2019-2020年高三数学第一次月考试题 理（含解析）.doc

2019-2020年高三数学第一次月考试题 理（含解析）【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。时量120分钟。满分150分。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1已知集合Mx22x0，Nxa，若MN，则实数a的取值范围是( )A2，) B(2，) C(，0) D(，0 【知识点】子集的运算.A1 【答案解析】A 解析：因为 Nxa，MN，所以，故选A.【思路点拨】先化简集合M，再利用MN即可.【题文】2下列四个命题p1：x(0，)，logxp3：x(0，)，logx p4：x，0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则的最小值为( )A B. C. D.【知识点】函数y=Asin（x+）的图象变换C4 【答案解析】C 解析：化简得，根据图象平移规律可得平移后函数，又所得函数图象关于原点对称，（kZ）,（kZ），当k=1时，取最小值为,故选C.【思路点拨】化简得，根据图象平移规律可得平移后函数，又所得函数图象关于原点对称解得取最小值为.【题文】5若实数x，y满足条件，则zx3y的最大值为( )A9 B11 C12 D16【知识点】简单线性规划E5 【答案解析】B 解析：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+3y，得，平移直线，由图象可知当，经过点C时，直线截距最大，此时z最大由得，即C（2，3），此时z=x+3y=2+33=11，故选：B【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用利用数形结合即可得到结论【题文】6不全相等的五个数a、b、c、m、n具有关系如下：a、b、c成等比数列，a、m、b和b、n、c都成等差数列，则( )A2 B0 C2 D不能确定【知识点】等差、等边数列.D2 D3 【答案解析】C 解析：不妨令则，代入可得，故选C.【思路点拨】不妨令则，代入可得结果.【题文】7已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x、y的正半轴上(含原点)滑动，则的最大值是( )A1 B. C2 D.【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用F3 【答案解析】C 解析：如图令OAD=，由于AD=1故0A=cos，OD=sin，如图BAX=-，AB=1，故xB=cos+cos（-）=cos+sin，yB=sin（-）=cos，故=（cos+sin，cos）同理可求得C（sin，cos+sin），即=（sin，cos+sin），=（cos+sin，cos）（sin，cos+sin）=1+sin2，故的最大值是2，故答案是 2【思路点拨】令OAD=，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可【题文】8一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为( )A. B. C. D2【知识点】三视图.G2 【答案解析】D 解析：如图所示，四面体为棱长为2的正四面体，.【思路点拨】根据题意转化为正方体内的正四面体，可知其棱长再求面积即可.【题文】9若曲线C1：x2y22x0与曲线C2：y(ymxm)0有4个不同的交点，则实数m的取值范围是( )A. B.C. D.【知识点】圆的一般方程；圆方程的综合应用H3 H4 【答案解析】B 解析：曲线C1：(x1)2y21，图象为圆心为(1，0)，半径为1的圆；曲线C2：y0，或者ymxm0，直线ymxm0恒过定点(1，0)，即曲线C2图象为x轴与恒过定点(1，0)的两条直线作图分析：k1tan 30，k2tan 30，又直线l1(或直线l2)、x轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知mk.【思路点拨】由题意可知曲线C1：x2+y2-2x=0表示一个圆，曲线C2：y（y-mx-m）=0表示两条直线y=0和y-mx-m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y-mx-m=0要有2个交点，根据直线y-mx-m=0过定点，先求出直线与圆相切时m的值，然后根据图象即可写出满足题意的m的范围【题文】10已知集合A，其中ai且a30，则A中所有元素之和等于( )A3 240 B3 120 C2 997 D2 889【知识点】数列的求和;分类计数原理.J1 D4 【答案解析】D 解析：由题意可知，a0，a1，a2各有3种取法(均可取0，1，2)，a3有2种取法(可取1，2)，由分步计数原理可得共有3332种方法，当a0取0，1，2时，a1，a2各有3种取法，a3有2种取法，共有33218种方法，即集合A中含有a0项的所有数的和为(012)18；同理可得集合A中含有a1项的所有数的和为(303132)18；集合A中含有a2项的所有数的和为(320321322)18；集合A中含有a3项的所有数的和为(331332)27；由分类计数原理得集合A中所有元素之和：S(012)18(303132)18(320321322)18(331332)2718(3927)81277022 1872 889.