2019-2020年高三尖子班数学理周考(5) 含答案.doc

xx届白鹭洲中学高三尖子班周考数学试卷（5）2019-2020年高三尖子班数学理周考(5) 含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1 集合p=x|x=in-i-n，i是虚数单位，nN*的子集的个数为 （ ）A4 B8 C16 D无数个2.已知两条直线l1：yx，l2：axy0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，a的取值范围是 ( )开始输出a，ii =1a =min整除a ?输入m，n结束i = i +1是否A.(0,1)B. C.(1，) D.(1，)3.函数的一个单调增区间是 （ ）A、 B、 C、 D、4. 阅读如图的程序框图.若输入,则输出的分别等于（ ） A.12,2 B.12,3 C.24,2 D.24,35.已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数m的取值范围是 （ ） ABCD6.ABC中，cosAcosBcosC的最大值是 （ ）A、 B、 C、1 D、7.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中个射箭20次，三人测试成绩如下表甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数4664分别表示这三名运动员这次测试成绩的标准差，则有 （ ）A、 B、 C、 D、8.连续投掷两次骰子的点数为，记向量b=（m，n）与向量a=（1，-1）的夹角为，则的概率是 （ ）A、 B、 C、 D、9.当时，恒成立，则的一个可能的值是（ ）A、5 B、 C、 D、10.已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为 ( )A.B.C.D.11.如果的定义域为R， ，且，则= （ ）A、1 B、-1 C、 D、-lg3-lg512.一个正四棱锥的底面边长与侧棱长都是a，现用一张正方形的包装纸将其完成包住（不能裁剪但可以折叠），那么包装纸的边长最小应该是 （ ）A、 B、 C、 D、二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置13定义运算，则符合条件的复数的虚部是 14.双曲线的右焦点是抛物线的焦点，两曲线的一个公共点为P，且|PF|=5，则该双曲线的离心率为 15设A、B、C、D是半径为2的球面上的四个不同点，且满足,0,用、分别表示ABC、ABD、ACD的面积，则+的最大值是 16. 某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形和，点是边上的一个动点，设，则. 请你参考这些信息，推知函数的图象的对称轴是 ；函数的零点的个数是 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内17. (本小题满分l2分)已知函数，若数列：成等差数列.(1)求数列的通项；(2)若，令，对任意，都有，求实数的取值范围.18(本小题满分l2分) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至 8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）302510结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55.（）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率）19. (本小题满分l2分)如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上一点， 已知求（）异面直线与的距离； （）二面角的大小 20. (本小题满分l2分)已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线l与抛物线交于M，N两点，且满足3.(1)求抛物线的方程；(2)若直线yx与抛物线交于A，B两点，在抛物线上是否存在异于A，B的点C，使得经过A，B，C三点的圆和抛物线在点C处有相同的切线？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.21. (本小题满分l2分)已知在R上单调递增，记的三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若时，不等恒成立（）求实数的取值范围；（）求角的取值范围；（）求实数的取值范围以下三题选做一题：22.略23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系中，圆锥曲线的参数方程为（为参数），定点，是圆锥曲线的左，右焦点（）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点且平行于直线的直线的极坐标方程；（）在（I）的条件下，设直线与圆锥曲线交于两点，求弦的长24.（本小题满分10分）选修4-5，不等式选讲在平面直角坐标系中，定义点、之间的直角距离为，点，（1）若，求的取值范围；（2）当时，不等式恒成立，求的最小值.xx届白鹭洲中学高三尖子班周考数学试卷（5）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1 集合p=x|x=in-i-n，i是虚数单位，nN*的子集的个数为（）BA4 B8 C16 D无数个2.已知两条直线l1：yx，l2：axy0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，a的取值范围是()A.(0,1)B. C.(1，) D.(1，)答案C解析直线l1的倾斜角为，依题意l2的倾斜角的取值范围为，即，从而l2的斜率a的取值范围为(1，).3.函数的一个单调增区间是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：“标准”答案是用直接法通过求导数解不等式组，再结合图象解得的，选A。建议你用代入验证法进行筛选：因为函数是连续的，选项里面的各个端点值其实是可以取到的，由，显然直接排除D，在A、B、C中只要计算两个即可，因为B中代入会出现，所以最好只算A、C、现在就验算A，有，符合，选A）开始输出a，ii =1a =min整除a ?输入m，n结束i = i +1是否4. 阅读如图的程序框图.若输入,则输出的分别等于 B A.12,2 B.12,3 C.24,2 D.24,35.已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数m的取值范围是（ ） CABCD6.ABC中，cosAcosBcosC的最大值是（ ）A、 B、 C、1 D、（提示：本题选自某一著名的数学期刊，作者提供了下列 “标准”解法，特抄录如下供读者比较：设y=cosAcosBcosC，则2y=cos（A+B）+ cos（A-B） cosC，cos2C- cos（A-B）cosC+2y=0，构造一元二次方程x2- cos（A-B）x+2y=0，则cosC是一元二次方程的根，由cosC是实数知：= cos2（A-B）-8y0，即8ycos2（A-B）1，故应选B。这就是“经典”的小题大作！事实上，由于三个角A、B、C的地位完全平等，直觉告诉我们：最大值必定在某一特殊角度取得，故只要令A=B=C=60即得答案B，这就是直觉法的威力，这也正是的意图所在。）7.