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3.4 边缘分布,二维随机向量 (X,Y) 作为一个整体, 有分布函数 F( x, y)，其分量 X与Y 都是随机变量，有各自的分布函数，分别记成 FX(x) 和 FY(y)，,分别称为关于X的边缘分布函数和关于Y的边缘分布函数；称 F(x, y) 为 (X, Y) 的联合分布函数或X与Y的联合分布函数。 。,FX(x)=PXx=PXx,Y=F(x,)， FY(y)=PYy=PX,Yy=F(,y).,X与Y的边缘分布函数实质上就是一维随机变量X或Y的分布函数。称其为边缘分布函数是相对于 (X,Y) 的联合分布而言的。 同样地，(X, Y) 的联合分布函数 F(x, y)是相对于 (X, Y) 的分量X和Y的分布而言的。,注意:,已知联合分布函数，求边缘分布函数的方法：,则 X 的边缘概率分布为,Y 的边缘概率分布为,设(X, Y ) 是二维离散型随机向量，联合概率分布为,3.4.1 二维离散型随机向量的边缘分布,由联合分布律求边缘分布律可以列成下表,因此当ij时，PX=i,Y=j=0.,例1：从1，2，3，4这4个数中随机取出一个，记所取得数为X，再从1到X中随机地取出一个数，记所取得数为Y，求X和Y的联合分布律及边缘分布律.,解： X与Y的可能取值都是1，2，3，4，且,当ij时，由乘法公式，得,可得X和Y的联合分布律及两个边缘分布律：,注：关于X的边缘分布可以不需要通过联合分布得到。,3.4.2 二维连续型随机向量的边缘分布,若 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y)，则,X的边缘概率密度为,Y 的边缘概率密度为,例2：设(X,Y)服从单位圆域 x2+y21上的均匀分布，求X和Y的边缘概率密度.,解:,当|x|1时,当-1x1时,( 注意积分限的确定方法 ),熟练时，被积函数为零的部分可以不写。,由X 和Y 在问题中地位的对称性, 将上式中的 x 改为 y，得到 Y 的边缘概率密度,如何验证对否？,从例2可见，均匀分布的边缘分布不是均匀分布。可以证明若(X,Y)服从矩形区域 ：axb，cyd上均匀分布，则其边缘分布一定是均匀分布。,详见课本P52 例3.4.,解:,例3:,（P52 例3.5）,例4：设,解： 由,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,求X和Y 的边缘概率密度。,（详细推导过程见课本P53例3.6）,也就是说对于不同的参数 ，得到的边缘分布是相同的。 因此，仅由X和Y的边缘概率密度 (或边缘分布) 一般不能确定 (X,Y) 的联合概率密度函数 (或概率分布)。,3.5 随机变量的独立性,事件A与 B独立的定义是：,若 P(AB) = P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立 。,设 X, Y是两个随机变量, 对任意的 x, y, 若,则称 X与Y 相互独立。,用联合分布函数与边缘分布函数表示上式, 就是,说明,若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为,（P54定理3.1）,解:,例1:,(1)由分布律的性质知,特别有,又,(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有,解:,由于X 与Y 相互独立,例2:,证明：因,求证: X与Y 独立的充要条件为 = 0。(P56例3.10),例3：设,“” 将=0代入联合概率密度函数，得,所以，X与Y相互独立。,“” 若X和Y相互独立，则 (x, y)R2，有 f (x, y)=f X(x) f Y(y).,从而， = 0。,特别地，将 x =1, y = 2 代入上式，有 f (1,2) = fX(1)fY(2)， 即,解:,从而，对一切 x, yR , 均有 f (x, y)=f X(x) f Y(y).,故，X与Y是相互独立的。,例4： 设(X,Y) 的概率密度为,问：X与Y是否独立？,解：,由于存在面积不为零的区域 D，使得,故，X与Y不相互独立 。,例5：若(X,Y)的概率密度为,问X与Y是否独立？,例6: 设二维随机向量（X，Y）的分布函数为,判别X与Y是否独立.,解: X的边缘分布函数为,显然，对任意x, y，有,所以，X与Y相互独立。,
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