故选D.【思路点拨】由题意可知a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法，利用数列求和即可求得A中所有元素之和二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上【题文】11在ABC中，a15，b10，A60，则cos B_【知识点】正弦定理.C8 【答案解析】 解析：在ABC中，a=15，b=10，A=60，由正弦定理可得，解得sinB=又因为ba，所以B0恒成立，也就是a.【思路点拨】由题意f(x)4对任意x0恒成立, 由此构造关于a的不等式，可得实数a的取值范围【题文】15两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，图中的实心点的个数1、5、12、22、，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a11，第2个五角形数记作a25，第3个五角形数记作a312，第4个五角形数记作a422，若按此规律继续下去，则a5_，若an145，则n_.【知识点】归纳推理M1 【答案解析】35,10 解析：第一个有1个实心点，第二个有1+13+1=5个实心点，第三个有1+13+1+23+1=12个实心点，第四个有1+13+1+23+1+33+1=22个实心点，第n个有1+13+1+23+1+33+1+3（n-1）+1=+n个实心点，故当n=5时，+n=30+5=35个实心点若an=145，即+n=145，解得n=10故答案为：35，10【思路点拨】仔细观察法各个图形中实心点的个数，找到个数之间的通项公式，再求第5个五角星的中实心点的个数及an=145时，n的值即可三、解答题：本大题共6个小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】16(本题满分12分)设f(x)sin2cos2x1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数yf(x)与yg(x)的图象关于直线x1对称，求当x时yg(x)的最大值【知识点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域C3 C5 【答案解析】(1) 8 (2) 解析：(1)f(x)sinxcoscosxsincosxsinxcosxsin，故f(x)的最小正周期为T8. (6分)(2)法一：在yg(x)的图象上任取一点(x，g(x)，它关于x1的对称点为(2x，g(x)由题设条件，点(2x，g(x)在yf(x)的图象上，从而g(x)f(2x)sinsincos，当0x时，x ，因此yg(x)在区间 上的最大值为ymaxcos.(12分)法二： 因区间关于x1的对称区间为， 且yg(x)与yf(x)的图象关于直线x1对称，故yg(x)在区间上的最大值为yf(x)在区间上的最大值由(1)知f(x)sin.当x2时，x.因此yg(x)在区间上的最大值为ymaxsin.(12分)【思路点拨】（1）f（x）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x），根据f（x）与g（x）关于直线x=1对称，表示出此点的对称点，根据题意得到对称点在f（x）上，代入列出关系式，整理后根据余弦函数的定义域与值域即可确定出g（x）的最大值【题文】17(本题满分12分)某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛甲选手通过项目A、B、C测试的概率为分别为、， 且通过各次测试的事件相互独立(1)若甲选手先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；(2)若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选时参加测试的次数为，求的分布列和期望(用p1、p2、p3表示)；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛【知识点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列K5 K6 【答案解析】(1) 即无论按什么顺序，其能通过海选的概率均为 (2) 按CBA的顺序参加测试更有利于进入正赛解析：(1)依题意，甲选手不能通过海选的概率为， 故甲选手能通过海选的概率为1.(3分)若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响，因为无论按什么顺序，其不能通过的概率均为，即无论按什么顺序，其能通过海选的概率均为.(5分)(2)依题意，的所有可能取值为1、2、3.P(1)p1，P(2)(1p1)p2，P(3)(1p1)(1p2)p3.