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中个射箭20次，三人测试成绩如下表甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数4664分别表示这三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）A、 B、 C、 D、（提示：固然可以用直接法算出答案来，标准答案正是这样做的，但是显然时间会花得多。你可以用估计法：他们的期望值相同，离开期望值比较近的数据越多，则方差等价于标准差会越小！所以选B。这当然也可以看作是直觉法）8.连续投掷两次骰子的点数为，记向量b=（m，n）与向量a=（1，-1）的夹角为，则的概率是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：用估值法，画个草图，立刻发现在范围内（含在OB上）的向量b的个数超过一半些许，选C，完全没有必要计算）9.当时，恒成立，则的一个可能的值是（ ）A、5 B、 C、 D、（提示：若选项A正确，则B、C、D也正确；若选项B正确，则C、D也正确；若选项C正确，则D也正确。选D）10.已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为()A.B.C.D.答案A解析由题意可知，F1PF2是直角，且tanPF1F22，2，又|PF1|PF2|2a，|PF1|，|PF2|.根据勾股定理得22(2c)2，所以离心率e.11.如果的定义域为R， ，且，则=（ ）A、1 B、-1 C、 D、-lg3-lg5（提示：xx是个很大的数，所以立即意识到这应该是一个周期函数的问题！关键是求出周期值。现在进行现场操作：f（1）=lg3-lg2，f（2）=lg3+lg5，f（3）=f（2）-f（1）=1，f（4）= f（3）-f（2）=lg2-lg3，f（5）= f（4）- f（3）=-lg5-lg3，f（6）=f（5）- f（4）=-1，f（7）=f（6）- f（5）=lg3-lg2= f（1），所以周期是6。=f（3346+4）= f（4）= lg2-lg3，选C。当然你如果演算能力好，可以这样做：=，所以周期是6。12.一个正四棱锥的底面边长与侧棱长都是a，现用一张正方形的包装纸将其完成包住（不能裁剪但可以折叠），那么包装纸的边长最小应该是（ ）选BA、 B、 C、 D、二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置13定义运算，则符合条件的复数对应的点在 14.双曲线的右焦点是抛物线的焦点，两曲线的一个公共点为P，且|PF|=5，则该双曲线的离心率为 . 215设A、B、C、D是半径为2的球面上的四个不同点，且满足,0,用、分别表示ABC、ABD、ACD的面积，则+的最大值是 816. 某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形和，点是边上的一个动点，设，则. 请你参考这些信息，推知函数的图象的对称轴是 ；函数的零点的个数是 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内17. 已知函数，若数列：成等差数列.(1)求数列的通项；(2)若，令，对任意，都有，求实数的取值范围.解：(1) 由求得，所以，求得.(2) ， ，所以为递增数列. 中的最小项为，所以.18(本小题满分l2分) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至 8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）302510结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55.（）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率）18.解：（1）由已知,得所以该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得 的分布为 X11.522.53PX的数学期望为 .（）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，为该顾客前面第位顾客的结算时间，则 .由于顾客的结算相互独立，且的分布列都与X的分布列相同，所以 .故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.19.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上一点， 已知求（）异面直线与的距离； （）二面角的大小 解：（）以为原点，、分别为轴建立空间直角坐标系 由已知可得设 由，即 由，又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线,的距离为 （）作，可设 由得即作于，设，则由，又由在上得因故的平面角的大小为向量的夹角 故 即二面角的大小为20.已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线l与抛物线交于M，N两点，且满足3.(1)求抛物线的方程；(2)若直线yx与抛物线交于A，B两点，在抛物线上是否存在异于A，B的点C，使得经过A，B，C三点的圆和抛物线在点C处有相同的切线？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)依题意，设抛物线的方程为x22py(p0)，则F(0，)，由直线l的斜率存在，设为k，得l的方程为ykx，联立方程消去y并整理，得x22pkxp20.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x22pk，x1x2p2，又y1y2(kx1)(kx2)k2x1x2kp(x1x2)k2(p2)kp2kp.所以x1x2y1y2p23， 因为p0，解得p2，故所求抛物线的方程为x24y.(2)联立方程可求得A(0,0)，B(4,4)，假设抛物线上存在异于A，B的点C，且设C的坐标为(t，)(t0，t4)，使得经过A，B，C三点的圆和抛物线在点C处有相同的切线，令圆心为E(a，b)，则由得即解得因为抛物线在点C处的切线斜率ky|xt(t0，t4)，又该切线与EC垂直，所以1，即2abt2t0.将代入得，2()t2t0，即t32t28t0，因为t0，t4，解得t2. 故存在点C且坐标为(2,1).21.已知在R上单调递增，记的三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若时，不等恒成立（）求实数的取值范围；（）求角的取值范围；（）求实数的取值范围。21、解：(1)由知，在R上单调递增，恒成立，且，即且， （2），由余弦定理：， （3） 在R上单调递增，且，所以 ，故，即，即，即 23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系中，圆锥曲线的参数方程为（为参数），定点，是圆锥曲线的左，右焦点（）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点且平行于直线的直线的极坐标方程；（）在（I）的条件下，设直线与圆锥曲线交于两点，求弦的长23解：（1）圆锥曲线的参数方程为（为参数），所以普通方程为： 直线极坐标方程为：（2），24.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，定义点、之间的直角距离为，点，（1）若，求的取值范围；（2）当时，不等式恒成立，求的最小值. 解（1）由定义得，即，两边平方得，解得；（2）当时，不等式恒成立，也就是恒成立，法一：函数 令，所以，要使原不等式恒成立只要即可，故.法二：三角不等式性质 因为，所以，.