2019-2020年高一数学下学期期末试卷 文（含解析）.doc

2019-2020年高一数学下学期期末试卷 文（含解析）一、选择题：（每小题4分，共48分）1设a0，b0若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A 8B 4C 1D 2若Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2则an是（）A 等比数列，但不是等差数列B 等差数列，但不是等比数列C 等差数列，而且也是等比数列D 既非等比数列又非等差数列3若l1：x+（1+m）y+（m2）=0，l2：mx+2y+6=0的图象是两条平行直线，则m的值是（）A m=1或m=2B m=1C m=2D m的值不存在4不等式0的解集为（）A x|x2或0x3B x|2x0或x3C x|x2或x0D x|x0或x35点M（x0，y0）在圆x2+y2=R2外，则直线与圆的位置关系是（）A 相切B 相交C 相离D 不确定6在数列an中，a1=2，an+1=an+ln（1+），则an=（）A 2+lnnB 2+（n1）lnnC 2+nlnnD 1+n+lnn7已知函数f（x）=，且f（x）ax1对任意的x恒成立，则a的取值范围是（）A （6，0B 6，0）C （1，0）D 1，08已知等差数列前n项和为Sn且S130，S120，则此数列中绝对值最小的项为（）A 第5项B 第6项C 第7项D 第8项9若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交与P，Q两点，且此圆被分成的两段弧长之比为1：2，则k的值为（）A 或B C 或D 10下列函数中，y的最小值为4的是（）A B C D y=ex+4ex11过直线x+y=0上一点P作圆（x+1）2+（y5）2=2的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y=x对称时，APB=（）A 30B 45C 60D 9012若a，b，c0且a2+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c的最小值是（）A B 3C 2D 二、填空题：（每小题4分，共16分）13不等式组表示的平面区域的面积等于14点（x，y）在直线x+3y2=0上移动时，z=2x+8y的最小值为15等比数列an的前n项和是Sn，若S30=13S10，S10+S30=140，则S20的值是16直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围是三、解答题：（共56分）17已知等差数列an中a2=9，a5=21（1）求数列an的通项公式；（2）若，求数列log2bn的前n项和Sn18如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？19已知关于x的一元二次不等式（a+1）x2+ax+ab（x2+x+1）对任意实数x都成立，试比较实数a，b的大小20已知x，y满足线性约束条件求：（1）Z1=2x+4y的最大值和最小值（2）Z2=的最大值和最小值21如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（2，0）、B（0，），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点，设圆M是ABC的外接圆，若DE是圆M的任意一条直径，试探究是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由四附加题（10分）xx春吉林校级期末）以数列an的任意相邻两项为坐标的点Pn（an，an+1）（nN*）都在一次函数y=2x+k的图象上，数列bn满足（1）求证：数列bn是等比数列；（2）设数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，且S6=T4，S5=9，求k的值xx学年吉林省东北师大附中高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题4分，共48分）1设a0，b0若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A 8B 4C 1D 考点：基本不等式；等比数列的性质专题：不等式的解法及应用分析：由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值解答：解：因为3a3b=3，所以a+b=1，当且仅当即时“=”成立，故选择B点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力2若Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2则an是（）A 等比数列，但不是等差数列B 等差数列，但不是等比数列C 等差数列，而且也是等比数列D 既非等比数列又非等差数列考点：等差数列专题：计算题分析：根据数列an的前n项和Sn，表示出数列an的前n1项和Sn1，两式相减即可求出此数列的通项公式，然后把n=1代入也满足，由此能判断出此数列为等差数列解答：解：当n=1时，S1=12=1，当n2时，an=SnSn1=n2（n1）2=2n1，又n=1时，a1=21=1，满足通项公式，此数列为等差数列故选B点评：此题考查了等差数列的通项公式，灵活运用an=SnSn1求出数列的通项公式属于基础题3若l1：x+（1+m）y+（m2）=0，l2：mx+2y+6=0的图象是两条平行直线，则m的值是（）A m=1或m=2B m=1C m=2D m的值不存在考点：直线的一般式方程与直线的平行关系专题：计算题；直线与圆分析：根据两条直线平行的条件，结合题中数据建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值解答：解：l1：x+（1+m）y+（m2）=0，l2：mx+2y+6=0，且直线l1l2，解之得m=1或2故选：A点评：本题给出两条直线互相平行，求参数m的值着重考查了两条直线平行位置关系的判定及其应用的知识，属于基础题4不等式0的解集为（）A