件能否正常工作相互独立若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元 (I)求集成电路E需要维修的概率； (II)若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望19如图1，已知四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，A=60，C=90，CD=CB=2，将ABD沿BD折起，得到三棱锥ABCD，如图2（1）若二面角ABDC的余弦值为，求证：AC平面BCD；（2）当三棱锥ABCD的体积最大时，求直线AD与平面ABC所成角的正弦值20已知动点P到定点F（1，0）的距离比到直线x+2=0的距离小1（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若曲线E上存在A、B两点关于直线l：2x+4y9=0对称，且线段AB的延长线与直线x+1=0相交于点C，求：（i）直线AB的方程；（ii）FAB与FCB的面积之比21已知函数f（x）=xlnxx2（aR）（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）x有两个极值点x1、x2，求证：+2ae请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23（已知曲线C1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是=4cos（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求OAB的面积（O为坐标原点）【选修4-5：不等式选讲】24设函数f（x）=|2x+1|+|xa|（aR）（1）当a=2时，求不等式f（x）4；（2）当a时，若存在x使得f（x）+x3成立，求a的取值范围参考答案与试题解析 数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A=（x，y）|y=3x，B=（x，y）|y=2x，则AB=（）A0B1C（0，1）D（1，0）考点：交集及其运算 专题：集合分析：直接作出两个集合中函数的图象得答案解答：解：作出函数y=3x与y=2x的图象如图，由图可知，AB=（0，1）故选：C点评：本题考查了交集及其运算，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题2（5分）选：C点评：本题考查复数的乘除运算和几何意义，属基础题3（5分）函数f（x）=（x+1）|log2x|1的零点个数为（）A1B2C3D4考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：由f（x）=0，得|log2x|=，然后在坐标系中分别作出函数y=log2x，y=的图象，利用图象观察函数零点的个数解答：解：函数的定义域为x|x0，由f（x）=0，得log2x=，在坐标系中分别作出函数y=log2x，y=的图象如图：由图象可知两个函数只有2个交点，函数f（x）=（x+1）|log2x|1的零点个数为2个故选：B点评：本题主要考查函数零点的个数判断，利用数形结合的思想是解决本题的关键4（5分）选 B5（5分）选：C6（5分BCD（0，2考点：正弦函数的单调性 专题：三角函数的图像与性质分析：由正弦函数的增区间求出三角函数f（x）=sin（x）（0）的增区间，取k=0得一个增区间为，由求得的取值范围解答：解：由x，得，取k=0，得，函数f（x）=sin（x）（0）在区间（0，）上单调递增，即又0，的取值范围是（0，故选：A点评：本题给出函数y=Asin（x+）的一个单调区间，求的取值范围，着重考查了正弦函数的单调性和三角函数的图象变换等知识，属于基础题10（5分）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，且与抛物线y2=x交于A、B两点，若OAB（O为坐标原点）的面积为2，则椭圆C的方程为（）A+=1B+y2=1C+=1D+=1考点：椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由已知得，由此能求出椭圆C的方程解答：解：椭圆C：+=1（ab0）与抛物线y2=x交于A、B两点，OAB（O为坐标原点）的面积为2，设A（x，），B（x，），解得x=2，由已知得，解得a=2，b=2，椭圆C的方程为+=1故选：A点评：本题考查椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的合理运用11（5分）(54). 故选A12（5分）已知a、bR，当x0时，不等式ax+blnx恒成立，则a+b的最小值为（）A1B0CD1考点：函数恒成立问题；基本不等式 专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用分析：令y=lnxaxb，求出导数，当a0时，y0，函数递增，无最值当a0时，求得单调区间，和极值及最值，进而得到a+b的不等式，再令f（a）=a1lna，通过导数求出单调区间和极值、最值，进而得到a+b的最小值解答：解：令y=lnxaxb，则y=（x0），当a0时，y0，函数递增，无最值当a0时，0x时，y0，函数递增；当x时，y0，函数递减则x=处取得极大值，也为最大值，且为lna1b当x0时，不等式ax+blnx恒成立，即有lna1b0，即b1lna，a+ba1lna，令f（a）=a1lna，f（a）=1=，当a1时，f（a）0，f（a）递增；当0a1时，f（a）0，f（a）递减则a=1处f（a）取得极小值，也为最小值，且为0即有a+b0即有a+b的最小值为0故选：B点评：本题考查不等式的恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，运用导数判断单调性，求极值和最值是解题的关键，属于中档题本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）若变量x、y满足条件，则z=2xy的最小值为2考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，由最优解可得z=2xy的最小值解答：解：由约束条件作出可行域如图，化z=2xy为y=2xz，由图可知，当直线y=2xz与y=2x+2重合时，直线y=2xz在y轴上的截距最大，z有最小值，最小值为2故答案为：2点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14（5分）已知双曲线C1：=1（a0，b0）与C2：=1（a0，b0），给出下列四个结论：C1与C2的焦距相等；C1与C2的离心率相等；C1与C2的渐近线相同；C1的焦点到其渐近线的距离与C2的焦点到其渐近线的距离相等其中一定正确的结论是（填序号）考点：双曲线的简单性质 