2019-2020年高三上学期12月月考数学试卷 含解析.doc

2019-2020年高三上学期12月月考数学试卷 含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）1已知全集U=1，2，3，4，5，6，A=1，3，5，B=1，2，3，5，则U（AB）=2若实数a满足，其中i是虚数单位，则a=3双曲线的两条渐近线方程为4若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值5函数f（x）=（sinxcosx）2的最小正周期为6函数f（x）=xlnx的减区间是7若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为cm8在等比数列an中，Sn为其前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q为9已知椭圆（ab0），A为左顶点，B为短轴一顶点，F为右焦点且ABBF，则这个椭圆的离心率等于10设f（x）=x23x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为11在ABC中，已知=4，|=3，M、N分别是BC边上的三等分点，则=12已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）=2x2，则不等式f（x1）2的解集是13已知圆O：x2+y2=1，圆M：（xa）2+（ya+4）2=1若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得APB=60，则实数a的取值范围为14设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f（x）对任意xR，不等式f（x）f（x）恒成立，则的最大值为二、解答题（本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知acosC+ccosA=2bcosA（1）求角A的值；（2）求sinB+sinC的取值范围16如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点求证：（1）EF平面ABC；（2）平面AEF平面A1AD17某城市A计划每天从蔬菜基地B处给本市供应蔬菜，为此，准备从主干道AD的C处（不在端点A、D处）做一条道路CB，主干道AD的长为60千米，设计路线如图所示，测得蔬菜基地B在城市A的东偏北60处，AB长为60千米，设BCD=，运输汽车在主干道AD上的平均车速为60千米/小时，在道路CB上的平均车速为20千米/小时（1）求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t关于的函数关系式t（），并指出其定义域；（2）求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值18如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点F是椭圆E： =1（ab0）的左焦点，A，B，C分别为椭圆E的右、下、上顶点，满足，椭圆的离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）若P为线段FC（包括端点）上任意一点，当取得最小值时，求点P的坐标；（3）设M为线段BC（包括端点）上的一个动点，射线MF交椭圆于点N，若，求实数的取值范围19已知数列an中，a2=1，前n项和为Sn，且（1）求a1，a3；（2）求证：数列an为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中1pq），使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由20已知函数f（x）=ax（x0且x1）（1）若函数f（x）在（1，+）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立，求实数a的取值范围附加题21设是矩阵的一个特征向量，求实数a的值22在极坐标系中，设直线=与曲线210cos+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标23一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，1，1，2，2，3，现从袋中一次随机抽取3个球（1）若有放回的抽取3次，求恰有2次抽到编号为3的小球的概率；（2）记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列与数学期望24如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy2=0，抛物线C：y2=2px（p0）（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q求证：线段PQ的中点坐标为（2p，p）；求p的取值范围xx学年江苏省苏州市张家港市暨阳中学高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）1已知全集U=1，2，3，4，5，6，A=1，3，5，B=1，2，3，5，则U（AB）=2，4，6【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先利用并集的定义，求出全集U=AB，再利用交集的定义求出AB，再利用补集的定义求得 集合U（AB）【解答】解：集合A=1，3，5，B=1，2，3，5，AB=1，3，5，又全集U=1，2，3，4，5，6，集合U（AB）=2，4，6，故答案为：2，4，62若实数a满足，其中i是虚数单位，则a=2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由条件可得2+ai=2i（1i），再利用两个复数相等的充要条件，求得a的值【解答】解：实数a满足，2+ai=2i（1i），2+ai=2+2i，解得 a=2，故答案为 23双曲线的两条渐近线方程为【考点】双曲线的简单性质【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上 