x|x2或0x3B x|2x0或x3C x|x2或x0D x|x0或x3考点：其他不等式的解法专题：计算题；转化思想分析：将“不等式0”转化为：“x（x+2）（x+3）0”，用穿根法求解解答：解：依题意：原不等式转化为：x（x+2）（x+3）0解得：x2或0x3故选A点评：本题主要考查分式不等式的解法，一般是转化为整式不等式，再用穿根法求解5点M（x0，y0）在圆x2+y2=R2外，则直线与圆的位置关系是（）A 相切B 相交C 相离D 不确定考点：点与圆的位置关系专题：直线与圆分析：由已知得x02+y02R2，从而圆心（0，0）到直线x0x+y0y=R2的距离dR，由此推导出直线x0x+y0y=R2与圆相交解答：解：点M（x0，y0）在圆x2+y2=R2外，x02+y02R2，圆心（0，0）到直线x0x+y0y=R2的距离：d=R，直线x0x+y0y=R2与圆相交故选：B点评：本题考查直线与圆的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题6在数列an中，a1=2，an+1=an+ln（1+），则an=（）A 2+lnnB 2+（n1）lnnC 2+nlnnD 1+n+lnn考点：数列的概念及简单表示法专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项解答：解：，=故选：A点评：数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意nN成立，因此可将其中的n换成n+1或n1等，这种办法通常称迭代或递推解答本题需了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项7已知函数f（x）=，且f（x）ax1对任意的x恒成立，则a的取值范围是（）A （6，0B 6，0）C （1，0）D 1，0考点：分段函数的应用；函数恒成立问题专题：数形结合；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：作出函数f（x）=的图象，由题意可得f（x）的图象恒在直线y=ax1的上方，由图象观察可得a0，当x0时，直线与f（x）的图象相切，联立方程，运用判别式为0，可得a，通过图象观察即可得到a的范围解答：解：作出函数f（x）=的图象，由f（x）ax1对任意的x恒成立，即为f（x）的图象恒在直线y=ax1的上方，由图象观察可得a0，当x0时，直线与f（x）的图象相切，联立y=x2+8和y=ax1，可得x2ax+9=0，由判别式a236=0，解得a=6（6舍去），则由直线绕着（0，1）旋转，可得a的范围是6，0故选B点评：本题考查分段函数及运用，考查不等式恒成立问题转化为图象的位置关系，运用数形结合的思想方法是解题的关键8已知等差数列前n项和为Sn且S130，S120，则此数列中绝对值最小的项为（）A 第5项B 第6项C 第7项D 第8项考点：等差数列的前n项和；数列的应用专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列的性质可得a6+a70，a70，进而得出|a6|a7|=a6+a70，可得答案解答：解：S13=13a70，S12=6（a6+a7）0a6+a70，a70，|a6|a7|=a6+a70，|a6|a7|数列an中绝对值最小的项是a7故选C点评：本题考查等差数列的前n项和以及等差数列的性质，解题的关键是求出a6+a70，a70，属中档题9若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交与P，Q两点，且此圆被分成的两段弧长之比为1：2，则k的值为（）A 或B C 或D 考点：直线与圆相交的性质专题：综合题；直线与圆分析：根据直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且POQ=120（其中O为原点），求出圆心到直线的距离；再根据点到直线的距离公式即可求出k的值解答：解：因为直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且此圆被分成的两段弧长之比为1：2，所以POQ=120（其中O为原点），如图可得OPE=30；OE=OPsin30=，即圆心O（0，0）到直线y=kx+1的距离d=，所以k=故选：A点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查计算能力，求出圆心（0，0）到直线的距离是解题的关键10下列函数中，y的最小值为4的是（）A B C D y=ex+4ex考点：基本不等式专题：不等式的解法及应用分析：由基本不等式求最值的规则，逐个选项验证可得解答：解：选项A错误，因为x可能为负数；选项B错误，化简可得y=2（+）由基本不等式可得取等号的条件为=即x2=1，显然没有实数满足x2=1；选项C错误，由基本不等式可得取等号的条件为sinx=2，但由三角函数的值域可知sinx1；选项D，由基本不等式可得当ex=2即x=ln2时，y取最小值4故选：D点评：本题考查基本不等式求最值，涉及基本不等式取等号的条件，属基础题11过直线x+y=0上一点P作圆（x+1）2+（y5）2=2的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y=x对称时，APB=（）A 30B 45C 60D 