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：对四个选项分别进行判断，即可得出结论解答：解：C1与C2的c都等于，C1与C2的焦距相等；双曲线C1离心率为，双曲线C2离心率为，C1与C2的离心率不一定相等；双曲线C1与C2的渐近线都为y=x，即C1与C2的渐近线相同；C1的焦点（c，0）到其渐近线的距离=b，C2的焦点（0，c）到其渐近线的距离=a，故C1的焦点到其渐近线的距离与C2的焦点到其渐近线的距离不一定相等故答案为：点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础15（5分）已知D、E分别是ABC边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若=x+y，则xy的最大值为考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，=x+y，可得=3x+，利用向量共线定理可得=1，再利用基本不等式的性质即可得出解答：解：如图所示，BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，=x+y，=3x+，=1，2x+y=x，y0，当且仅当y=2x=时取等号则xy的最大值为故答案为：点评：本题考查了向量共线定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，M、N分别为棱BB1，B1C1的中点，由M，N，A三点确定的平面将该三棱柱分成体积不相等的两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离分析：延长MN与CC1的交点为P，与CB的交点为Q，连结AP交A1C1为D，连结DN，得到截面为DNMA，由题意得A1D=2DC1，由此能求出较小部分与较大部分的体积之比解答：解：延长MN与CC1的交点为P，与CB的交点为Q，连结AP交A1C1为D，连结DN，得到截面为DNMA，由题意得A1D=2DC1，设三棱柱是直三棱柱，底面ABBC，且设AB=BC=AA1=2，QB=1，MB=1，NC=1，PC1=1，棱柱体积V=4，下部分体积V下=VPAQCVMAQB=，上部分体积V上=VV下=4=，较小部分与较大部分的体积之比为：=故答案为：点评：本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤18.解：（）三个电子元件能正常工作分别记为事件，则. 依题意，集成电路E需要维修有两种情形：3个元件都不能正常工作，概率为； 2分3个元件中的2个不能正常工作，概率为 5分所以,集成电路E需要维修的概率为 6分（）设为维修集成电路的个数，则，而， 9分的分布列为：0100200 10分或. 12分19（12分）如图1，已知四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，A=60，C=90，CD=CB=2，将ABD沿BD折起，得到三棱锥ABCD，如图2（1）若二面角ABDC的余弦值为，求证：AC平面BCD；（2）当三棱锥ABCD的体积最大时，求直线AD与平面ABC所成角的正弦值考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）设AC，BD交于点O，CO=BO=DO=，AB=AD=2，AO=，将ABD沿BD折起，AOBD，COBD，CO=，AOC是二面角ABDC的平面角，设AC=x，解得AC=2，由勾股定理得BCAC，DCAC，由此能证明AC平面BCD（2）三棱锥ABCD的体积最大时，AC平面BCD，以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AD与平面ABC所成角的正弦值解答：解：（1）证明：在图（1）中，设AC，BD交于点O，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，A=60，C=90，CD=CB=2，CO=BO=DO=，AB=AD=2，AO=，将ABD沿BD折起，AOBD，COBD，CO=，AOC是二面角ABDC的平面角，设AC=x，二面角ABDC的余弦值为，解得x=2，即AC=2，BC=DC=2，AB=AD=2，BC2+AC2=AB2，CD2+AC2=AD2，BCAC，DCAC，又BCCD=C，AC平面BCD（2）解：三棱锥ABCD的体积最大时，AC平面BCD，以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，2），D（0，2，0），=（0，2，2），平面ABC的法向量=（0，1，0），设直线AD与平面ABC所成角为，则sin=|cos|=|=直线AD与平面ABC所成角的正弦值为点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、折叠问题等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力20（12分）已知动点P到定点F（1，0）的距离比到直线x+2=0的距离小1（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若曲线E上存在A、B两点关于直线l：2x+4y9=0对称，且线段AB的延长线与直线x+1=0相交于点C，求：（i）直线AB的方程；（ii）FAB与FCB的面积之比考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由题意可得动点P到定点F（1，0）的距离与到直线x+1=0的距离相等可得动点P的轨迹E是抛物线（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0），把A，B的坐标代入抛物线方程可得：，相减可得2y0kAB=4，由直线l的斜率kl=，可得kAB=2，解得y0，代入直线l的方程可得M，利用点斜式可得直线AB的方程（ii）令x=1，代入直线AB的方程解得C联立，解得A，B，利用=即可得出