2019-2020年高三数学下学期学情监测试题.doc

2019-2020年高三数学下学期学情监测试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1已知集合，则MN 2已知复数为虚数单位），则= 3某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：40，50)，50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 4阅读下面的流程图，若输入a10，b6，则输出的结果是 5盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于 6函数 （，则“”是“函数为奇函数”的 条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”）7在平面直角坐标系xOy中，双曲线的两条渐近线与抛物线y24x的准线相交于A，B两点若AOB的面积为2，则双曲线的离心率为 8过点(，0)引直线与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线的斜率等于 9已知中，,且,则= 10在中，,点P在边上，则的最大值为 11若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 12在正三棱锥中，过A作三棱锥的截面,则截面三角形的周长的最小值为 13已知实数，有且仅有两个不等实根，且较大的实根大于3，则实数的取值范围 14若等差数列满足，则的最大值为 二、解答题：（本大题共6小题,共90分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 15（本题满分14分）已知向量，向量，函数求的最小正周期；已知分别为内角的对边，为锐角，且恰是在上的最大值，求和16（本题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE若F为PE的中点，求证BF平面ACE；求三棱锥PACE的体积17（本题满分14分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估该商品原来每件售价为25元，年销售8万件据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少xx件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价18（本题满分16分）如图，圆O与离心率为的椭圆T：（）相切于点M求椭圆T与圆O的方程；过点M引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为、，求的最大值；若，求与的方程19（本题满分16分）已知数列an的首项a12，且对任意nN*，都有an1banc，其中b，c是常数若数列an是等差数列，且c2，求数列an的通项公式；若数列an是等比数列，且|b|1，当从数列an中任意取出相邻的三项，按某种顺序排列成等差数列，求使数列an的前n项和Sn成立的n的取值集合20（本题满分16分）已知函数，其中为实常数.若在上恒成立，求的取值范围；已知，是函数图象上两点，若在点处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；设定义在区间上的函数在点处的切线方程为，当时，若在上恒成立，则称点为函数的“好点”试问函数是否存在“好点”若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由 xx学年高三学情监测数 学（附加） 试 卷1（本题满分10分）已知曲线，在矩阵M对应的变换作用下得到曲线，在矩阵N对应的变换作用下得到曲线，求曲线的方程2（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数 )，圆C的参数方程为(为参数)若点P是圆C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值3（本题满分10分）AMBCODE如图，平面平面，是等腰直角三角形，四边形是直角梯形，,分别为的中点() 求异面直线与所成角的大小；() 求直线和平面所成角的正弦值4（本题满分10分）设为虚数单位，为正整数证明：；结合等式“”证明：xx学年高三数学学情监测参考答案1. 2. 3. 480 4. 2 5. 6. 充要 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.15.解：（1）2分 ， 4分 6分（2） 由（1）知：，当时, 当时取得最大值，此时10分由得 由余弦定理，得， 14分16. 解：（1）若F为PE的中点，由于底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE，故E、F都是线段PD的三等分点设AC与BD的交点为O，则OE是BDF的中位线，故有BFOE，而OE在平面ACE内，BF不在平面ACE内，故BF平面ACE6分（2）由于侧棱PA丄底面ABCD，且ABCD为矩形，故有CDPA，CDAD，故CD平面PAE，8分三棱锥PACE的体积VPACE=VCPAE10分=SPAECD=（SPAD）AB=（PAPD）AB=PAPDAB=121=14分17. 解：(1)设每件定价为t元，依题意得t258，整理得t265t1 0000，解得25t40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元(2)依题意知当x25时，不等式ax25850(x2600)x有解，等价于x25时，ax有解由于x2 10，当且仅当，即x30时等号成立，所以a10.2.当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元. 18. 解: (1)由题意知: 解得可知:椭圆的方程为与圆的方程4分(2)设因为,则因为所以,7分因为 所以当时取得最大值为，此时点9分(3)设的方程为,由解得；由解得11分把中的置换成可得，12分所以，由得解得15分所以的方程为，的方程为或的方程为，的方程为16分19.解： (1) 当c2时，由已知得a12，a2ba122b2，a3ba222b22b2，因为an是等差数列，所以a1，a2，a3成等差数列，所以a1a32a2，即2(2b22b2)2(2b2)，所以b2b0，解得b0，或b1.(2分)当b0时，an2，对nN*，an1an0成立，所以数列an是等差数列，当b1时，an1an2，对nN*，an1an2成立，所以数列an是等差数列；所以数列an的通项公式分别为an2或an2n.(4分)(2) 因为an是等比数列，所以a1，a2，a3成等比数列，所以a1a3a，即2b(2bc)c(2bc)2，化简得2bcc22c，所以c0或2bc2.当2bc2时，a2ba1c2bc2，所以an2，不满足Sn.当c0时，若b0，则与a12矛盾，所以b0，因此an2bn1.(8分)则an12bn，an22bn1，因为an，an1，an2按某种顺序排列成等差数列，所以有1b2b2，或1b22b，或bb22，解之得b1或b或b2.(12分)又因为|b|1，所以b，所以Sn，由Sn，得，即n，因为n是正整数，所以n的取值集合为2,4,6,8(16分)20. 解：（1）方法一：在上恒成立，即为在上恒成立，时，结论成立；时，函数图象的对称轴为，所以函数在单调递增，依题意，即，所以；不合要求，综上可得，实数的取值范围是 4分方法二：在上恒成立等价于，令因为，所以，故所以.（2）设，过点的两切线互相平行，则，所以（舍去），或，过点的切线：，即，6分过点的切线：两平行线间的距离是，因为，所以即两平行切线间的最大距离是10分（3），设存在“好点”， 由，得，依题意对任意恒成立，因为，13分所以对任意恒成立， 若，不可能对任意恒成立，即时，不存在“好点”；若，因为当时，要使对任意恒成立，xx学年高三数学（附加）学情监测参考答案1.解：设 则A， 3分设是曲线C上任一点，在两次变换下，在曲线上的对应的点为，则 ，即 7分又点在曲线上， ，即10分2.解：（方法一）直线l的普通方程为xy0 3分因为点P在圆C上，故设P(cos，sin)，从而点P到直线l的距离d 7分所以dmin1即点P到直线l的距离的最小值为1 10分(方法二) 直线l的普通方程为xy0 3分圆C的圆心坐标为(，0)，半径为1从而圆心C到直线l的距离为d 6分所以点P到直线l的距离的最小值为1 10分3.如图，平面平面，是等腰直角三角形，四边形是直角梯形，,分别为的中点() 求异面直线与所成角的大小；() 求直线和平面所成角的正弦值解：，又面面，面面，BDAE， 2分AMBCODExyz如图所示，以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴，以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设各点坐标为，则，.（1），则与所成角为. 5分（2）设平面ODM的法向量，则由，且可得令，则，设直线CD和平面ODM所成角为，则，直线CD和平面ODM所成角的正弦值为 10分4. 设为虚数单位，为正整数（1）证明：；（2）结合等式“”证明： 证明：（1）当时，即证； 1分 假设当时，成立，则当时， ， 故命题对时也成立，由得，； 4分 （2）由（1）知，其实部为； 6分 8分 其实部为， 根据两个复数相等，其实部也相等可得： 10分