90考点：圆的切线方程专题：直线与圆分析：判断圆心与直线的关系，在直线上求出特殊点，利用切线长、半径以及该点与圆心连线构成直角三角形，求出APB的值解答：解：显然圆心C（1，5）不在直线y=x上由对称性可知，只有直线y=x上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线y=x，从这点做切线才能关于直线y=x对称所以该点与圆心连线所在的直线方程为：y5=x+1即y=6+x，与y=x联立，可求出该点坐标为（3，3），所以该点到圆心的距离为=2，由切线长、半径以及该点与圆心连线构成直角三角形，又知圆的半径为所以两切线夹角的一半的正弦值为=，所以夹角APB=60故选C点评：本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，直线与圆相切的关系的应用，考查计算能力，常考题型12若a，b，c0且a2+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c的最小值是（）A B 3C 2D 考点：基本不等式在最值问题中的应用专题：压轴题分析：因为a+b+c的平方与已知等式有关，现将（a+b+c）2用已知等式表示，根据一个数的平方大于等于0得不等式，然后解不等式得范围解答：解：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=（a2+2ab+2ac+4bc）+b2+c22bc=12+（bc）212，当且仅当b=c时取等号，a+b+c故选项为A点评：若要求的代数式能用已知条件表示，得不等式，通过解不等式求代数式的范围二、填空题：（每小题4分，共16分）13不等式组表示的平面区域的面积等于25考点：二元一次不等式（组）与平面区域专题：计算题分析：画出约束条件表示的可行域，求出交点坐标，然后求出三角形面积，即可求解解答：解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示的三角形ABC由由题意可得A（2，2），B（3，7），C（3，3）BC=10，A到直线BC的距离d=5SABC=25故答案为：25点评：本题考查二元一次不等式（组）与平面区域，考查学生作图能力，计算能力，是基础题14点（x，y）在直线x+3y2=0上移动时，z=2x+8y的最小值为4考点：基本不等式专题：不等式分析：根据基本不等式的性质进行计算即可解答：解：x+3y2=0，x+3y=2，z=2x+23y2=2=2=4，当且仅当x=3y，即x=1，y=时，“=”成立，故答案为：4点评：本题考查了基本不等式的性质，应用性质是注意满足条件；一正二定三相等，本题是一道基础题15等比数列an的前n项和是Sn，若S30=13S10，S10+S30=140，则S20的值是40考点：等比数列的性质专题：计算题分析：首先根据题意求出S10=10，S30=130，再根据Sn，S2nSn，S3nS2n也是等比数列，得到S20=40，或者S20=30，然后利用等比数列的求和公式得到答案解答：解：因为S30=13S10，S10+S30=140，所以S10=10，S30=130数列an为等比数列，Sn，S2nSn，S3nS2n也是等比数列，即S10，S20S10，S30S20也是等比数列，所以S20=40，或者S20=30，因为S20=S10（1+q10），所以S20=40故答案为40点评：本题主要考查了等比数列的性质和数列的求和解题的关键是利用了等比数列中Sn，S2nSn，S3nS2n也是等比数列的性质16直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围是3b3或考点：函数的零点专题：计算题分析：先整理C的方程可知曲线C的图象为半圆，要满足仅有一个公共点，有两种情况，一种是与半圆相切，根据原点到直线的距离为半径3求得b，一种是与半圆相交但只有一个交点，根据图象可分别求得b的上限和下限，最后综合可求得b的范围解答：解：依题意可知曲线C的方程可整理成y2+x2=9（x0）要使直线l与曲线c仅有一个公共点，有两种情况：如下图：（1）直线与半圆相切，原点到直线的距离为3，切于A点，d=3，因为b0，可得b=3，满足题意；（2）直线过半圆的下顶点（0，3）和过半圆的上顶点（3，0）之间的直线都满足，y=x+b过点（0，3），可得b=3，有两个交点，y=x+b过点（0，3），可得b=3，有一个交点，3b3，此时直线y=x+b与曲线恰有一个公共点；综上：3b3或；故答案为：3b3或；点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了学生对数形结合思想，分类讨论思想，转化和化归的思想的综合运用，是一道好题；三、解答题：（共56分）17已知等差数列an中a2=9，a5=21（1）求数列an的通项公式；（2）若，求数列log2bn的前n项和Sn考点：数列的求和；等差数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用a5a2=3d计算可得公差，进而可得结论；（2）通过对数的性质化简可知数列是以4为首项、4为公差的等差数列，进而计算可得结论解答：解：（1）a2=9，a5=21，a5a2=3d，d=4，an=a2+（n2）d=4n+1；（2）an=4n+1，log2=4n，数列是以4为首项、4为公差的等差数列，点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，涉及对数的性质等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题18如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？