而双曲线的渐近线方程为y=x双曲线的渐近线方程为故答案为：4若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值4【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点C（2，0）时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大将C的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=22+0=4即z=2x+y的最大值为4故答案为：45函数f（x）=（sinxcosx）2的最小正周期为【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法【分析】化简函数的表达式为 一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期【解答】解：函数f（x）=（sinxcosx）2=12sinxcosx=1six2x；所以函数的最小正周期为：T=，故答案为：6函数f（x）=xlnx的减区间是【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先求定义域，再令导数0解不等式，取交集可得【解答】解：由题意函数的定义域为（0，+），求导数可得f（x）=xlnx+x（lnx）=1+lnx，令f（x）=1+lnx0，解之可得x故函数的减区间为：故答案为：7若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为cm【考点】点、线、面间的距离计算【分析】根据半圆的周长等于圆锥底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据圆锥的轴截面图形求高即可【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，则2r=2r=1cm，h=cm故答案是8在等比数列an中，Sn为其前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q为3【考点】等比数列的前n项和【分析】分q=1，及q1，两种情况，结合等比数列的通项公式及求和公式分别表示已知，解方程可求q【解答】解：a5=2S4+3，a6=2S5+3，若q=1，则，不符合题意若q1两式相减整理可得，q=3故答案为：3法二：a5=2S4+3，a6=2S5+3，两式相减可得，a6a5=2（s5s4）=2a5即a6=3a5q=3故答案为：39已知椭圆（ab0），A为左顶点，B为短轴一顶点，F为右焦点且ABBF，则这个椭圆的离心率等于【考点】椭圆的简单性质【分析】先求出A、B、F的坐标，由 ABBF及a，b、c的关系建立关于离心率e的方程，解方程求得椭圆C的离心率e【解答】解：由题意得 A（a，0）、B（0，b），F（c，0），ABBF，（a，b）（c，b）=acb2=aca2+c2=0，e1+e2=0，解得e=，故答案为：10设f（x）=x23x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为（0，【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质【分析】函数f（x）在区间（1，3）内有零点，即a=x2+3x在x（1，3）上成立即可，转化出求函数的值域问题即可获得问题的解答【解答】解：函数f（x）在区间（1，3）内有零点，即a=x2+3x在x（1，3）上成立，a=x2+3x=（x）2+，x（1，3）a（0，故答案为：（0，11在ABC中，已知=4，|=3，M、N分别是BC边上的三等分点，则=6【考点】平面向量数量积的运算【分析】设BC的中点为O，由=4，求得=再根据=（+）（+）=，计算求得结果【解答】解：如图，设BC的中点为O，由=4、|=3，可得（+）（+）=（+）（）=4，求得=则=（+）（+）=（+）（）=6，故答案为：612已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）=2x2，则不等式f（x1）2的解集是1，3【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】判断函数当x0时的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可【解答】解：当x0时，f（x）=2x2，此时函数单调递增，由f（x）=2x2=2得2x=4，则x=2，即不等式f（x1）2等价为f（x1）f（2），f（x）是定义在R上的偶函数，不等式等价为f（|x1|）f（2），即|x1|2，则2x12即1x3，则不等式的解集为1，3，故答案为：1，313已知圆O：x2+y2=1，圆M：（xa）2+（ya+4）2=1若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得APB=60，则实数a的取值范围为【考点】圆的切线方程【分析】由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出OP的距离，再由题意得到关于a的不等式求得答案【解答】解：如图，圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得APB=60，则APO=30，在RtPAO中，PO=2，又圆M的半径等于1，圆心坐标M（a，a4），|PO|min=|MO|1，|PO|max=|MO|+1，由，解得：2故答案为：14设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f（x）对任意xR，不等式f（x）f（x）恒成立，则的最大值为22【考点】二次函数的性质【分析】由已知可得ax2+（b2a）x+（cb）0恒成立，即=（b2a）24a（cb）=b2+4a24ac0，且a0，进而利用基本不等式可得的最大值【解答】解：f（x）=ax2+bx+c，f（x）=2ax+b，对任意xR，不等式f（x）f（x）恒成立，ax2+bx+c2ax+b恒成立，即ax2+（b2a）x+（cb）0恒成立，故=（b2a）24a（cb）=b2+4a24ac0，且a0，即b24ac4a2，4ac4a20，ca0，故=22，故答案为：22二、解答题