故的分布列为123Pp1(1p1) p2(1p1)(1p2)p3(8分)Ep12(1p1)p23(1p1)(1p2)p3(10分)分别计算当甲选手按CBA，CAB，BAC，BCA，ABC，ACB的顺序参加测试时，E的值，得甲选手按CBA的顺序参加测试时，E最小，因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛，故该选手选择将自己的优势项目放在前面，即按CBA的顺序参加测试更有利于进入正赛(12分)【思路点拨】（1）求出甲同学不能通过海选的概率，利用对立事件的概率公式，可求甲同学能通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概没有影响，因为无论按什么顺序，甲同学不能通过海选的概率不变；（2）的可能取值为1，2，3，求出相应概率，可得分布列与期望；利用参加海选测试次数少的选手进入正赛，可得结论【题文】18(本题满分12分)如图，ABC的外接圆O的半径为5，CE垂直于O所在的平面，BDCE，CE4，BC6，且BD1，cosADB.(1)求证：平面AEC平面BCED；(2)试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由【知识点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定G10 【答案解析】(1)见解析 (2) 存在点M，且时，直线AM与平面ACE所成角的正弦值为.解析：(1)证明：BD平面ABCBDAB，又因为 BD1，cosADB.故AD，AB10直径长，(3分)ACBC.又因为EC平面ABC，所以ECBC.ACECC，BC平面ACE，又BC平面BCED，平面AEC平面BCED.(6分)(2)法一：存在，如图，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CE为z轴建立空间直角坐标系，则有点的坐标，A(8，0，0)，B(0，6，0)，D(0，6，1)，E(0，0，4)则(8，6，1)，(0，6，3)，设(0，6，3)(0，6，3)，0b0)的右焦点F和上顶点B.(1)求椭圆的方程；(2)如图，过原点O的射线l与椭圆在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点， 求的最大值【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题H8 【答案解析】(1) 1. (2) 2.解析：(1)在C：(x1)2(y1)22中，令y0得F(2，0)，即c2，令x0，得B(0，2)，b2，由a2b2c28，椭圆：1.(4分)(2)法一：依题意射线l的斜率存在，设l：ykx(x0，k0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2) 由得：(12k2)x28，x2.(6分)由得：(1k2)x2(22k)x0，x1，(x2，kx2)(x1x2k2x1x2)2(k0). (9分)22.设(k)，(k)，令(k)0，得1k0，(k)在上单调递增，在上单调递减当k时，(k)max，即的最大值为2.(13分)法二：依题意射线l的斜率存在，设l：ykx(x0，k0)，设P(x1，kx1)， Q(x2，kx2) 由得：(12k2)x28，x2.(6分)()(1，1)(x2，kx2)(1k)x22(k0)(9分)2.设t1k(t1)，则.当且仅当时，()max2.(13分)【思路点拨】(1) 在圆（x-1）2+（y-1）2=2中，令y=0，得F（2，0），令x=0，得B（0，2），由此能求出椭圆方程 (2) 依题意射线l的斜率存在，设l：ykx(x0，k0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2) ，把直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系代入，再结合基本不等式即可.【题文】21(本题满分13分)已知函数f(x)exax22x1(xR)(1)当a0时，求f(x)的单调区间；(2)求证：对任意实数a.【知识点】利用导数求函数的单调区间；利用导数结合函数的单调性证明不等式.B3 B12 【答案解析】(1) (，ln 2)是f(x)的单调减区间，(ln 2，)是f(x)的单调增区间 (2)见解析。解析：(1)当a0时，f(x)ex2x1(xR)，f(x)ex2，且f(x)的零点为xln 2，当x(，ln 2)时，f(x)0 即(，ln 2)是f(x)的单调减区间，(ln 2，)是f(x)的单调增区间(5分)(2)由f(x)exax22x1(xR)得：f(x)ex2ax2，记g(x)ex2ax2(xR)a0，即f(x)g(x)是R上的单调增函数，又f(0)10，故R上存在惟一的x0(0，1)，使得f(x0)0，(8分)且当xx0时，f(x)x0时，f(x)0.即f(x)在(，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，则f(x)minf(x0)ex0ax2x01，再由f(x0)0得ex02ax02，将其代入前式可得f(x)minax2(a1)x01(10分)又令(x0)ax2(a1)x01a1由于a0，对称轴x1，而x0，(x0)(1)a1又(a1)0，(x0)故对任意实数a.(13分)【思路点拨】(1) 当a0时，求导解出零点求出单调区间即可；(2)利用导数结合单调性证明即可.