考点：基本不等式在最值问题中的应用专题：应用题分析：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则依题意可知ab=9000，代入广告的面积中，根据基本不等式的性质求得广告面积的最小值根据等号成立的条件确定广告的高和宽解答：解：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab=9000广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a0，b0广告的面积S=（a+20）（2b+25）=2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b18500+2=18500+2当且仅当25a=40b时等号成立，此时b=，代入式得a=120，从而b=75即当a=120，b=75时，S取得最小值24500故广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用基本不等式在解决生活问题中常被用到，也是高考应用题中热点，平时应用注意这方面的训练19已知关于x的一元二次不等式（a+1）x2+ax+ab（x2+x+1）对任意实数x都成立，试比较实数a，b的大小考点：一元二次不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：把不等式化为关于x的一元二次不等式，由不等式恒成立列出条件，求出a、b的大小关系解答：解：不等式（a+1）x2+ax+ab（x2+x+1）可变形为（ab+1）x2+（ab）x+ab0，（2分）又不等式对任意的实数x都成立，则，（7分）即，解得ab0；所以ab（12分）点评：本题考查了一元二次不等式的恒成立问题，是基础题目20已知x，y满足线性约束条件求：（1）Z1=2x+4y的最大值和最小值（2）Z2=的最大值和最小值考点：简单线性规划专题：计算题；不等式的解法及应用；直线与圆分析：（1）作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数Z1=2x+4y对应的直线进行平移，并观察y轴上的截距变化，可得当l分别经过B、C时目标函数z达到最小值和最大值，由此可得答案（2）设P（x，y）、Q（0，1），可得Z2=表示直线P、Q连线的斜率，运动点P得到PQ斜率的最大、最小值，即可算出Z2的最大值和最小值解答：解：（1）作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（0，5），B（3，2），C（3，8）设Z1=F（x，y）=2x+4y，将直线l：Z1=2x+4y进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l经过B时，目标函数z达到最小值；当l经过C时，目标函数z达到最小值Z1的最小值为F（3，2）=14；Z1的最大值为F（3，8）=38（2）设P（x，y）为区域内的动点，可得Z2=表示直线P、Q连线的斜率，其中Q（1，0）运动点P，可得当P与A点重合时，Z2=5，达到最大值；当P与B点重合时，Z2=，达到最小值，Z2=的最大值为5，最小值为点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值和最小值，着重考查了直线的斜率公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题21如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（2，0）、B（0，），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点，设圆M是ABC的外接圆，若DE是圆M的任意一条直径，试探究是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由考点：圆方程的综合应用；平面向量数量积的运算专题：综合题；直线与圆分析：先求出圆M的方程，再设过圆心M的任意一直线为x=my+1与圆的方程联立，利用向量的数量积公式，即可得出结论解答：解：由题意，AOBBOC，=，|CO|=4 （2分）C（4，0），AC中点为M（1，0），半径为3圆M的方程（ABC的外接圆）为（x1）2+y2=32（4分）设过圆心M的任意一直线为x=my+1，（5分）（m2+1）y2=9（7分）设直线x=my+1与圆（x1）2+y2=9的两个交点为D（x1，y1），E（x2，y2）则=（x1+1，y1），=（x2+1，y2），=（x1+1）（x2+1）+y1y2=（my1+2）（my2+2）+y1y2=（m2+1）y1y2+4（9分）由（m2+1）y2=9，得代入上式=9+4=5（11分）当ED为横轴时，D（2，0），E（4，0），=（1，0），=（5，0）=5（12分）点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题四附加题（10分）xx春吉林校级期末）以数列an的任意相邻两项为坐标的点Pn（an，an+1）（nN*）都在一次函数y=2x+k的图象上，数列bn满足（1）求证：数列bn是等比数列；（2）设数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，且S6=T4，S5=9，求k的值考点：数列的求和；等比关系的确定专题：等差数列与等比数列分析：（1）通过将点代入y=2x+k可知an+1=2an+k，利用bn+1=an+2an+1计算即得结论；（2）通过bn=（a1+k）2n1=an+1an可知a2a1=（k+a1）20、a3a2=（k+a1）21、anan1=（k+a1）2n2，累加整理得bnan=k，计算即得结论解答：（1）证明：点都在一次函数y=2x+k图象上，an+1=2an+k，bn+1=an+2an+1=（2an+1+k）（2an+k）=2（an+1an）=2bn，=2，故bn是以b1=a2a1=2a1+ka1=k+a1为首项、2为公比的等比数列；（2）解：bn=（a1+k）2n1=an+1an，a2a1=（k+a1）20，a3a2=（k+a1）21，anan1=（k+a1）2n2，累加得：ana1=（k+a1）=（k+a1）（2n11），整理得：an=（a1+k）2n1k，bnan=（a1+k）2n1（a1+k）2n1k=k，又S6=T4，即a1+a2+a6=b1+b2+b3+b4，a5+a6=4k，即，又S5=9，k=8点评：本题考查等比数列的判定以及数列的求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题