解答：解：（1）由题意可得动点P到定点F（1，0）的距离与到直线x+1=0的距离相等动点P的轨迹E是抛物线：点F为焦点，直线x=1为准线，可得方程为：y2=4x（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0），把A，B的坐标代入抛物线方程可得：，相减可得=4，2y0kAB=4，kAB=22y0=2，解得y0=1，代入方程2x+4y9=0可得2x0+49=0，解得x0=M，可得直线AB的方程为：，化为2xy4=0（ii）令x=1，代入直线AB的方程2xy4=0，解得y=6，C（1，6）联立，解得或，A（4，4），B（1，2），|AB|=，|BC|=2=点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得出交点、两点之间的距离公式、三角形面积之比、线段的垂直平分线的性质、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题21（12分）已知函数f（x）=xlnxx2（aR）（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）x有两个极值点x1、x2，求证：+2ae考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：（1）求出f（x）的导函数，切线斜率k=f（1），利用切线的定义，即可求出切线方程；（2）函数g（x）=f（x）x有两个极值点x1、x2，即导函数g（x）有两个不同的实数根x1、x2，对a进行分类讨论，令1，构造函数（t），利用函数（t）的单调性证明不等式解答：解：（1）当a=2时，f（x）=xlnxx2，f（x）=lnx+1x2，f（1）=1，f（1）=1，曲线y=f（x）在（1，f（1）处的切线方程为y=x；（2）g（x）=f（x）1=lnxax，函数g（x）=f（x）x有两个极值点x1、x2，即g（x）=lnxax=0有两个不同的实根，当a0时，g（x）单调递增，g（x）=0不可能有两个不同的实根；当a0时，设h（x）=lnxax，若时，h（x）0，h（x）单调递增，若时，h（x）0，h（x）单调递减，0，0不妨设x2x10，lnx1ax1=0，lnx2ax2=0，lnx1lnx2=a（x1x2），先证，即证，即证令，即证设（t）=，则（t）=函数（t）在（1，+）上单调递减，（t）（1）=0，证：+2，又ae1，+2ae点评：本题考查了，利用导数求函数的切线，运用分类讨论，等价转化思想证明不等式是一道导数综合题，难题较大请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22（10分）如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题；立体几何分析：（1）利用PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，证明：DGP=PDG，即可证明PC=PD；（2）若AC=BD，证明DE为圆的一条直径，即可证明线段AB与DE互相平分解答：证明：（1）PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，PDA=DBA，BDA=90，DBA+DAB=90，PEAB在RtAFG中，FGA+GAF=90，FGA+DAB=90，FGA=DBAFGA=DGP，DGP=PDA，DGP=PDG，PG=PD；（2）连接AE，则CEAB，AB为圆的一条直径，AE=AC=BD，EDA=DAB，DEA=DBA，BDAEAD，DE=AB，DE为圆的一条直径，线段AB与DE互相平分点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查圆的切线的性质，比较基础【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23（10分）已知曲线C1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是=4cos（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求OAB的面积（O为坐标原点）考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：（1）把消去化为普通方程，由极坐标方程=4cos化为直角坐标方程得x2+y2=4x，联立求出交点的直角坐标，化为极坐标得答案；（2）画出两圆，数形结合得到A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大，求出|AB|及O到AB的距离代入三角形的面积公式得答案解答：解：（1）由，得，两式平方作和得：x2+（y2）2=4，即x2+y24y=0；由=4cos，得2=4cos，即x2+y2=4x两式作差得：x+y=0，代入C1得交点为（0，0），（2，2）其极坐标为（0，0），（）；（2）如图，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大此时|AB|=，O到AB的距离为OAB的面积为S=点评：本题考查了参数方程化普通方程，极坐标与直角坐标的互化，考查了数形结合的解题思想方法，是基础的计算题【选修4-5：不等式选讲】24设函数f（x）=|2x+1|+|xa|（aR）（1）当a=2时，求不等式f（x）4；（2）当a时，若存在x使得f（x）+x3成立，求a的取值范围考点：绝对值不等式的解法 专题：计算题；推理和证明分析：（1）运用函数的零点分区间，讨论当x2、x、x2时，化简不等式解得，最后求并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最小值，即可解出实数a的取值范围解答：解：（1）当a=2时，f（x）=|2x+1|+|x2|，当x2时，f（x）4，即为（2x+1）+（x2）4，即x成立，则有2x；当x时，f（x）4，即为（2x+1）（x2）4，即x1，则1x；当x2时，f（x）4，即为（2x+1）（x2）4，即x1，则有x1则原不等式的解集为；（2）由a，x可得f（x）+x=，存在x使得f（x）+x3成立，3|f（x）+x|min=a1，求得a4，则a的取值范围为4，）点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的存在性问题，注意与恒成立问题的区别，属于中档题和易错题