（本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知acosC+ccosA=2bcosA（1）求角A的值；（2）求sinB+sinC的取值范围【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简acosC+ccosA=2bcosA，结合三角形的内角和，求解A即可（2）转化sinB+sinC为B的正弦函数，条公交的范围，推出相位的范围，然后求解函数的最值【解答】解：（1）因为acosC+ccosA=2bcosA，所以sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，即sin（A+C）=2sinBcosA因为A+B+C=，所以sin（A+C）=sinB从而sinB=2sinBcosA因为sinB0，所以cosA=因为0A，所以A=（2）sinB+sinC=sinB+sin（B）=sinB+sincosBcossinB=sinB+cosB=sin（B+）因为0B，所以B+所以sinB+sinC的取值范围为（，16如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点求证：（1）EF平面ABC；（2）平面AEF平面A1AD【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）连接A1B和A1C，易证EFBC，利用线面平行的判断定理即可证得EF平面ABC；（2）依题意，可证EFAA1，EFAD，而AA1AD=A，从而可证得EF平面A1AD，利用面面垂直的判定定理即可证得平面AEF平面A1AD【解答】解：（1）连接A1B和A1C，因为E、F分别是侧面AA1B1B和侧面AA1C1C对角线的交点，所以E、F分别是A1B和A1C的中点所以EFBC3分又BC平面ABC，EF平面ABC，故EF平面ABC；6分（2）三棱柱ABCA1B1C1为正三棱柱，AA1平面ABC，BCAA1，又EFBC，EFAA18分又D是棱BC的中点，且ABC为正三角形，所以BCAD由EFBC得EFAD10分而AA1AD=A，AA1，AD平面A1AD，所以EF平面A1AD，12分又EF平面AEF，故平面AEF平面A1AD14分17某城市A计划每天从蔬菜基地B处给本市供应蔬菜，为此，准备从主干道AD的C处（不在端点A、D处）做一条道路CB，主干道AD的长为60千米，设计路线如图所示，测得蔬菜基地B在城市A的东偏北60处，AB长为60千米，设BCD=，运输汽车在主干道AD上的平均车速为60千米/小时，在道路CB上的平均车速为20千米/小时（1）求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t关于的函数关系式t（），并指出其定义域；（2）求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）求出BC，AC，可得运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t关于的函数关系式t（），并指出其定义域；（2）求导数，确定函数的单调性，即可求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值【解答】解：（1）在ABC中，则，又，则，所以，运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t（）=，其定义域为|60120（2）=，令t（）=0，则，当时，t（）0；当时，t（）0，所以，当时，因为60120，所以时，t（）取得最小值，此时，最小值为答：运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值为18如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点F是椭圆E： =1（ab0）的左焦点，A，B，C分别为椭圆E的右、下、上顶点，满足，椭圆的离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）若P为线段FC（包括端点）上任意一点，当取得最小值时，求点P的坐标；（3）设M为线段BC（包括端点）上的一个动点，射线MF交椭圆于点N，若，求实数的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质【分析】（1）由点的坐标得到向量的坐标，由数量积等于5，结合离心率即隐含条件联立求解a，b c的值，则椭圆的方程可求；（2）由题意求出线段FC的方程，设出P点坐标，代入数量积公式后化为关于x的表达式，利用配方法求最值，并求出取得最值时的P点坐标；（3）设出M点坐标，由把N点的坐标用含有和m的代数式表示，把N代代入椭圆方程得到m和的关系式，由m得范围进一步求解的范围【解答】解：（1）设F（c，0）A（a，0），B（0，b），C（0，b），ac+b2=5又，a2=b2+c2由得椭圆E的方程为；（2）由题意可得线段FC的方程为设P（x，y），则=当取得最小值时，此时点P的坐标为；（3）设M（0，m），由，得N（1，m）代入椭圆的方程得：3（1）2+4（m）212=0即4（m）2=123（1+）2，04（m）2122则0123（1+）2122解得：31（舍）或19已知数列an中，a2=1，前n项和为Sn，且（1）求a1，a3；（2）求证：数列an为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中1pq），使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比关系的确定【分析】（1）在中，分别令n=2，n=3即可求得答案；（2）由，即，得，两式作差得（n1）an+1=nan，从而有nan+2=（n+1）an+1，+，根据等差数列中项公式即可证明；（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，从而可用p表示出q，观察可知（p，q）=（2，3）满足条件，根据数列单调性可证明（p，q）=（2，3）唯一符合条件【解答】（1）解：令n=1，则a1=S1=0，令n=3，则，即0+1+a3=，解得a3=2； （2）证明：由，即，得，得（n1）an+1=nan，于是，nan+2=（n+1）an+1，+，得nan+2+nan=2nan+1，即an+2+an=2an+1，又a1=0，a2=1，a2a1=1，所以数列an是以0为首项，1为公差的等差数列所以an=n1 （3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是， 所以，（）易知（p，q）=（2，3）为方程（）的一组解 当p3，且pN*时，0，故数列（p3）为递减数列 于是0，所以此时方程（）无正整数解 综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b1，bp，bq成等比数列20已知函数f（x）=ax（x0且x1）（1）若函数f（x）在（1，+）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系【分析】（1）f（x）在（1，+）上为减函数，等价于f（x）0在（1，+）上恒成立，进而转化为f（x）max0，根据二次函数的性质可得f（x）max；（2）命题“若x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立”等价于“当xe，e2时，有f（x）minf（x）max+a”，由（1）易求f（x）max+a，从而问题等价于“当xe，e2时，有f（x）min”，分a，a两种情况讨论：当a时易求f（x）min，当a时可求得f（x）的值域为a，再按（i）a0，（ii）a0两种情况讨论即可；【解答】解：（1）因f（x）在（1，+）上为减函数，故f（x）=a0在（1，+）上恒成立，又f（x）=a=+a=，故当，即x=e2时，所以0，于是a，故a的最小值为（2）命题“若x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立”等价于“当xe，e2时，有f（x）minf（x）max+a”，由（1），当xe，e2时，f（x）max=，所以f（x）max+a=，问题等价于：“当xe，e2时，有f（x）min”，当a时，由（1），f（x）在e，e2上为减函数，则f（x）min=f（e2）=，故a，；当a时，由于在e，e2上为增函数，故f（x）的值域为f（e），f（e2），即a，（i）若a0，即a0，f（x）0在e，e2上恒成立，故f（x）在e，e2上为增函数，于是，f（x）min=f（e）=eaee，不合题意；（ii）若a0，即0a，由f（x）的单调性和值域知，唯一，使f（x0）=0，且满足：当x（e，x0）时，f（x）0，f（x）为减函数；当x时，f（x）0，f（x）为增函数；所以， ，所以a，与0a矛盾，不合题意；综上，得a附加题21设是矩阵的一个特征向量，求实数a的值【考点】特征值与特征向量的计算【分析】利用特征向量的定义，建立方程，即可求实数a的值【解答】解：设是矩阵M属于特征值的一个特征向量，则，5分故解得10分22在极坐标系中，设直线=与曲线210cos+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】方法一：将直线直线=化为普通方程得， x，将曲线210cos+4=0化为普通方程得，x2+y210x+4=0，联立消去y得，2x25x+2=0，利用中点坐标可得线段AB的坐标，再化为极坐标即可方法2：联立直线l与曲线C的方程组可得25+4=0，解得1=1，2=4，利用中点坐标公式即可得出【解答】解：方法一：将直线=化为普通方程得， x，将曲线210cos+4=0化为普通方程得，x2+y210x+4=0，联立并消去y得，2x25x+2=0，x1+x2=，AB中点的横坐标为=，纵坐标为，=化为极坐标为方法2：联立直线l与曲线C的方程组，消去，得25+4=0，解得1=1，2=4，线段AB中点的极坐标为，即23一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，1，1，2，2，3，现从袋中一次随机抽取3个球（1）若有放回的抽取3次，求恰有2次抽到编号为3的小球的概率；（2）记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列与数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率【分析】（1）确定一次从袋中随机抽取3个球，抽到编号为3的小球的概率，即可求出恰有2次抽到编号为3的小球的概率；（2）确定随机变量X所有可能的取值，求出相应的概率，即可求出随机变量X的分布列与数学期望【解答】解：（1）一次从袋中随机抽取3个球，抽到编号为3的小球的概率为P=有放回的抽取3次，恰有2次抽到编号为3的小球的概率为=；（2）随机变量X所有可能的取值为1，2，3，则P（X=1）=；P（X=2）=；P（X=3）=随机变量X的分布列为： X 1 23 PE（X）=1+2+3=24如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy2=0，抛物线C：y2=2px（p0）（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q求证：线段PQ的中点坐标为（2p，p）；求p的取值范围【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程（2）：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），通过抛物线方程，求解kPQ，通过P，Q关于直线l对称，点的kPQ=1，推出，PQ的中点在直线l上，推出=2p，即可证明线段PQ的中点坐标为（2p，p）；利用线段PQ中点坐标（2p，p）推出，得到关于y2+2py+4p24p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围【解答】解：（1）l：xy2=0，l与x轴的交点坐标（2，0），即抛物线的焦点坐标（2，0），抛物线C：y2=8x（2）证明：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则：，即：，kPQ=，又P，Q关于直线l对称，kPQ=1，即y1+y2=2p，又PQ的中点在直线l上，=2p，线段PQ的中点坐标为（2p，p）；因为Q中点坐标（2p，p），即，即关于y2+2py+4p24p=0，有两个不相等的实数根，0，（2p）24（4p24p）0，pxx年1月17日