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第八节 对数与对数函数,主干知识梳理 一、对数的概念 1对数的定义： 如果 ，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数当a10时叫常用对数记作x ，当ae时叫自然对数，记作x ,axN(a0且a1),xlogaN,a,N,lg N,ln N,二、对数函数的概念 1把ylogax(a0，a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 2函数ylogax(a0，a1)是指数函数yax的反函数，函数yax与ylogax(a0，a1)的图象关于 对称,(0，),yx,三、对数函数的图象与性质,(0，),R,(1，0),1,0,y0,y0,y0,y0,增函数,减函数,3函数ylg |x| ( ) A是偶函数，在区间(，0)上单调递增 B是偶函数，在区间(，0)上单调递减 C是奇函数，在区间(0，)上单调递减 D是奇函数，在区间(0，)上单调递增 B ylg|x|是偶函数，由图象知在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增,关键要点点拨 1在运用性质logaMnnlogaM时，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMnnloga|M|(nN*，且n为偶数) 2对数值取正、负值的规律： 当a1且b1，或00； 当a1且01时，logab0.,3对数函数的定义域及单调性： 在对数式中，真数必须大于0，所以对数函数ylogax的定义域应为x|x0对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论,对数式的化简与求值,规律方法 对数式的化简与求值的常用思路 (1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数运算法则化简合并 (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算,对数函数的图象及应用,互动探究 若本例(2)变为：若不等式(x1)2logax在x(1，2)内恒成立，实数a的取值范围为_ 解析 设f1(x)(x1)2，f2(x)logax， 要使当x(1，2)时，不等式(x1)2logax恒成立， 只需f1(x)(x1)2在(1，2)上的图象在f2(x)logax图象的下方即可,当01时，如图，,要使x(1，2)时f1(x)(x1)2的图象在f2(x)logax的图象下方， 只需f1(2)f2(2)， 即(21)2loga2， 又即loga21. 所以1a2， 即实数a的取值范围是(1，2 答案 (1，2,规律方法 1对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解 2一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解,典题导入 已知函数f(x)log4(ax22x3) (1)若f(x)定义域为R，求a的取值范围； (2)若f(1)1，求f(x)的单调区间； (3)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由,对数函数的性质及应用,规律方法 研究复合函数yloga f(x)的单调性(最值)时，应先研究其定义域，分析复合的特点，结合函数uf(x)及ylogau的单调性(最值)情况确定函数ylogaf(x)的单调性(最值)(其中a0，且a1),跟踪训练 3已知f(x)loga(ax1)(a0且a1) (1)求f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的单调性 解析 (1)由ax10得ax1，当a1时，x0； 当01时，f(x)的定义域为(0，)； 当0a1时，f(x)的定义域为(，0),已知xln ，ylog52，ze ，则 ( ) Axyz Bzxy Czyx Dyzx,【创新探究】 巧用中间量比较大小,【高手支招】 本题在比较三个数的大小时利用中间值，进行第一次比较时，中间值常选用的有0，1，由指数、对数式可知x1，00；反之，logaN0.,2(2013福建高考)函数f(x)ln(x21)的图象大致是 ( ),A 由f(0)0可知函数图象经过原点 又f(x)f(x)，所以函数图象关于y轴对称 故选A.,课时作业,
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